Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 33
Текст из файла (страница 33)
де (6.5Л) Оба граничных условия (6.5Л), относящиеся к системе (6ЛЛ5), (6ЛЛ6), заданы лишь для функции тока и не заданы для вихря. Поэтому при численном решении разностных уравнений для вихря (6.3.11), (6.3Л2) возникает проблема определения недостающих граничных условий. Для решения этой проблемы имеется несколько путей; мы остановимся ниже на двух иэ них. Всюду ниже для расчета уравнений вихря и функции тока будет предполагаться использование разностных схем на неравномерных сетках, рассмотренных в 11 6.3, 6.4. Однако формулы для производных вблизи границы при этом будут аппрокснмироваться на равномерной сетке, что связано с необходимостью сохранения точности в непосредственной близости к границе и 'удобством написания формул.
Для первых и вторых производных, аппрокснмируемых внутрь . области, используются 190 Использование такой методики ранее ограничивалось большим числом операций (У'), необходимых для определения коэффициентов дискретного преобразования Фурье. Развитие техники быстрого преобразования Фурье (см„например, (19), 128) из списка литературы к дополнению 2) позволило сократить количество арифмевических операций до величины порядка У1ой,У, что делает этот метод весьма перспективным. Результаты конкретных расчетов показывают, что решение уравнений Пуассона ва сетке с числом узлов около 4000 изложенным выше методом занимает примерно столько же времени, сколько четыре итерации по методу переменных направлений (схема (6.4.3), (6.4.4)); при этом невязка уменьшается до величины, соответствующей «машинной точностие.
Применение этого метода, как упоминалось выше, ограничивается геометрией области, конструкцией сетки (равномерпая по х сетка), характером граничных условя следующие формулы: д»)» о» о + 0(йо) (6 5 2) до 2ь ''г +'"г 'р ' ~ д'9) ) о(ьо). (6.5.3) 6.5Л. Разложение функции тока в ряд. вблизи грани.
цы. Этот способ, применявшийся еще в работах Тома (28), состоит в том, что функция тока вблизи границы пред- ставляется в виде ряда Тейлора, например, ~до гао 2! ( д»»о / Если в разложении (6.5.4) отбросить члены выше второ. го порядка по Ь, то можно получить выражение для вихря на границе в виде I в~'» 2(»(»»,,— »)»»,о) 2! др~ дзо Ьо а ~да )»,о ~ ° ),. (6.5.5) При практическом использовании этой формулы предполагается, что граничные условия (6.5.1) выполняются. Это приводит к простому соотношению, связывающему вихрь на границе с функцией тока в ближайшем к'границе узле сетки: в«, = 2»д»,,/я'.
(6.5.6) Связь между вихрем и функцией тока на границе мок»ет быть найдена и непосредственно нз уравнения для функции тока, считая его справедливым и на границе области, как это было проделано выше в 9 6.2. При этом можно получить формулы и более высокого порядка, аппроксимируя вторую производную функции тока по формулам типа (6.5.3).
Например, полагая в формуле (6.5.3) справедливыми условия (6.5.1), получим формулу второго' порядка, связывающую значение вихря на границе и функцию тока в двух узлах сетки, примыкающих к границе: 8»)» — »)»» (6.5.7) При использовании формул (6.5.6) или (6.5.7) граничное Условие «прилипання» (6.5Л) выполняется косвенно; на- $91 пример, для (6.5.7) на решении имеет место соотношение '~~ =О(Ь») (6.5.8) откуда следует, что (дал)~1 ФО, т. е. на твердой стенке имеется некоторая скорость скольжения, соответствующая порядку точности аппроксимации производной функции тока.
При этом вихрь на границе в соответствии с формулой (6.5.7) аппроксимируется с точностью 0(й*). Приближенные граничные условия (6.5.6) или (6.5.7) замыкают систему раэностных уравнений основной схемы. Полная последовательность расчета ко этой схеме может быть, например, следующей: 1) По известным значениям поля вихря аи»; и поля функции тока»(»»,; определяется поле функции тока и+1 путем итерационного решения уравнений (6.4.3), (6.4.4) при заданном условии на границе области. Возможно также использование прямого метода, рассмотренного выше в и.
6.4.2. 2) По формуле (6.5.7) определяется аначение вихря на границе области а»г~~. 3) По формулам (6.3.11), (6.3.12) определяется поле и+1 и+1 вихря а»; при найденном граничном условии аг ' и заданном значении е;,;. Далее, весь цикл повторяется. Результаты практически не зависят от того, начинается ли расчет с поля функции тока или с поля вихря.
Использование рассмотренных выше приближенных граничных условий приводит обычно к существенному снижению устойчивости основной схемы. Одним иэ способов повышения устойчивости является так называемая релаксация (усреднение), согласно которой значения вихря на границе представляются в виде ег+' = а7'(»(»"~') + (1 — а) аг, (6.5.9) где а — параметр релаксации, изменяющийся в пределах О -= »х ~ 1; ~(»(»"+') — зависимость между вихрем на границе и функцией тока вида (6.5.6) или (6.5.7). Введение релаксации рассмотренного типа, строго говоря, возможно лишь для стационарных задач, где па и+1 и решении имеет место аг = ег, т. е. выполняется соотношение вида (6.5.6) или (6.5.7), аппроксимирующее с соответствующей точностью условие «прилипания».
Для нестационарного режима использование релаксации приводит к дополнительной по сравнению с (6.5.8) невязке $92 в выполнении граничных условий «прилипания», которая дд.~- д а пропорциональна разности одг — юг Для . устранения этой невязки необходимо введение внутреннего итерационного цикла, в котором на каждом временном слое п вместе с решением уравнения для вихря и уравнения для функции тока осуществляется релаксация граничных условий вихря юг' = дд)(др ' )+ (1 — м)юг', (6.5.10) гче г — индекс итерационного цикла.
Внутренние итерации осуществляются до выполнения условия ~ едг'+д — одг' ~ ( е. 6.5.2; Непосредственное удовлетворение граничным условиям. Идея этопд подхода состоит в том, чтобы обеспечить выполнение разностного аналога граничного условия «прилипания» (д~lдп)г=О на каждом временном слое непосредственно, что достигается подправлением поля функции тока вблизи границы. Пусть решение системы (6.1 15), (6.116) ищется в некоторой области Й,.
Рассмотрим внутри области 'Й, вспомогательную область Й„границы которой располагаются от границы основной области Й, на расстоянии одного ша~а сетки. Уравнение для вихря при этом решается в области Й„а уравнение для'функции тока — в области Й,. Последовательность расчета такова: 1) Граничные условия для вихрява на границе области Й, определяются, исходя из уравнения для функции тока. Для этого используется, например, следующая аппроксимация этого уравнения: »9«+ ° — 2д9« ° + дед д ) дрд,+д — 2д9 .
+ д9 с»од — » ' + ь (6.5.11) 2) Поле вихря в. момент времени л+ 1 внутри области Й, определяется при известном поле вихря юд; и значении вихря на границе юад. 3) Поле функции тока внутри основной области Й, дд+ д при найденном значении вихря юд,; определяется путем решения уравнения для функции тока с гранийным условием дрг = О, заданным на границе основной области Й. Для этого может использоваться любой из методов, рассмотренных в т 6.4. 19 в. м. Пас»о»»в и лр.
193 4) Значение функции тока на границе области Я, подправляется с помощью разностного аналога условия (дфlдп)г = О. Использование односторонней четырехточечной .аппроксимации производной (дф/дп)г внутрь об- ластИ приводит к соотношению которое может применяться непосредственно для замыкания прогонок при определении поля функции тона внутри области 1з,. Далее, весь цикл 1) — 3) повторяется.
При репюнии стационарной задачи этот метод позволяет, таким образом, непосредственно удовлетворить.граничным условиям «прилипания» с той точностью; которая соответствуег формуле, использованной для подправления. При распространении данного метода на класс нестационарных задач следует учитывать то обстоятельство, что разностное уравнение для вихря в приграничных уз. лах и уравнение для функции тока в узлах, отстоящих на два шага от границы, вообще говоря, не выполняются. Аналогйчное обстоятельство имеет место и в методе, рассмотренном выше в п.
6.5Л, с той лишь разницей, что в упомянутом случае невязка имеется не в приграничных узлах, а в узлах, расположенных на самой границе. Способ устранения невязки в данном случае состоит в организации внутреннего итерационного цикла, цель которого заключается в подправленип вихрц в приграничных узлах непосредственно из разностного уравнения вихря (см. (28), (34) из списка литературы к дополнению 2). 6 6.6. Примеры расчетов. Течения изотермической жидкости 6.6Л Течение жидкости в выемке с движущейся крышкой, Эта за~дача — одно из первых применений численных методов для решения уравнений Навье — Стокса.
Рассматривается течение жидкости в замкнутой квадратной области размером Ь, вызываемое движением одной вз ее границ с некоторой скоростью У; остальные границы области неподвижны (см. рис. 6.1, а). При безразмерной записи 25 и У используются в качестве масштабов длины и скорости.
Граничные условия имеют вид у.= 0,5, О.:х(0,5, ,а = 1, ф = 0 (верхняя граница — крышка); х=О, 0(у(0,5, 'ф=О, — =0 дф дх (левая граница); (6.6Л) х = 0,5, 0 - у ( 0,5, — т = О, (правая граница); О, О~~х~~0,5 $=0, д —— 0 (нижняи граница). Искомые полн функции тока и вихря являются адесь функциями числа Рейнольдса Ке =2рй!т. В случае, если область является не квадратом, а прямоугольником со сторонами Н, Ь, то решение будет зависеть также и от отношения сторон Н!5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
