Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(5.5.24) В этом случае число Прандтля постоянно и равно 1. Тогда имеется возможность легко сравнить решение системы (5.5.19) — (5.5.21) при граничных условиях (5.5.22), (5.5.23) с известным решением стационарной задачи при соответствующей энтальпии стенки (см. [18)). Систему (5.5.19) — (5.5.21) аппроксимируем с помощью описанной в э 5.4 разностной схемы, полагая г 1.
Для расчета нестационарной задачи необходимо анать начальные условия при 1=0 и, вообще говоря, решение системы (5.519) — (5.5.21) с граничными условиями (5.5.22), (5,5.23) в плоскости х-х.. Начальные условия при Ф 0 можно получить, решая соответствующую стационарную задачу. В случае пластины не представляется возможным найти точное решение для малых значений х, поэтому в плоскости х = л, в качестве начальных профилей для скоростей и температуры брались профили из известного решения на продольно обтекаемой пластине [18), пересчитывая их в каждый момент времени для соответствующей температуры стенки. Чтобы выяснить характер установления решения по х и эффекты, связанные с нестационарностью, численно решалась также соответствующая система стационарных уравнений при различных значениях энтальпин стенки Ь .
Расчеты нестационарной и стационарной задач проводились для'0,01 ~х~0,31, полагая (=1,4 и М,-0,384. На этом интервале изменения л заведомо успевали затухнуть возмущения, внесенные в начальные профили скоростей и энтальпии при х,-0,01. Об этом можно судить по изменению теплового потока на стенке при расчете стационарных задач. Известно (см., например, [18))'„ что если зависимость вязкости от энтальпии линейна, Ь =сонэ(, Ыу- =сопзФ, Рг=1 и теплоемкость при постоянном давлении се 1, то тепловой поток к стенка можно вычислить по формуле формуле (5.5.25)- п вычисленные по температурным профилям для различных х при численном решении стационарной системы, приводятся в таблице 5.4 (Ь вЂ” Т„= 0,48). Из таблицы видно, что с ростом х.совпадение значений тепловых потоков, вычисленных по различным формулам, для полученного численного решения значительно улучшается и для в~0,16 имеется совпадение с точностью до единицы третьего анака после запятой.
Позтому сравнение решений стационарной и нестациодарной задач проведено для я~0,16. Число итераций было равно четырем, что обеспечивало сходимость итераций до пяти значащих цифр для всех искомых функций. Таблица 54 (р))р=. (по температурным проФилям) т.— т„ х 2 "нз(0) 3т 0,798925 0,613929 0,530194 0,468009 0,423538 0,389728 . 0,803636 0,627950 0,531473 0,468894 0,424211 0,390262 0,06 0,11 0,16 0,21 0,26 0,31 Известно, что аффекты, свяаанные с нестационарностью, будут проявляться тем сильнее, 1ем больше будет величина отношении характерной длины к проиаведению характерных скорости и времени (число Струхала). В связи с атим бьули просчитаны два варианта задачи с раз.личными числами Струхала (0,01 и 10).
Полученные результаты сравнивались с решением системы уравнений стационарного пограничного слоя .при Ь 0,21; 0,345; 0,48; 0,615; 0,75. Анализ результатов расчета при числе Струхала, равном 0,1 (шаг по времени М 0,01), пока.зал, что отличие от решений соответствующих стационарных задач не превышает 1% по тепловому потоку, вычис.ленному на стенке. Особенно интересны реаультаты расчета при числе <трухала, равном 10 '(шаг по времени И=0,005). Сами величины и характер их изменения резко отличаются от соответствующих решений стационарных аадач. Таку на.пример, на рис. 5.10 приводятся профили знтальпии в моменты времени г-0,02; 0,06; 0,10 и соответствующие им й58 д,, йг дд у рзс.
ЬЛО. г — стационарное решение, 2 — зестацвонарнов реше- нзе. Рторой пример связан с расчетом течения в пограничном слое, нестационарный характер которого определяется нестацнонарностью изэнтропнческого и сверхзвукового внешнего потока. Синусоидальные колебания скорости П скорости звука генерируются на входе канала таким образом, что число Маха остается постоянныж При решении задачи . одновременно .интегрируются две. системы: система одномерного нестационарного движения идеальной жидкости и система нестационарных уравнений пограничного слоя. Первая из этих систем записывается относительно скорости внешнего потока й и скорости звука а = ~Р/Р: ди + - д~ + г ада 0 1552бг д1 дз т — 1 да да да т — 1 д„ вЂ” + —.+ — —, =О. дг дя 2 (5.5.271 159 профили иэ стационарного решения. Обратим внимание я на тот факт, что при 1~0,01 внутри пограничного слоя существует область, где температура меньше температуры стенки, Это приводит к существенному различию тепловых истоков на стенке по сравнению со стацнонарнымн решениями (рис.
5.11). Следует отметить, что тепловйе потоки в нестационарном решении не только отличаются по величине от тепловых потоков в стационарном случае, но и различны по знаку уже для г> 0,01 и х ~~ ) 0,275: Таким образом, применение в подобных случаях квазнстацнонарного подхода может привести к совершенно неправильным результатам. Эти уравнения записаны в безразмерной форме. За характерную длину 1 выбрана длина канала, скорость звука отнесена к й, — скорости внешнего потока при в О, а давление — к произведению р,и~. Безразмерные величины для второй системы (5.4.1):(5.4.3), определяющей =хааа аа'гл~ а,ваа а'ава бава а 7а г / --- — — -вава — — — —.— авва — — дав Рва 5.И.
.течение внутри пограничного слоя, введены по формулам 15.4.4), где величины с индексом «0» — соответствующие значения величин в ядре потока при 1=0. Предполагается также, что в начальный момент времени (в = 0) осуществляется установившееся равномерное течение по в сей длине канала в ядре потока, а параметры течения о внутри пограничного слоя могут быть соответ отвеин най ены из известного автомодельного решения И8). Нен "д стационарный характер течения определяется сину ин соидальными колебаниями скорости и скорости звука при .х х, (х, при расчетах принималось равным 0,0 . р дОо1) Пеполагается, что при х =х, параметры потока внутри по- гран р пичного слоя изменяются мгновенно при изменении ыть найпараметров внешнего потока и поэтому могут быть и "- дены из автомодельного решения для сжимаемого газа на пластине (18).
Все эти предположения позволяют сформулировать математическую постановку задачи следующим обрааом, Для получения интересующего решения нужно совместно проинтегрировать две системы уравнений. Первая система — уравнения (5.5.26), (5.5.27) с начальными условиями й(0, х) = 1, а(0, х) 1/М, (5.5.28) и с граничными условиями й(г, л,) = 1+ Ь, эш (с,т), (5.5.29) а(г, х,) = 1/М, + Ь, з(п (с,Ф). (5.5.30) Здесь М, — чиоло Маха при 1 = 0 в ядре потока; Ь„ Ь„ с„ с, — соответственно амплитуды и частоты колебаний скорости и скорости звука. Вторая система — система уравнений пограничного слоя, преобразованная посредством (5.4.17) к виду (5.418) — (5.4.20), с граничными условиями и=и О, Ь Ъ прн ~) =О, (5531) и(т, Э) — й(т, Э), Ь(т, $)- я(т, $) при ~)-, (5.5.32) где й и Ъ находятся иэ решения системы (5.5.26), (5.5.27) с условиями (5.5.28) — (5.5.30).
Энтальпия и давление во внешнем потоке определяются по формулам э Й = аэМ, р = — ат 'М т '. ~-1 т Зависимость плотности и вязкости при расчетах принималась следующей: эт Р— (Мое) ' л )г — ". Начальные условия при г = 0 для системы (5.4.18)— (5.4.20) находились иа автомодельного решения (18). Для решения системы (5.4.18) — (5.4.20) с соответствующими граничными и начальными условиями применялся разностный метод, описанный в т 5.4. Для решения системы (5.5.26), (5.5.27) с начальными и граничными условиями (5.5.28) — (5.5.30) использовалась явная раэностная схема, описанная в р.
3.2.4. При интегрировании системы (5.5.26), (5.5.27), используя явную схему, осуществлялся последовательно переход от одного временного слоя к другому. Заметим, что в начале счета во внешнем потоке рассчитывались только те точки, которые попадали в область влияния условий (5.5.29), (5.5.30).
Ногда возмущения, создаваемые на входе канала, дости- И В, и, паскеэсв В аэ э61 гали его конца, для расчета последней точки на каждом временном слое испольаовалась схема кврвого порядка, в которой производные по х и 2 ааписывались односторонним обрааом. Так как эта явная схема налагает ограничения на шаг по времени Лг(йх)й~а(, то в программе была предусмотрена возможность делать необходимое число 4) шагов по времени при решении системы (55.26), (5.5.27), после чего проводилось решение системы (5.4ЛЗ) — (5.4.20) на одном следующем временном шаге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
