Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 31
Текст из файла (страница 31)
1), подтверждающийся практикой вычисления, свидетельствует о том, что рассмотренная явная схема устойчива при условии т а ей'/4. В общем случае с зависит от числа Рейнольдса 'и убывает от 1 до 0,1 при увеличении этого числа от 0 до 400 —:500. Ограничения 'на величину т, налагаемые этим условием, являются существенными при малом значении, пространственного шага Ъ и могут быть уменьшены при переходе к схемам с неявной аппроксимацией уравнений вихря и функции тока (см. ниже Я 6.3 — 6.5). 178 6.2.2. Подходы к построению разностных схем для уравнений Навье — Стокса. Переходя от общих требований и элементарных примеров к описанию разностных схем, применяемых в настоящее время в практике вычис-лений, укажем некоторые основные признаки, которыми могут отличаться конкретные схемы.
1) Исходная запись (зависимые переменные У, р или ю, ф и т. д.). 2) Схемы для стационарных или нестационарных уравнений. 3) Общая структура схемы: явная, неявная. 4) Аппроксимация основного оператора, в частности, аппроксимация конвективных составляющих (односторонние разности, симметричная и т. д.). 5) Метод решения систем разностных уравнений (для неявных схем). 6) Способ аппроксимации граничных условий (уравнения в переменных (в, $)). 7) Способ решения уравнения Пуассона и критерии точности его решения. 8) Расположение пространственных узлов (равномерная или неравномерная сетка, использование специальных преобразований независимых переменных и т, д.). В настоящее время существует и используется несколько десятков разновидностей разностных схем.
Поисни наилучших из них имеют, как правило, эвристический характер и в значительной мере опираются на опыт и прямое сопоставление различных вариантов схем. Важность тех или иных из перечисленных выше признаков зависит в аначительной степени от порядка чисел Рейнольдса (Ве-1, Ве-100, Ве-10'). Для получения численных решений в первом диапазоне выбор укаэанных признаков не является существенным.
В частности, удовлетворительное решение может быть получено и с помощью явной схемы, рассмотренной выше в п. 6.2.1 (схема для стационарных уравнени~ ча равномерных сетках и т. д.). Во втором диапазоне перечисленные признаки существенны, хотя не имеют решающего значения. Получение же удовлетворительных решений при Ве - 10' практически невозможно без дальнейшего ' усовершенствования разностных схем, связанного с использованием неявных схем, аппроксимирующих нестационарные уравнения, без неравномерных сеток, специальных способов аппроксимации граничных условий и т.
д. Рассмотрению одной та13з 179 кой схемы будут посвящены следующие три параграфа этой главы. При дальнейшем наложении мы будем рассматривать двумерные нестационарные уравнения Навье — Стокса, записанные в переменных вихрь, фуннция тока (6.2Л), (6.2.2). Переход от одного временного слоя к другому для получения решения этих уравнений по неявной схеме может быть записан в следующем виде: ) + й ~~~+ г (62.9) (6.2ЛО) Под дифференциальными операторами д/д(х, у) и й здесь условно понимаются их некоторые разностные аналоги, что не имеет значения для рассмотрения существа вопроса. При численном решении системы (6.2.9), (6.2.10) для и)-ъ р+~ определения полеи величин ю;;, 48 при известных их значениях в момент времени и имеются следующие возможности: 1) Раздельное решение уравнений (6.2.9), (6.2.10), т.
е. определение поля вихря из разностного аналога уравнения (6.2.9), используя известное на предыдущем временном слое поле функции тока, Затем решение стационарного уравнения (6.2ЛО) при известной правой части (поле вихря о>~,) ) для определения поля функции тока в момент времени и + 1. Такой способ, являющийся естественным и экономичным, свяван, однако, с «рассогласованием» полей вихря и функции тока, что, как упоминалось выше, приводит в итоге к ограничениям на величину временного шага т. 2) Совместное решение уравнений (6.2.9) и (6.2ЛО), связанное с отысканием на каждом временном слое вектора ~р = (ю, ф).
При этом внутренний итерационный цикл включает на каждом временном слое для получения полей а~т~, ~©'совместное решение систем (6.2.9) и (6.2ЛО), в отличие от решения одного уравнения (6.2.10) в рассмотренном выше случае, что увеличивает объем вычислений на временном слое. Однако появляется возможность существенно уменьшить ограничения на величину временного шага, присущие методам первого типа. Реальное использование этой возможности определяется характером задачи, в частности ограничениями на максимальную величину временного шага, возникающими из физических соображений, В настоящее время каибодес 180 широко применяются разностные схемы первого типа, значительно усовершенствованные в последние годы (см, также дополнение 2).
Ниже в Я 6.3 †'6.5 мы остановимся более детально на одной из схем первого типа (будем далее называть ее основной схемой), рассмотрим конкретные вопросы, возникающие при ее конструировании и усовершенствовании. $ 6.3. Сеточные аппроксимации уравнения для вихря При изложении элементов основной схемы, структура которой намечена выше, существенными являются вопросы аппроксимации одномерных и двумерных дифференциальных операторов, в особенности конвективных составляющих, способа решения двумерных разностных уравнений, аппроксимации граничных условий, оптимизации.
решения уравнения Пуассона на временном слое. В этом параграфе рассматривается схема решения уравнения вихря. При этом будет предполагаться, что на границе области задано распределение вихря. а<г(1), изменяющееся в общем случае по пространственной и временной координатам. Вопросы аппроксимации граничных условий для вихря будут рассмотрены ниже в 1 6.5.
6.3.1. Одномерные аппроксимации. Область непрерывного изменения аргумента заменим разностной сеткой с координатами х<, 1„. Введем обозначения ~(х<, 1„) = ~<", где ( = О, 1, 2, ..., )У вЂ” 1; и = О, 1, 2, ..., К. Узлы пространственной разностной сетки в общем случае будут располагаться произвольно. Локальный пространственный шаг сетки будет при этом определяться разностью между координатами двух соседних узлов: Ь< = <ъх< = х<+< — хь Временная разностная сетка вводится в общем виде следующим образом; т 1.+< — Ф; при этом 1к= Х т„.
На «ьа равномерной временной сетке с постоянным шагом т имеем Ь=Кт. Обозначим + 1"+ 1< — ~ )< — (* )< — << (6.3.1) С помощью этих формул дифференциальные операторы дРдх, д~/д< аппрокснмнруются с погрешностью соответственно 0(Ы, 0(т), 181 Структуру разностной схемы для уравнения вихря рассмотрим вначале для модельного одномерного уравнения переноса с диссипацией — + и (х) — = е —,.
ды дм д~а (6.3.2) Решепие ищется в области О ~х»1, ОЮ ~ Т при следующих начальных и граничных условиях: ю(х, 0) = в'(х), е(0, 1) о,(1), ю(1, 8) ю,(1). Известной проблемой, возникающей при построении разностной схемы для уравнения (6.3.2), является аппроксимация нелинейного конвектнвного члена и дв/дх. Использование для этой цели разностных выражений типа (2.2.6), называемых центральными разностями, приводит при малых значениях е к нарушению монотонности (см. гл. 4). Использование монотонной аппроксимации вида (4.3.20) позволяет получить системы алгебраических уравпений, коэффициенты которых удовлетворяют достаточным условиям устойчивости прогонок (п.
2.2.5). Однако такая аппроксимация имеет первый порядок точности и ее использование приводит к появлению значительной схемной вязкости, имеющей порядок ть - иЫ2. Некоторым компромиссом является использование монотонной аппроксимации Самарского (см.
п. 4.3.6), имеэощей формально, т. е. при ий с. 1, второй порядок точности. Специфика ее заключается в том, что нарушение последнего условия в отдельных точках (например, зонах максимума скорости) не приводит к существенной интегральной погрешности, в связи с чем эта аппроксимация находит широкое применение. Использование этой аппроксимации и формул (6.3.1) для уравнений (6.3.2) приводит к следующей схеме: ,а+1 я ~- О 5 "э+ ",+ ' + 6 ф" ') — 0 5 ( "! х х(6+а~+'+б в~+') ~, = е~ц„(б+в",+' — б а",+') — ~ — 1. ь,+Ь,,1' (6.3,3) Здесь ц„(1+ )и")Ь1з,) '.
Такая запись обобщает все три укаэанные выше аппроксимации, поскольку при а„= 5, 0 имеет место симметричная аппроксимация конвективных членов, при э1 = 1, Ь 0 — односторонняя аппроксимация первого по 162 рядка точности и при $, $, $» 1Л2а) — аппроксимация Самарского. Особенностью этой схемы является такясе временная «линеаризацня» нелинейных конвективных членов, пригодная, вообще говоря, при малых временных шагах т. Усреднение аппроксимации конвективиых членов относительно и" и' !и"1 применяется для того, чтобы сделать схему не зависящей от знака скорости. Схема (6.3.3) приводится к каноническому трехднатональному виду — А;в",~+,' + В,а";"' —. С,о4",' = ~м (6.3.4) допускающему применение формул прогонки (см.
п. 2.2.5). 'Коэффициенты в уравнении (6.3.4) имеют вид (6.3,5) (6.3.6) С«= — — +Ри ) — и 4й« ~ ь«+ ь« В«=А, + С«+ 1, 7«=«»«. (6.3.7) 6.3.2, Двумерное уравнение вихря. Последовательное применение раэностной аппроксимации, аналогичной (6.3.3), к двумерному уравнению вихря приводит к системе алгебраических уравнений, решение которой воэможно лишь итерационным путем. Экономичным является упоминавшийся выше метод переменных направлений, поэволяющий свести решение двумерных уравнений к последовательности одномерных уравнений с трехдиагональными матрицами. Существует ряд методов, испольэующих эту общую идею и отличающихся некоторыми деталями (метод переменных направлений„метод расщепления, метод дробных шагов, локально одномерный метод [291, И4) и т.
д.). Мы используем упоминавшийся выше метод переменных направлений (или метод продольно-поперечный прогопок), общую структуру которого поясним на двумерном операторном уравнении вида д ( «+' ») + (6.3.8) где Ь, и Ь« — одномерные операторы, действующие по разным направлениям. Решение уравпения, (6.3.8) методом переменных направлений осуществляется в два этапа, которым соответ- 483 ствуют временные индексы п+ $/2, п+'1, а именно: +а/а р = 5»~ +'/'+ Хаа»" + Р", (6,3,9) ад+1 в7ь+1/а = Х «а"~а/~+ Е еа"~~ + Р"~~, (6,3ЛО) Здесь Еи Юа — разностные одномерные операторы (см., например, (6.3.3)). На первом этапе прогонками в одном нз направлений находится решение са" +'/а на полуцелом временном слое; затем, используя зто решение, осуществляются прогонки по второму направлению для получения искомого решения еа"+а на целом временном слов.
Такая схема аппроксимирует двумерное нестационарное уравнение вихря с первым порядком точности. На установившемся рея<яме решение не зависит от временного шага т, поэтому эта схема моакет использоваться и для решения стационарных задач «на установление». Запишем с учетом (6.3.3), (6.3.9), (6.3ЛО) схему для решения двумерного нестационарного уравнения вихря; й+1/а (,)и. " + 0,5(и — (и()(6„+/е";,тп'+ 6,,«а",,+;'/')+ х, „+ (6,+,еа,".,; — б„/е~,,) / + 1+ Г", (6,3Л() «+ а-1 а-а 1 а+1, и-Л/а + 0,5(и — ~ //() (бр+«/";,а ' — ба оаа, ) + + 0,5и (б„'»/о";а и' + б„еаа+;а/а) = /+ /-1 + (6хеавтм' — бх/оа,"м') ь „1+ Р"+', (6.3Л2) ь, ь, ,) Здесь, в отличие от (6.3.3), для аппроксимации одномерных операторов используется только аппроксимация Са марского.
Коэффициенты а)„и а). имеют вид ($+ (и())а/(2з)) ', а).=И+ ЬИ//(2з)) '. Здесь, так же как и в одномерном случае (6.3.3), исполь зуется аппроксимация конвективных членов, усредненная относительно й и )й1 (или й и !и"!) для того, чтобы схема не зависела от знака скорости. Одномерные операто ры на нижнем временном слое аппроксимируются сима 84 5 6.4. Решение уравнения для функции тока Уравнение Пуассона для функции тока Л "т ю (6.4Л) в основной схеме решается отдельно от уравнения вихря. Усовершенствование этого злемента основной схемы играет важную роль в связи с необходимостью многократно, ва каждом временном слое решать стационарное зллиптнческое уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
