Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Тестирова»ше программ на задачах. Обычно тестирование (проверку) программ, испытание возможностей . разностных схем, первоначальный подбор сеток пытаются провести на известных решениях. Таким «пробным камнем» для разностных методов в задачах пограничного слоя может служить решение Блазиуса для задачи Прандтля о стационарном течении в пограничном слое на пластине (см. и. 5.1.2). Наиболее просто проверить алгоритм про'- граммы в .том случае, когда на каждом иоследуюшем слое. пет необходимости прибавления точек.
Для этого предварительно к системе Прандтля (5.»Л5) применим преобразование Блазиуса 5 =к, «) = у/ул. Заметим также, что искомые функции в задачах пограничного слоя имеют наибольшие градиенты вблизи поверхности тела. В- связи с этим рационально использовать такие сетки, узлы кото- 138 рых сгущались бы к поверхности тела. Сгущение уздою сетки в физической плоскости (х,. у) можно осуществить путем введения неравномерных шагов сетки по.у или пу. тем применения соответствующего преобрааования коор- динат. Используем пока второй путь и вслед за преобра- зованием Блазиуса к системе Прандтля применим лога- рифмическое преобразование вида $, = $, »), = 1п (1+ т)/а), где а — параметр; изменяя который, можно сгущать рас- четные 'точки вблизи стенки.
При таких двух преобразова- ниях число арифметических операций для вычисления ре- шения в каждой точке естественно увеличивается, но при этом представляется возможным вести расчет в перемен- ных ($„»),) с постоянным шагом разностной сетки попе- рек пограничного. слоя н постоянным числом узлов на каждом разностном слое $, = сопз«. В переменных Цо »),) система Прандтля для задачи течения в пограцичном слое около пластины имеет вид $,а»е и — +~се ~е 'Г $ — — и(е — 1) а~ + 11 — = »Ч» ди ! ч»Г Г- 1 Ч» 1 ~ ди — (5.5 1) дп» вЂ” ч» ди 1 чд ди ди у $ ае — — —.*=(е .— 1) а — + — = 0: д5 з У5 дч дчд Граничные условия для этой системы запишем в форме и и Опри»), О, (5.5.2) и -: 1 при 1)1— Как уже отмечалось в п.
5.2.6 настоящей главы, для зада- чи (5.5.1), (5.5.2) необходимо задавать профили искомых ,функций и и п для некоторого $ = $~» (х х,). Приведем некоторые результаты численных экспери- ментов, характеризующие воэможности основной разност- ной схемы. Расчеты проводились от профиля Блазиуса и от разрывного профиля '(и= 0 при ц, = О, и = 1 для ») ) 0) при 5„=0,01 на интервале по т) от 0 до 8,8 'и о($„) = 0 для г), > О, Прн этом варьировались число точек поперек слоя М и параметр а. Итерации по «нелинейно- сти» проводились с точностью до е = 0,0001 для значений и во всех точках сетки. Качество результатов оценивалось по значению (ди/д»))„:.», которое для автомодельного ре- шения Блаэиуса равно 0,332.
Я 1 щ о ф о о о 140 р, 4 о ф Р о з со о В 3 о о 1 Р о Ф Ф о, о о Р о Г 1~ а со 'с' Й со Й со сс Й Й Й Й Я о со сО ос о сс о о ос со ос сО ос о о ос ос о о р со со о со со со со со с1 со ос со о ос о о ос со о ос о сО со ос ос со о о со со Й Й й Я Й Я Й о со ос о со о ос со со со ос со со со д д ос со сс со Й с со с Й ос ос ос ос Й Й Й ос 'Й Й Й со со со со сс со со со со со с э ос со ос со со о ос со со о о Ос О ос со о со со с- со ос со со о о о о о ос о р о о со . сс ос со о со со со со со В !! Р', й я Ь о сс ~ со со м~ о Я !! о Д З П й о о $ со с д в д с ос со со ос Й сО сО о со о со о о со со о со ос ос д со с- со со ос о О сос а о о о о ос о о .о о 363я $ля $аяя ос ос ос со о со ос о о о ос 3 о ос 8 с~ р ~~ д р ф 3 о со о со о ос со со со о ос о о со со о о со о ос о о со о с с о со со М я со Я Я Я й й й й й й'~ й со со со ос со со со м со со со о ос ос о со о со ос со ос о со со ос О О О О со со о о о со о о- о со о Результаты расчетов собраны в таблицах 5.2, 5.3.
В этих таблицах приведены значения (ди/д»))» «, вычисленные со вторым порядком точности относительно Л«), и число итераций по «нелинейности» 1 для различного числа точек М поперек слоя. В последней строке каждой таблицы даны значения (ди/д»)), «для профиля Блазиуса, проинтернолированного на соответствующую сетку. В таблице 5.2 приведены результаты для а = 1, а в таблице 5.3 — для М 20 и различных а. Следует отметить, что даже при расчетах от начального профиля Блазиуса происходит некоторая перестройка решений и для получения установившегося профиля необходимо 9 — 10 шагов по $, (Л$, в расчетах было равно 0,01). Обратим внимание также.на то, что на первом слое по 5, при расчетах от профиля Блааиуса наибольшее число итераций по «нелинейности».
При расчетах от разрывного профиля установившееся решение получается на 15 — 16 слоях, число итераций на первых 5 — 6 слоях колеблется в пределах от 5 до 9. В п. 5.3.7 был изложен разностный метод для расчета течений в пограничном слое, обладаюп(кй свойством сильной стабилизации высокочастотных возмущений. Приведем некоторые результаты контрольных расчетов по этой схеме, приведенных для той же задачи (5.5.1),'(5.5.2). Начальное условие задавалось при $, = 0,01. По переменной»), была взята равномерная сетка с числом интервалов 40. Шаг по $, равнялся 0,0025. Параметр а логарифмического преобразования принимался равным 1 и 10. Оценка погрешности приближенного решения проводилась по величине, нормированного коэффициента трения ш = т„ух, которая в рассматриваемом случае должна быть постоян' ной.
Погрешность в и при а=1 не превышала 0,16%; при а = 10 она не превосходила 0,03«~». Для выяснения стабилизирующих свойств схемы проводились расчеты обтекания плоской пластины при раз личных начальных профилях. Пусть Л вЂ” «толщина» по-' граничного слоя в автомодельном перемецном «). В случае решения Блазиуса, поскольку Л сопз$, полагалось Л = 8,0. В качестве начального профиля и была взята кусочно-линейная функция, которая обращается в 0 на пла,стине и принимает постоянное значение и 1 на расстоянии Л, от пластины. В случае 1) Л, 0,5Л; в случае 2) Л, ='2/ЗЛ.
Кроме того, мы рассмотрели предельный случай 3), когда начальный профиль задан разрывной функцией и,(0) =О, и.(«),) 1, »),)О. В расчетах варьировались число интервалов М по поперечной кординате 142 т), (М 10; 20; 40) и параметр а логарифмического преобразования (а=1; 10). Во всех случаях, включая разрывный начальный профиль, происходил плавный выход на решение Блазнуса. На рнс. 5.4 изображена зависимость л» от х при М = 40, а = 10, Ь$, 0,0025.
Кривые 1, 2, 3 соответствуют описанным выше трем случаям выбора начальной функции.' Отметим, что функция ю(х) — гладкая. При проведении аналогичных расчетов по симметричной шеститочечной схеме п(х) осциллирует. Скорость выхода на предельное решение характеризуется следующими данными. Отклонение ю(х) от предельного значения при М 40, а 10» Л$ = 0,0025 составляет для профилей 1) и 2) соответственно 0,06 и 0,07 то прп М = 0,26.
Для разрывного про- ' филя 3) при х 0,485 возму- д»» щенке ю(х) составляет 77». Как н следовало ожидать, дзз с уменьшением М до 20 (при г тех же значениях п и 6$,) скорость стабилизации узе- .7~ р 026 дгг возмущение ш(х) для началь- ДМ бп Сз~ Яы Л»' » ного профиля 1) составляет рве, з4 0,03%; для начального профиля 2) оно равно 0,026%. При дальнейшем увеличении поперечного шага сетки начинает сказываться ошибка аппронсимации; при М = 10 она достигает 1,27». Варьированне параметра а в пределах от 1 до 10 несущественно влияет на скорость стабилизации и точность решения. В и. 5.3.6 описано применение основной разностной схемы для исследования стационарных течений однородного сжимаемого газа в пограничном слое.
Приведем некоторые результаты расчетов с помощью основной схемы такого' течения для плоской пластины. В этом случае интегрировалась система уравнений (5.3ЛЗ) — (5.3Л6) при др/дх 0 с граничными условиями (5.3.17), (5.ЗЛ8). Для такой задачи, так же как и в случае течения несжнмае» мой жидкости, имеется автомодельное решение. Проводя сравнение разностного решения с автомодельным, можно судить о качестве алгоритма и правильности работы программы. Применялся алгоритм, описанный в п. 5.2.7 и позволяющий проводить расчет с постоянным числом шагов по поперечной координате. Это достигалось введением новой поперечной координаты т) = рЮ(х). Функция б(х), за- дающая верхнюю границу области, находилась из условия гладкого сопряжения профилей продольной составляющей скорости и и энтальпии Ь так, чтобы при р = б(х) выполнялись условия »ди/ду1 ( з„ (д)»/др! ( е,.
С помощью переменной») область х> х„О< у( б(х), в которой ищется решение в физической плоскости, переводилась в полуполосу х л„ 0 ~ ») ( 1, использование в которой прямоугольной сетки обеспечивало при возрастании толщины пограничного слоя автоматическое увеличение шага сетки по координате у в физической плоско'сти. Расчеты велись на неравномерной по координате ») сетке, имеющей 33 узловые точки (включая точку при 0). Минимальное значение шага Л»)» = 3,125 10 ' (у стенки). Удвоение шага производилось при т 4; 10; 14; 22; 28. Чтобы сохранить рекуррентное соотношение (5.3.9) в точках перехода от шага Ь») к шагу 2/»»),.ярого ночные коэффициенты вычислялись по несколько иным формулам, чем формулы (5.3АО).
Если шаг между (т — 2)-й и (т — 1)-й точками, между (т — 1)-й и т й точками равен Л»), а между л»-й и (т+ 1)-й точками 2/ь»), то аппроксимация производных по у для уравнений второго порядка для т-й точки проводилась по (т — 2)-й, т-й и (л»+ 1)-й точкам, а прогоночные коэффициенты вычислялись по формулам т»,~ .А»,„=— А А.
Э »,я-»»,я-з»»»,тл+ рцм с».— "»т(н». А» -'+и» -) »,и 3 А» ш»А» щ зн» ~+ ()» ~ где а,, 5ь, 7»,, б»... определялись по формулам (5.3.8), если заменить в них индекс л» вЂ” 1 на т — 2 и»ьу на 25у. Счет велся от л 0,01 до х = 0,296. Начальный шаг по х брался равным 0,001, а затем постепенно увеличивался, достигая к концу счета 0,03. Параметры усреднения г,полагались равными 0,7. Постоянная е, в,условиях гладкости сопряжения бралась равной 10 '. Постоянная е, в условиях сходимости итераций — равной 10 '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
