Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Результаты методических расчетов показали, что при выбранных значениях параметров раэностная схема достаточно хорошо удерживает автомодельное решение. Об этом можно судить, например, по величине с»Не„, которая »/з 144 по ходу счета колеблется около автомодельного значения 0,664 с амплитудой, не превышающей 0,7%. С учетом полученных результатов указанные параметры разностной схемы и значения постоянных были использованы при проведении. систематических расчетов пограничного слоя.
При выбранных параметрах сетки уточнение условий гладкости сопряжения и сходимости итераций по нелинейности не привело к существенному повышению 'точности решения. Расчет, проведенный при е, = 10 ' и е, = 5 10 ', дал отклонение значения с~ Ве хоа от автомо' дельного порядка О,бе/з. 5.5.2. Пограничный слой на слабоволнистой стенке. При постановке задач о течении в пограничном слое иногда необходимо учитывать волнистость обтекаемой поверхности. Наличие даже слабой волнистости приводит к периодическому колебанию давления. Это сильно сказывается на течении в пограничном слое, может привес~и к отрыву пограничного слоя и к переходу ламинарного течения в турбулентное.
Решение задачи о потенциальном течении на волнистой стенке, контур которой аадан в виде синусоиды р = а,э(п (2ях/Х)„ приведено в (19) (см. литературу к дополнению 1) (х, у — декартовы координаты с осью х, взятой в направлении набегающего потока). Если амплитуда волны а, мала по сравнению с длиной волны Х, то выражение для продольной составляющей скорости течения несжимаемого газа может быть записано в виде и = К + 2яар э(п —.ехр ~ — — р (5.5.3) 2лх ( 2ау 1 а выражение для давления на стенке— р = р„— 2яар„.$™ эш (5.5.4/ где а = а,/Х вЂ” безраамерная амплитуда; р, р„, г'„— давление, плотность и скорость на бесконечности.
' Задача о течении в пограничном ялое на слабоволнистой стенке решалась (см. дополнение 1) в линейной постановке относительно а путем рааложения функции тока в ряд по степеням х с коэффициентами, которые являются функциями переменной подобия ц = уУУ /ч (т )ь/р— кине магическая вязкость, р — коэффициент вязкости, р — плотность).
Было установлено, что в зависимости от величины амплитуды отрыв пограничного слоя может проиаойти на первой, второй и т. д. волнах. Для каждой волны существует такое значение амплитуды а аз, что для 1О В. М. Паенозов и др, 14Ь всех а(ах отрыва пограничного слон не происходит, а для а > ах наблюдается отрыв пограничного слоя уже на втой волне. С целью нахоящения разностным методом значений ах, при которых имеет место отрыв на первой и второй волнах, рассмотрим течение несжимаемого газа в пограничном слое на волнистой стенке с осью х, взятой вдоль волнистой стенки, и осью у по нормали к ней.
В качестве распределения давления в принятой системе координат можно ваять распределение давления (5.5.4). В переменных х, у, связанных с волнистой стенкой, задача сводится к решению уравнений дх ди ~'„з 2лх д и' и — + у — = — (2 я)' а соз — + т —,, у (5.5.5) ди од2ях + —,, Ф .(5.5.6) Ф: о о=*О при у-О, и 2ях (5.5.7) у1 о слоя. Ф на первой, второй и т. д. нтегрировалась при раз- О,Ог из решения Блази- ди дз — + — =О..
дх ду Здесь и, у — составляющие вектора снорости вдоль осей х и у. Систему (5.5.5) следует интегрировать с нулевыми гра- ничными условиями при у ~0 (и=О, 5-0), а на внеш- ней границе пограничного слоя положить и равной вели- чине продольной составляющей скорости потенциального "течения при у = 0: 2лх и= К + У 2яаз(п — „ Вводя безразмерные величины у)/Ге, и, с уйе х'= —, у= — и= — о Э у Э р'= ~, (Ве= — ) н опуская штрихи в обозначении безразмерных величин, получим систему уравнений и — + у — = (2л) ос дх дх дх ду ди дз — + — = дх ду с граничными условиями и О, и = 2 + 2яа з1 на внешней границе пограничног Для определения значения ах волнах система (5.5.0), (5.5.7) и личных значениях а.
В качестве растай были взяты и, о при х= уса для плоской пластины. -И6 Исследоваттие влияния шагов Лх, Лу и числа итераций . на точность определения точки отрыва было проведейо для случая а= 0,01. Число точек на начальном профиле было равно 21, Лу 0,04. Сначала были проведены вычисления с постоянным шагом Ьх = 0,01 и с шестью итерациями, Было установлено, что точка отрыва расположена между х= 0,53 и х= 0,54. При подходе к точке отрыва наблюдалось реакое увеличение числа точек на слое при переходе от слоя к слою, что свидетельствовало о плохом выборе шага Ьх. Поэтому был проведен счет с шагом Лх= =0,005, начиная с х =0,41, для которого был взят профиль, полученный при счете с Лх= 0,01, но с Лу 0,08.
Число итераций было' прежним. Вплоть до х = 0,46 результаты счета с шагами Лх ='0,01 н Ах = 0,005 были довольно близкими, затем расхождение стало увеличиваться. Место отрыва при Лх = 0,005 находилось между х = 0,480 ' и х = 0,485: Начиная с тех же профилей компонент скорости, для х = 0,41 был проведен счет с шагом Лх 0,001. Число итераций было увеличено вдвое по сравнению с предыдущим. В результате было отмечено хорошее совпадение профилей компонент скорости с прежними также.
вплоть до х=.0;46. Место отрыва 'снова передвинулось. 0,479 ( хм а ( 0,480. Сходимость итераций исследовалась длн х=0,416- н в области, близкой к отрыву,' для х = 0,476. Было установлено, что за сходимостью итераций имеет смысл следить в точках, близких к у = О, так как с ростом у сходимость итераций значительно. улучптается. Отмечалось также резкое ухудшение сходимости итераций при приближении к точке отрыва. Так, если рассматривать величину относительной сходимости итераций би, = !ит+,— -и;~/итча П вЂ” номер итерации) в точках у=0,08 при х = 0,416 и х= 0,476, то для того, чтобы было би,(е = = 0,0003 при х = 0,416, необходимо сделать 6 итераций„ а при х = 0,476 — 12 итераций.
Основываясь на полученных численных результатах„ при счете всех остальных вариантов с различными а шаг Лх уменьшался в два рава, если число точек на слов увеличивалось больше чем на 20 в 'результате невыполнения условия,'бит ~ е. Это условие (с е = 0,0003) проверялось в точках у =Лу,. Сетка по у была выбрана неравномерной: первые-И точек по у с Лу,=0,04, остальные — с Лу, =0,08. Начальный шаг Ьх=0,01.
При приближении к точке отрыва шаг Ьх уменьшался до тех пор, пока ве становился меньше 0,01. Таким образом, место 10* 147: расположения точки отрыва определялось с точностью до 0,001. Просчитаны варианты для а 0,01; 0,008; 0,0065; 0,006; 0,005; 0,003; 0,002; 0,004. Результаты расчетов показывают, что величина амплитуды а в,при которой впервые имеет место отрыв на первой волне, лежит в интервале 0,006(ав(0,0065, а на второй волне — в интервале 0,002<ай( 0,003. Положение точки отрыва для различных амплитуд а следующее: 0,006 0,0065 0,003 0,006 0,01 1,45 0,5125 0,6925 0,4775 на первой волне на второй волне Для амплитуд а, при которых имеет место отрыв на первой волне, профили скоростей и с ростом х становятся все менее наполненными при приближении к точке отрыва.
На рис. 5.5 приведены профили скорости и для амплитуды а=0,008 (отрыв на первей волне). Как уже отмечалось, резкое увеличение числа итераций наблюдалось при приближении к точке отрыва. Интересен тот факт, что, хотя для а 0,005 и а 0,006 на первой волне отрыва не было, наблюдалось увеличение числа итераций (до 6 — 9) для .0,58( х( 0,7. Заметим, что в этой области при и = 0,0065 произошер отрыв пограничного слоя.
удв уе 6У д е 5у а т г Ряс. 5.5. Аналогичные результаты были получены при решении этой задачи с помощью разностной схемы, обладающей свойством сильной стабилизации высокочастотных возму'- щений (см. п. 5.3.7). Применение. втой схемы, не требующей итераций на каждом слое по х, более эффективно по сравнению с основной разностной схемой при расчете течения вблизи точки отрыва. 146 5.5.3. Течение несжимаемой вязкой жидкости в канале, г)сновныо уравнения, описывающие течения в канале при упрощающих предположениях, даны в и. 5Л.4.
Задача в целом определяется системой уравнений и граничных условий (5.1.28) — (5.1,30). В отличие от предыдущей рассмотренной задачи здесь необходимо определить градиент давления др'/дх' в процессе решения задачи. Это возможно, так как система уравнений состоит из трех уравнений (5.1.28), (5Л.ЗО) относительно трех неизвестных: и', и', др'/дх'. Дальше для простоты записи формул штрихи опустим.
Для аппроксимации уравнения движения используем неявную разностную схему с з=1; для вычисления интеграла (5Л.ЗО) — формулу трапеций; для уравнения неразрывности — простейшую четырехточечную схему. Тогда получим следующую систему разностных уравнений: и+1 пп . пп+г и+1 "т+ 1 а* ""' 2а =-(-~ д ~о+1 й+ — 2й+и+ й~ Г + т О п1 т+ дп~ д о й,+„.', = й+ — 2ад (й+г + йэь — (и" +, + и")1, (5.5.8) ( — ° )— 2 по +п1 + ° ° ° +вм-о+ 2 пи )пУ=1. 1 п.~.г и+1 п.~.| 1 и+ д'1 и = О, 1, 2, ..; по = О, 1, 2,..., М. Первое уравнение этой системы (5.5.8) можно представить в виде отпт — г + Ьтпт + стптео = Ут + ( д ) ° (5.5.9) и+1 и+1 и+г ( дд )и+Г Использование других неявных разнвстных схем приводит к другим выражениям для коэффициентов а„, Ьпп с, ю .
Ищем решение (5.5.9) в виде й,"~ = й+'+ ® Ц,+', (5.5ЛО) причем величины а,",+-' и рт удовлетворяют разностным уравнениям а а е,+Ь,а +с ать,=д, (5.5Л1) и+ 1 и+1 и+1 (5.5Л2) Системы (5.5.11) и (5.5 12) решаются методом прогонки. После ' того как найдены величины а„",+' и (3"+~, т = О, 1, 2,:, М, подставляем их значения в третье уравнение системы (5.5.8), что дает (- )и+) (2 о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
