Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 28
Текст из файла (страница 28)
бт йа лг да Рис. 5ЛЗ. Приведем некоторые реэультаты расчетов при М, = 3, Ь.=0,75, Ь, -0,05, Ь, — 0,046(6), с, = с, 4я и числе Струхала 61 2. На рис. 5Л2 и 5ЛЗ даны графики ивменения скорости и скорости звука в ядре потока в аависнмости от х для рааличных аначеннй времени. Эти графики иллюстрируют процесс установления периодического Ы2 режима течения. Интересно отметить, что величина отклонения скорости й от своего среднего значения в ядре потока внутри канала может превышать более чем в полтора раза величину колебаний скорости ка входе канала. Соответственно, величина отклонения скорости звука а от своего среднего значения становится меньше величины отклонения скорости звука на входе канала.
Результаты расчетов показывают, что внутри пограничного слоя также возникает периодическое течение. Правда, следует отметить, что установление периодического режима течения в пограничном слое происходит позже, чем в ядре потока. По значениям (ди/ду) ., и (дЫду)о о вычисляются коэффициент сопротивления сг и осФ~ бо бо бг гг Рла ба, число Нуссельта Жп, характеризуницее теплопередачу к стенке канала, согласно формулам дУ о, ~~о ди ро "о =К -.
о ю где В-„= иохр/р . 1(о На рис. 5Л4 и 5Л5 приводятся графики функций су/~/ В;, и Хп/ у В-„в зависимости от времени для значений х=0,$5; 0,25; 0,35; 0,45; 0,55. Иэ этих графиков видно, что коэффициент сопротивления и тепловой поток Л,~'~ га колеблются по времени для фиксированных х. Наибольшая амплитуда этих колебаний достигается не в самом начале канала. Иэ приведенных реэультатов видно, что характер течения существенно нестационарный и все параметры, определяющие течение, эначительно отличаются от параметров при 1=0, соответствующих равномерному стационарному течению.
Главаб ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА й 6Л. Математические модели однородной изотермической вязкой жидкости 6ЛЛ. Исходные уравнения в переменных скорость, давление. Начальные и граничные условия. Течение вязкой жидкости с ньютоновским законом трения без упрощающих предположений, которые при малой вязкости связаны с упоминавшимися вьппе в гл. 5 приближениями пограничного слоя, а прн большой вяакости — с приближением Стокса, описывается уравнениями Навье — Стокса. Вывод уравнений Навье — Стокса может быть сделан либо феноменологическим путем на основе известных постулатов Стокса (см., например, И91, (24!, [25)), либо на основе молекулярно-кинетической теории (26). Для однородной несжимаемой вяакой жидкости система уравнений Навье — Стокса имеет вид — + (ЧЧ) Ч = — — ягайр+ чдЧ+ ~ и, ' дЧ дс Р (6ЛЛ) 6(ч Ч = О.
В этой системе уравнений искомыми функциями являются вектор скорости Ч, давление р, которые зависят от пространственных координат и времени г. Параметрами будут плотность р, коэффициент кинематической вяакости т = )з/р ((ь — коэффициент' динамической вязкости); силовая функция, и — единичный вектор. Первое из уравнений в системе (6ЛЛ), представляющее систему трех уравнений для проекций вектора скорости Ч(и, и, ю), называется ураекением количества деизеения и представляет баланс между силами инерции, силами давления, трения и массовыми силами*). Второе нз уравнений системы (6ЛЛ) называется уравнением не- з) В литературе якзняо зги уравнения часто называют уравазяиямя Назье — Стокса. Мы будем всюду э дальнейшем зазывать так эсю систему уравнений (6ЛЛ ). $66 раврыдности (оплошности).
Оно является следствием более общего уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости + + МйРЧ= О (6Л.2) в предположении постоянства плотности р сопэз (последнее играет роль уравнения состояния для несжимаемой жидкости). В связи с этим второе уравнение в системе (ОЛЛ) называют также уравнением несхеимаемости х). Предположение о несжимаемости жидкости в этой форме приводит к существенным особенностям системы (6ЛЛ). В частности, давление из этой системы определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной р,. Система (6.1.1) позволяет при заданных в некоторый момент времени г, значениях полей искомых функций Ч, р и соответствующих граничных условиях определить значение полей этих функций в некоторый момент времени т,+ т, где т ) О.
Движение жидкости, описываемое этой системой, осуществляется либо благодаря действию массовых сил, либо действию внешних сил, создающих перепад давления гтр. Последнее формально проявляется при постановке соответствующих граничных условий. Обсудим более подробно вопрос о граничных условиях. При этом мы будем рассматривать класс двумерных движений в декартовой системе координат х, у, являющийся одним из частных случаев (6ЛЛ) и задаваемый уравнениями ди ди ди 1 др / да д к 1 — + и — + о — — — — + т —, + — + )'к,, дт дх ду р дх ( дхс дух) (ОЛ.З) — + и — + о — = — — — + т ~ — + — ) + ~у, (6Л.4) до до до т др !до до~ дт дх ду р ду ~ дхт дут ) д + д = О, (6.1.5) Здесь и, о — компоненты вектора скорости.
В зависимости от конкретной физической ситуации различаются следующие виды граничных условий: 1) Граничные условия на непроницаемой твердой поверхности Я, называемые обычно условиями сприлипа- *) Из (6Л.2) следует также другое, болев общее уравнение , кесжимаемостл др/дт О.
166 нця». Обозпачим скорость движения поверхности У . Тот. да граничное условие на этой поверхности имеет вид У!. =У,. (6.1.6) Наиболее часто в различных приложениях встречается обтекание неподвилсной твердой стенки, когда Ус О. 2) Граничное условие вдали от обтекаемого тела, имеющее асимптотическнй характер: У У„при г- (6Л.7) где г — расстояние от поверхности обтекаемого тела. Несмотря на сравнительно простой вид условия (6Л.7), его достаточно точная численная реализация, осуществляемая обычно в области конечных раамеров, связана со многими трудностями. 3) Периодические граничные условия, представляющие специальный тип граничных условий, которые обычно ставятся при обтекании бесконечной последовательности повторяющихся тел.
При этом параметры потока перед телом равны параметрам потока в следе за телом: У =Ум (6Л.8) В ряде теоретических исследований зги граничные условия используются как способ ограничения рассматриваемой области течения. С физической точки зрения этот твп граничных условий имеет для задач обтекания искусственный характер. 4) Условия симметрии, так же как периодические условия, представляющие специальный тип граничных условий, возникающих вследствие определенных предположений о свойствах симметрии течения. Например, при обтекании симметричного профиля равномерным потоком под нулевым углом атаки естественным граничным условием являются следующие условия на оси симметрии: и=О, — =О, (6Л.9) дп где о — составляющая скорости по нормали к оси симметрии, и — направление, нормальпое к оси симметрии.
В определенном диапазоне режимных параметров (в первую очередь при малых значениях числа Рейнольдса) Зги условия могут соответствовать реально наблюдаемым течениям, однако во многих случаях их постановка существенно сужает класс возможных движений и взаимодействий так же, как и постановка условий (6.1.8). $87 5) Граничные условия па поверхпости раадела двух сред в случае, когда эта поверхность фиксирована и трением, в одной из сред можно пренебречь (например, поверхность жидкость — газ), имеющие вид (6ЛЛО) что аналогично условиям симметрии (6Л.9). Условие (6Л.10), в отличие от условий прилипания (6Л.6), допускает движение жидкости вдоль поверхности и позволяет совместно с решением системы (6.1.3) — (6.1.5) определить скорость этого движения. Отметим, что в точной математической постановке задачи при записи исходных уравнений в форме (6.1.3)— (6Л.5) в рассмотренных выше случаях не требуется задания граничных условий для давления.
Уравнения (6Л.З) — (6Л.5) вместе с начальными условиями иР— и(х, у, О), и'= и(х, у, О), р' = р(х, у, О) для полей скорости и давления и соответствующими граничными условиями представляют замкнутую систему, позволяющую определить поля скорости и давления однородной несжимаемой вязкой жидкости и их изменение во времени. Однако система уравнений (6Л.З) †(6.1.5) с уравнением неразрывности в форме (6Л.5) неудобна для проведения вычислений и может быть заменена эквивалентной системой. Для этого, например, можно продифференцировать уравнение (6.1.3) по л, уравнение (6.1.4) †' по у и сложить результаты, используя при последующих преобразованиях уравнение (6Л.5). Тогда получим д1„д1 + — + —.
(6Л.11) Система уравнений (6.1.3), (6.1.4), (6Л.11) представляет одну из разновидностей уравнений Навье — Стокса в переменных скорость, давление, используемую в вычислительной практике (см. также дополнение 2). В атом случае граничные условия для давления, необходимые для проведения расчетов, могут быть получены из уравнений количества движения (6.1.3), (6Л.4) при использовании рассмотренных выше граничных условий для поля скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
