Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Выше в $6.2 рассматривался простейший явный итерационный метод решения. Здесь рассматриваются два более совершенных метода, нашедшие широкое практическое применение и использующие итерационное решение разностных уравнений неявным методом переменных направлений и прямое решение методом разделения переменных с применением быстрого преобразования Фурье. Первый метод более универсален, но и более трудоемок, в особенности при необходимости достижения малой величины невязки.
Второй метод дает возможность получить решение разностных уравнений с «машинной» точностью, но налагает существенные ограничения на геометрию расчетной области, конструкцию сеток и т. д. з85 матричными разностями. Оба разностных уравнения (6.3.9), (6.3ЛО) приводятся к стандартному трехдиагональному типу. Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении уравнения вихря, является вопрос о величине временного шага т (который при расчете стационарных задач «на установлениеэ является итерационным параметром). Преимуществом неявных схем (6.3.11), (6,3.12), в отличие от явных схем,'рассмотренных в 5 6.2, является отсутствие ограничения на величину т из условий устойчивости.
Это преимущество остается в силе, если рассматривать уравнения (6.3.11), (6.3Л2) как модельные, вне связи с уравнением для функции тока и граничными условиями. При использовании же упомянутых схем в системе уравнений Навье — Стокса возникает ряд существенных ограничений на величину т, зависящих в общем случае от способа решения уравнения для функции тока, способа аппроксимации граничного условия для вихря и других факторов.
Конкретные сведения будут даны в примерах, изложенных в Я 6.6, 6.8 после завершения описания основной схемы. 6.4Л. Итерационный метод переменных направлений. Заменяя уравнение (6.4Л) нестационарным уравнением — = /зз(з — вс дф (6.4.2) где а — итерационный параметр, аналогичный времени, запишем схему переменных направлений для уравнения (6.4.2) по аналогии со схемой (6.3Л1), (6.3Л2) в виде )з+д/з,„в з(зззз звз,/ /а+, в+в/в б- з+г/зт - 2 = 1"х Чза/ ззз)зз,/ ) Ь +Ь + в,м /-г + (бр $/,/ — Ц зр/,/) + — зсь/, (6.4,3) „~,в+г в+з/з 'вп/ (б+,рв+з/з 6-„рв+ з/з) 2 + о " з/ " ~' /з+а в зз з $-1 '3+ 'в-1 Здесь г — итерационный индекс; о, „, о, „— итерационные параметры, в общем случае различные по различным направлениям и изменяющиеся от итерации к итерации.
Разностные уравнения (6.4.3) и (6.4.4) сводятся к стандартному трехдиагональному виду и решаются методом прогонки. При использовании схемы (6.4.3), (6.4.4) в общей системе возникают следующие вопросы, важность которых возрастает при росте числа Рейнолъдса: выбор требуемой точности решения уравнения (6.4.2), критерий точности решения этого уравнения и оптимизация итерационного процесса, т. е. выбор итерационных' параметров о.,„, о.„, приводящих к наименьшему числу итераций при заданной точности.
Возможны (и испытывались на практике) два подхода к решению уравнения (6.4.2) в основной схеме. В первом из них, строго применимом только для решения стационарной задачи, осуществляется по одной итерации уравнения вихря и уравнения функции тока. При малых значениях числа Рейпольдса такой способ достаточно эффективен. Это связано с тем, что невязка в решепии уравнения (6.4Л) относительно мало влияет на точность решения системы в целом. Однако при решении нестационарных задач при больших числах Рейнольдса такой способ оказывается малоэффективным.
Практика последних лет свидетельствует о том, что в этом случае следует возможно точнее решать уравнение (6.4Л). Выше в $6.2 использовался простейший критерий точности решения уравнения Пуассона шах ~ »)»»+» — »(»»,; ~ ( е. В ряде работ используетвя также относительный кри- терии шах *', ' (е, (6.4.5) э) По-видимому, это воамошно в тех случаях, когда влияние иа решение величин о, в невелико. 187 Укаэанные критерии хотя и довольно просты, однако ве обеспечивают оценку реальной величины погрешности при решении уравнения Пуассона, что становится ощутимым при больших числах Рейнольдса.
Более объективным критерием точности является относительная величина невяэки решения уравнения (6.4Л): бас = " ", ' (6.4.6) где»о — некоторое характерное (напрнмер, среднее) ана.чвние вихря. При этом критерием точности будет условие шахбаз(з. (6.4.7) Ц Очевидным недостатком такого критерия по сравнению с рассмотренными выше является большая трудоемкость. В том случае, если проводить ограниченное число итераций по схеме (6.4.3), (6.4.4) при некотором значении о, не добиваясь точного решения уравнения (6.4.1), то разностное решение нестационарной задачи будет, как упоминалось вылив в $6.2, зависеть от трех сеточных параметров: т, о, е.
Возможно (экспернментальныв расчеты подтверждают это), что при нв слишком больших числах Рейнольдса существует близкий к оптимальному набор этих параметров, позволя»ощий получить приближенное решение с наименьшим числом временных птагов, т. е. с наименьшими затратами машинного времена*). Однако аналитическое решение задачи о выборе таких параметров отсутствует. Наиболев аффективной является оптимизация на каждом временном слое итерационного цикла решения уравнения Пуассона. Для этого существует соответствующая теория (см. И4)), согласно которой можно найти опти- в»; = ~~~'„Ьь,, з1п —, (6.4.8) яй ь г 188 мальную серию итерационных параметров (различных по направлениям и изменяющихся от итерации к итерации) а,,о с,„..., пыл оьм ..., при использовании которых невязка е уменьшается за минимальное число итераций.
При расчете такой оптимальной серии требуется знать границы спектров разностных операторов уравнения Пуассона, которые в свою очередь зависят от сеточных параметров (пространственного шага сетки, расположения узлов и т. д.), геометрии области (плоская, цилиндрическая и т. д.) и величины геометрического фактора (отношения сторон области и т. д.).
Методика расчета такого оптимального набора параметров (см., например, (14)) разработана лишь для областей простейшего вида (плоские, цилиндрические). Практически обычно задается фиксированное число итераций У, для которого определяют набор параметров, позволяющий получить максимальное уменьшение невязки.
Например, в плоской области при четырех итерациях величина повязки может быть уменьшена в 5 — 100 раэ, при восьми итерациях — в 10' — 5 10* раз и т. д. При использовании основной схемы в области больших чисел Рейнольдса (Ке - 10' и более) лишь такой путь является аффективным для обеспечения вычислительной устойчивости схемы. При этом уменьшение невязки решения уравнения Пуассона позволяет существенно увеличить величину временного шага т.
6А.2. Метод разделения переменных с использованием быстрого преобразования Фурье. Стремление уменьшить невязку решения уравнения Пуассона и избавиться в общей схеме от влияния сеточных параметров и, з побуждает обратиться к так называемым точным методам. Развитие вычислительной математики в последние годы привело к усовершенствованию ряда классических методов, казавшихся ранее малопригодными для численной реализации (например, метод потенциала, метод Фурье и др.).
Мы кратко рассмотрим вариант метода Фурье (метод разделения переменных), приспособленный для расчетов на ЭВМ. Использование этого метода (см., например, (14)) связано с представлением искомого решения в виде конечного ряда Фурье. Запишем выражения для функции тока и вихря в некотором узле сетки в виде К„-г Яз-1 зы фя = ~~~ аь зш в=г где ам; = — ~~ ггг,; в(п —, 1 < у~ (Лгз — 1.
(6.а,9) 2 чГ . ай ~4 Аналогичные выражения можно записать для Ь„ь Здесь использовано разложение сеточной функции в ряд только в одном направлении. Будем предполагать разностную сетку в этом направлении равномерной.. Разностная аппроксимация уравнения Пуассона (являющаяся частным случаем аппроксимации (6.4.3) или (6.4.4)) будет иметь вид Уг+г,у — 2г;у+Фг г; 2 ( $г,;+г — $г,; — = вг у (6.4,10) г-'г Для дальнейшего схему (6.4ЛО) удобнее переписать следующим образом: р„ь,+ рг ь,+ барс,+М,„,+(,рдг,=р сь (6.4.11) где гху= — 2+ Угд(УУ)+ УУ) г), Цу — — ЬзЛп Уь= УгдУУ;-г, Лу = 2(г '(Уу + Уу,) ', Р = Угз.
Подставив (6.4.8), (6.4.9) в (6.4Л1), получим ггх — г ,"~ 1;(. ( . зд(г+ 1) . зд(г — 1) ~ . ядг угг„ ) ад,;(згп — + з(п 1) + а)ад;в1п — + гг„-1 лы . Идг! ~ . яугг + ()уад удгв1п — + у;ад, гвш — 1= р ~ Ьд;в(ив З (6.4Л2) Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в уравнении (6.4Л2), придем к соотношению Ргод, г+г + Угд, год, г+ "(д, год, г-г рЬд, г, (6 4ЛЗ) где, угд; = ау+ 2соз —, 1(у(Лгз — 1. Система д6.4.13), ут ! для определения величин ад г при каждом й решается методом прогонки.
Затем функция тока г~сг отыскивается с помощью обратного преобразования (6.4.8). $ 6.5. Аппроксимация граничных условий для вихря Особенностью постановки задачи для системы уравнений Палье — Стокса в переменных вихрь, функция тока (6Л.15), (6.1.16) являются граничные условия, которые в случае твердой неподвижной поверхности имеют внд ~=0, —," =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
