Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Оставаясь в рамках прандтлевской постановки задачи о пограничном слое, следует предположить, что на внешней границе решение системы (5.4.1)— (5.4.3) должно асимптотически стремиться к решению соответствующей задачи для идеального газа, взятому на поверхности тела. Это означает, что решение системы (5.4.1) — (5.4.3) на внешней границе должно удовлетворять системе уравнений — + — + — — О др д (ри) д (ри) (5.4.7) ду ди ди др Р— + Ри — = — '— (5.4.8) Р а + Р" д аи + (Я вЂ” 1) Мои ) , (5.4.9) дЬ дй др ар р = й'(й — 1) 1рй ', (5.4ЛО) так как вязкими членами в етом случае можно пренебречь, ди/ду — О и дй/ду — О прн у - . Отметим, что система координат здесь такая же, как и' в пограничном слое, т.
е. ось х направлена вдоль поверхности тела, а ось у перпендикулярна к ней. В случае обтекания пластины в уравнении (5.4.7) дрр/ду О. Таким образом,при решении сисуе)зы уравнений нестационарного пограничного слоя для сжимаемого газа следует находить значения и, Й и р на внешней границе пограничного слоя из решения системы (5.4.7) — (5.4ЛО) при у О.
Система уравнений нестационарного сжимаемого пограничного слоя формально может быть приведена к следующему виду: — + а + а — — О, (5.4.И) др дри , дри дз +и) а +5*' '= а (~~ — д)+4+с,1о (5.4Л2) Уравнение (5.4.И) — обычное уравнение неразрывности. Обозначения общепринятые: à —.время, х — продольная 134 координата, направленная вдоль тела, (/ поперечн координата, и и и — соответствующие составляющие скорости, р — плотность. Предполагается, что коэффициенты ае Ьо с„»»», е„р» в уравнении (5.4.12) могут зависеть от искомых функций /», и и их пространственных производных.
Одна .из искомых функций /» должна совпадать с и. Уравнение (5.4.12) запишем таким обравом: а/,. д» (5.4.13) где а / а/, ). / д/,. д/» '» А» = а / с» — »)'+ Н» + е /. — ~ૠ— ' + Ь» — '). У( ду) дх ду )' Введем в пространстве (х, р, г) основную прямоугольную сетку, состоящую из точек х = х, + вбх, у тйу, Г = ЙМ, и вспомогательную сетку х = х„+ (и+.1/2)Лх, у = тЛр, » = ЙЬг, х = х, +.(и+ 1/2)»Ьх, у = /в/ьр, г= (Й+ 1/2)Ьг. В точках основной сетки вычисляем искомые функции /», 'в точках вспомогательной сетки — значения коэффициен-, тов а», Ь„се»1», ее р» н скорости»/. Обозначим /» = /«(х + г»/»х, и//».у,Ййс).
Будем аппроксимировать (5.4АЗ) следующим образом: «+1/2»,»»»,»»+1/ь «»»»,»»+1/« /"+~ р»,т, «.ъ/«а« /»+1 4, „„, (1 у) А, «+«/«(5.4.14) ь ь Ь+1 где Аащ,«+1/«и А»,та,а-»-»/а — ревностные аппроксимации оператора А, в плоскостях г ЙЫ, Г= (Й+1)М, соответствующие двухслойной неявной шеститочечной схеме, подробно описанной в з 5.3. Используя метод Фурье в сочетании с обычным приемом «заморажнвання» коэффициентов, можно показать, что предложенная схема абсолютно устойчива при 1/2~ ~ г ~ 1. Таким образом, если известны все функции /» и »/ в момент времени Г= ЙЛ« и на и-м слов в момент времени г = (Й+ 1)М, то уравнения (5,4Л4) совместно с граничными условиями для функций /» при у О и на внешней границе пограничного слоя (р — ) образуют систему алгебраических уравнений относительно функций /», ', +, (так как /ь~,т",и« /« = (/»+„,'а+/»««~»и.у»)//2)» которая может 135 быть решена известным методом прогонки.
Зная все функу~-1 ции ~к,, +г и предполагая, что плотность р есть известная функция (; (обычно р = р(р, Т), где р — давление, Т вЂ” температура), можно найти о ~~+им аппроксимируя уравнение (5.4Л1) по четырехточечной схеме, описанной в $5.3. Так как коэффициенты аь Ьь сь 4, е„ру уравнения (5.4.12) могут зависеть от искомых функций, то для на- И-1 хождения функции ~;,,~+, следует применять итерации. Описанная схема позволяет искать решение системы (5.4.11), (5.4Л2) в области х ~х,, у > О, г> О, если известны значения функций ~, и и в плоскости г = О и в плоскости з х,.
Решение можно получать последовательно на каждом временном слое г= сопзФ иля на каждой плоскости х = х, + пйх для различных г. Возможно и сочетание этих двух алгоритмов. В 3 5.3 описан стандартный алгоритм для решения систем вида — + — =О, дри дри дз ду д1~ д(;' д / дг; (5.4Л5) (5.4Л6) С его помощью предложенная разносткая схема может быть реализована на электронной вычислительной машине. Действительно, уравнение (5.4Л1) отличается от уравнения (5.4.15) только членом др/дг, т, е.
некоторой 'известной правой частью, которая может быть вычислена в соответствующей подпрограмме. Уравнение (5.4Л4) можно свести к разностному аналогу уравнения (5.4.16), 'если все члены, зависящие от искомых функций на Й-м временном слое, отнести к коэффициенту А. При использовании описанного алгоритма для решения нестацпонарных двумерных задач, в которых толщина пограничного слоя увеличивается с ростом х, естественно увеличивается число точек по у при переходе от слоя к слою. Это приводит к тому, что в силу ограниченности оперативной памяти машины при достижении максимально возможного числа точек на слое приходится делать переход па другую сетку. Если для стационарных задач с этими трудностями справиться сравнительно легко, то для нестационарных задач переход на новую сетку требует составления достаточно громоздких программ интерполяции всех искомых функций сразу на двух временных слоях.' 136 Желание вести счет с одинаковым числом точек на каждом расчетном слое естественно приводит к введению новой переменной ц = у/6(1, х) (аналогично тому, как это было сделано в.п.
5.2.7), где 6(1, х) есть «толщина» пограничного слоя, которая определяется из условия гладкого сопряжения решения уравнений пограничного слоя с внешним потоком. При переходе от одного расчетного слоя к следующему 6(1, х) является неизвестной функцией. При переходе к -новым переменным 1=1, $=х, т) р(6(т, $) (5.4Л7) система уравнений (5.4Л) — (5.4.3) примет вид — — — 6,(т, Р).— + —, др Ч ! др д(ри) д1 б(т,б) ' дЧ ' д$ — — 61 (т, $) — + — — = О, (5.4Л8) Ч ~ д(ри) 1 д(ра) 6(т $), ' дв 6(т,$) дЧ Г ди Ч ди ди Ч ~ ди '1 "'" '" " ("' " + 1дт б(т $) т, дд дб 6(т,Ц ' дЧ 1 ди1 др д I р дий + о — — 1 = — — + — ~ — — ~, (5.4Л9) 6(т,$) дч ~ д4 дч (, бз(т 6) дч ~' Г дй Ч ~ дй дй Ч ~ дй р1 — — — 6,(т, $) — + и — — и — 61(т, $) — + (дт 6(т,б) ~ ' дч .д$6(т й) ' дч о дб з д Для нахождения неизвестной функции 6(т, б) можно использовать алгоритм, описанный в п.
5.2.7. В качестве .начального приближения для 6(т, $) в случае нестационарных задач естественно брать соответствующее значение 6 с предыдущего временного слоя. Численные эксперименты покааали, что при некоторых ситуациях (интенсивные возмущения во внешнем потоке или на стенке) функция 6(тз $), построенная таким образом, оказывается немонотонной, пилообразной функцией от 6. Уменьшение шагов по направлению $, вообще говоря, может это исправить. Однако локальное уменьшение шага по $ при расчете таких задач вызывает большое увеличение объема работ и приводит к увеличению информации, которую необходимо хранить в памяти машины. 137 Поскольку 6(т, $) — вспомогательная функция, которую можно выбирать достаточно произвольно, применяется некоторая простая операция «сглаживания».
Зта операция заключается в следующем. Пусть известны значения 6(т», 5»), 6(тз, 5»+ Л$) и 6(те+ Ьт, $*), где фэ, т» — некоторые фиксированные значения 5, т, а 6$ иЛт — соответственно шаги по $ и т. При расчете значений ли Ь на слое (т«+ Лт, $» + Л$) по описанному з' и. 5.2.7 алгоритму выработается некоторое значение 6(т»+Лт, $*+Л$). Искомое значение 6(те+ Ьт, — $~-(- Ь$) находится по формуле 6(т*+Лт, $»+ Ь$) — 6(те+ от, ~э)+%63, (5424) где ( (6 (т», 6* + Л5) 6 (т*, 6») й= ~ „+ 6(т~+Лт. Р+а6) — з(т'+ Лт Р)] (5 422) + Операция «сглаживания» приводит к построению более гладкой функции 6(т, $).
3 5.5. Примеры расчетов Разностные методы-решения уравнений типа пограничного слоя, изложенные в предыдущих параграфах этой главы, могут быть применены к,широкому кругу задач. В настоящем параграфе будут даны примеры расчетов, иллюстрирующие возможности описанных методов для решения различных задач аэродинамики. 5.5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
