Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 37
Текст из файла (страница 37)
в ряд Тейлора при шаге 'по времени т = 0,00(, который в етом случае является предельным 'по условию устойчивости. Кривая 2 соответствует формулам (6.5.тт), (6,5.12) при т 0,005. Видно, что аппроксимация жраничных ус- . 215. ловий типа (6.5Л1), (6:5.12) дает значительно более быструю сходнмость к стационарному решению. Релаксационная процедура (6,5.9) позволяет ускорить сходимрсть обоих из этих случаев.
Следует отметить, что обе эти формулы дают различные приближения к точному решению. Это видно на рис. 6.10, где дано изменение числа Нуссельта на стационарном режиме в зависимости от числа узлов разностной сетки для формулы (6.5.7) (кривая 1) и формул (6.5.11), (6.5.12) (кривая 2). Видно, что формула первого типа дает приближение к точному решению сверху, а второго — снизу, причем рааличие результатов расчета числа )ч и существенно уменьшается при измельчении сетки, что является одним из практических доказательств сходимости. Наконец, на рис. 6Л1, .г )две Рнс.
6Л2. Влияние способа аппрокснмацнн конзектнзных членов на зависимость среднего числа Нуссельта от числа Храсгофа для задачи о тепловой конзекцнн в квадратной области, 1 — центральные разности, 2 — монотонная аппроксимация Самарского, 8 — од- носторонние разнести. 6Л2 даны сопоставления расчета числа % для различных способов аппроксимации конвективных членов в уравнениях вихря и переноса тела, рассматривавшихся в $6.3, откуда видно, что монотонная апцроксимация Самарского дает аначения числа г)п, находящиеся между значениями, полученными с помощью симметричной схемы второго порядка с центральными разностями и одно-' сторонней схемы первого порядка точности, обладающей наибольшей «схемной вязкостью» (подробнее см.
(20), (21), (271 из списка литературы к дополнению 2). 6.8.2. Конвенция и распределение примеси в бинарных смесях. В этом примере рассматриваются численные решения системы уравнений '(6,7Л1) — (6.7Л4) для случая совместного переноса тепла и массы в замкнутой области. Задача ставится следующим образом. В замкнутую плос- 2гб кую ампулу (рис. 6.13, а) помещена бинарная смесь; при некоторых предположениях можно считать, что она представляет собой расплав (раствор); концентрация более легкой компоненты при етом обозначается через С.
Вдоль. границ ампулы задан постоянный градиент температур, сила тяжести направлена вертикально. Концентрации компоненты С на боковых поверхностях различны, начальное Рис. 6ЛЗ. Изолинии функции тока (а), иеотермы (6) и липин равной концентрации (е) при наличии тепловой конвекции в ваминутой плоской области, содержащей бинарную смесь; бг = 100; Рг=0,16; Сто=о; ЦН=4; Рте=10. распределение концентрации линейно вдоль ампулы и одинаково поперек нее. Требуется определить изменение е распределении примеси при наличии конвекции в ампуле. К числу определяющих параметров эадачи, рассмотренной выше,'здесь добавляются еще два: диффузионное число Грасгофа Сг и диффузионное число Прандтля Рг, или число Шмидта.
На рис. 6ЛЗ,а — в приведены картины линий тока, а также изотермы поля температур и ли- 217 яии равной концентрации для стационарного Режима конвекции при следующих параметрах: Вг =100, Рг 0,016, Сг„=О,ИН .4, Рта 10. Эти параметры имеют место, в частности, в условиях пониженной гравитации при конвективном тепло- и массо- обмене в расплаве полупроводникового материала германия с примесью кремния, полностью заполняющего ампулу. Концентрационной конвекцией здесь пренебрегается, движение в ампуле обусловлено только тепловой конвенцией при малых б/б~ (л~ — ускорение силы тяжести Земли, д — ускорение в системе координат, связанной с ампулой). Начальное поле соответствует стационарному 1 диффузионно-тепловому распределению примеси при Ва= '=Ваа О, т. е.
линейным пРофилЯм темпеРатУРы и Концентрации, нулевому полю скорости. В рассматривающихся ниже расчетах использована равномерная сет а 21Х 21. Как следует из рис. 6.13, а, в ампуле устанавливается сравнительно слабое одновихревое циркуляционное движение, интенсивность которого соответствует числу Рейнольдса Ке - 0,6.
Ввиду того, что коэффициент температуропроводности расплава велик (Рг ~ 1), перенос'в расплава при этих условиях, в отличие от случая Рг = 1, рассмотренного выше в п. 6.8.1, осуществляется преимущественно путем молекулярной теплопроводности. Это следует иэ прямолинейного характера изотерм, покаэанных на рис. 6.13, б.
Конвекция в этих условиях оказывает существенное влияние на распределение примеси: вместо первоначально однородного поперек ампулы распределения примеси происходит заметное ее расслоение. Такой эффект имеет важное значение, так как при последующей кристаллизации из данного расплава воаможно неравномерное распределение примеси (макроликвация) поперек слитка. Отметим, что любые способы физического моделирования этого процесса в жидкостях с малым числом Прандтля (которыми являются практически лишь жидкие металлы) связаны с большими трудностями, поэтому метод математического моделирования имеет весьма важные преимущества в этом классе эадач.
Более полное параметрическое исследование распределения примеси поэволило установить, что равность концентраций поперек ампулы достигает максимального аначения в определенном диапазоне числа Ка, а также чисел Рг и Рг (подробнее см. (96) иэ списка литературы 'к дополнению 2), 218 6.8.3. Численное моделирование переходных и турбулентных режимов коивекции. В этом пункте мы вновь вернемся к задаче, рассмотренной в п. 6.8.1, но будем изучать ее при больших числах Грасгофа, в турбулентном режиме конвекции.
При изучении турбулентных движений традиционным является представление мгновеняого значения скорости (или скалярной компоненты— температуры, концентрации) в виде ее среднего значения и некоторого отклонения от среднего (пульсации). Использование такого представления в исходных нестационарных уравнениях гндродинамики, записанных относительно мгновенных значений (с учетом ряда дополнительных соотношений, известных под названием постулатов Рейнольдса)приводит к уравнениям относительно средних значений, в которых в выражение для тензора напряжений вкл;ючены .
различные соотношения, связывающие пульсации скорости (дисперсии; корреляции скорости и т. д.) (см., например, (20), (25)). При этом осредненные уравнения оказываются незамкнутыми и одной из проблем расчета турбулентных течений является проблема замыкания — нахождения недостающих связей между характеристиками осредненного и пульсационного движений.
Основной недостаток такого рода методов состоит в необходимости использования большого объема эмпирической информации, что уменьшает ценность теоретического исследования. Одним из путей для йреодоления этих противоречий в разработке теории и методов расчета турбулентных течений является попытка вернуться к чис.ленному решению исходных нестационарных уравнений Навье — Стокса. Исходными являются безразмерные уравнения Навье— Стокса для неизотермнческой жидкости в поле силы тяжести (приближение Буссинеска) в переменных вихрь, 'функция тока, температура (6.711) — (6.7.13).
Ставится задача изучения режимов, при которых наблюдаемое в эксперименте течение турбулентно. При этом данная система не имеет стационарного решения, поэтому ищутся мгновенные значения скорости и температуры и (при последующей обработке) средние и нульсационные характеристики. Метод численного моделирования, систематически применяемый для осуществления такого подхода, включает следующие основные этапы: 1)' Расчет методом сеток мгновенных значений искомых полей ф(л, у, П, 6(х, у, г).
Применяется основная разпостная схема, рассмотренная в Я 6.3 — 6.5, на нерав- 219 номерной сетке, сгущающейся в прпстеночной зоне с большими градиентами скорости. Предпринима»отся специальные меры для оптимизации итерационного решения уравнений Пуассона, что осуществляется с помощью метода переменных направлений с выбором оптимального набора итерационных параметров или метода разделения переменных с использованием быстрого преобразования Фурье.
2) На основе предварительного анализа результатов расчета нестационарной «реализации» находится момент времени 1„ начиная с которого средние значения практически не зависят от начальных данных, и осуществляется статистическая обработка для нахождения средних характеристик на «участке осреднения» с +т п(х р) — ~ и(х, У, 1)И, а также пульсационных характеристик и' = и — и', у' (и')», у' (в')», и'и', и'0' и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
