Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Математические и численные модели конвективного тепло- и массообмена ие со- ('6.7Л) висит где р„ р, удовлетворяют уравнениям статики — ягай Р, = р,я и, (6.7.3) д — ускорение, создаваемое массовыми силами. Пусть для отклонений Р', р' имеют место соотношения Р'«Р. Р'«Р' (6.7.4) тогда будут справедливыми следующие представления: др 4 дрз 1 др~ 4 дро — — — — — + — —— Р = рю дд Р; дд Р'дд = — д+ фгдТ'+ ()с4С'+ — — * (6 7 5) др' Рз да где 0г = р (дт) 0с р (дС); (6.7.6) Т' - Т вЂ” Т„ С' = С вЂ” С,; Т„ С, — соответственно некоторые постоянные величины, от которых отсчитываются 204 Основная схема может применяться не только для решения задач о вынужденном течении однородной несжимаемой жидкости, постановка которых обсуждалась выше.
Нашей следующей целью является иллюстрация одного из возможных распространений схемы на случаи течения неоднородной несжимаемой жидкости при наличии переноса тепла и массы. 6.7Л. Модель неоднородной жидкости в приближении Буссинеска. Плотность и физические свойства нсоднород-. вой жидкости изменяются по пространственной переменной. Причиной неоднородности жидкости может быть изменение ее состава или температуры, что приводит к ряду новых физических аффектов, которые отсутствугот в однородной изотермической жиддости (конвекция, тепло- и массоперенос). Будем рассматривать бинарную смесь, уравнен стояния'которой задано в виде р=((С, Т).
Здесь Т вЂ” температура, С вЂ” концентрация примеси. Как и ранее, предполагается, что плотность не за от давления. Будем предполагать, что Р=Ро+Р1 Р=ре+Р ~ (6.7.2) (6.7. 8) (6.7.9) 205 температура и концентрация жидкости, причем т' с т, С а С,. За исключением величины подъемной силы, в уравнениях количества движения плотность всюду при выводе исходной системы считается постоянной. Пред- ,ф~,, полагаются постоянными и другие свойства жидкости: коэффициенты вязкости, теплопроводности, удельной тепло-. емкости, диффузии.
При написании уравнений притока тепла и диффузии г г... будем пренебрегать выделением тепла за счет вязкой диссипации и работы сил сжатия, термо- и бародиффузионными эффектами (см., например, (25), — „'-д [26!). При этих предположениях ураз- а пения движения, переноса тепла и Ряс 6.5. Расчет- массы неоднородной жидкости будут вал схема гразииметь вид (мы запишем исходную дзу- тацвовной вонмерную систему в декартовых коорди- 'ввкцзи в замкну- той плоской .
обнатах при расположении массовой силы под углом ф к вертикали; рис. 6.5) до дв де / дТ' . дТ' — + и — + г — = тйсо — й()г ~ — з1п ф — — соз ф)— д8 дз ду (~ ду дз I дС' . дС' ' — у~с ~ — з(п ф — — соз ф1), (6.7.7) (,ду, дз Л~р= ю, г дт' дт' дт' т рс„( — + и — + г — = 2,6у, "1 д$ дх ду ) — + и д + о д = ВАС'. (6.7ЛО) Система (6.7.7) — (6.7.10) отличается от системы (6Л.15), (6ЛЛ6) данной главы наличием в уравнении вихря величин, зависящих от температуры и концентрации (подъемные силы), и двух дополнительных уравнений,. относящихся к типу «уравнение переноса с диссипацией» (см.
гл. 4). Диссипативными коэффициентами здесь являются Х вЂ” коэффициент теплопроводности, 77 — коэффициент диффузии. Коэффициент с, в (6.7.9) — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Граничные условия для зтой системы включают граничные условия для поля скорости, рассматривавшиеся выше в з 6Л, и граничные условия для температуры и поля концентрации. Последние могут быть трех основных-типов: 1) Задала температура Т (концентрация примеси С„) на границе. дг 2) Задан поток тепла д = — Х вЂ” „(диффузионный по- дС) ток у = — х) — ). дх) 3) Задан закон теплообмена в виде д„=и(Т вЂ” Т~), где, а — коэффициент теплообмена, Т вЂ” температура стенки, Т, — температура среды (соответственно закон массообмена в виде у = ах(С„= С,), где ае — коэффициент массообмена). Кроме того, в начальный момент времени должны быть ааданы значения всех искомых функций (е То Св Вводя масштабы для искомых величин и неаависимых переменных, можно привести систему (6.7.7) — (6.7ЛО) к безразмерному виду дв дв де 1 Ог /да .
дŠ— + и — + и — = — Лв — — ~ — зш р — — соа~р)— дЕ дх ду Не Н,е(,ау дх Ого /аС . дс — — ~ — а1п ~р — — соа ~р), (6.7.И) ~ ду дх йф=в, (6.7Л2) — + и — + и — = — 46, (6.7.13) де ае ае дс дх ду Не Рг — ~- и — -(- и — = — ЬС. (6.7Л4) дС дС дС 1 ду дх ду Не Яс В отличие от системы (6ЛЛ5), (6ЛЛ6), в системе (6.7.И) — (6.7.14) кроме числа Рейнольдса содержатся другие безразмерные параметры, определенные по величинам, заданным условиями аадачи: Сг = л()ПЛТ/т'— число Грасгофа, Оге феЬ'ЛС/те — диффузионное число Грасгофа, Рг=т/а — число Прандтля, Зс = Рте т/Р— диффузионное число Прандтля или число Шмидта, где а 2/(рсх) — коеффициент температуропроводности. Соответственно етому система (6.7Л1) — (6.7.14) содержит описание более широкого круга процессов.
Рассмотрим кратко классификацию этих процессов, отмечая наиболее важные предельные режимы и частные случаи. Наиболее простыми являются режимы переноса тепла (массы) молекулярными процессами теплопроводности (диффуаии), реалиауюп(неся в неподвижной жидкости (и = с О). Зти режимы являются аспмптотическими для системы (6.7.И) — (6.7Л4) при Ке- О, бг- О, 6гх- О. 20е При Сг=Саъ О, ВечьО уравнения (6.7.11), (6.7Л2) представляют рассмотренные в 3 6.1 уравнения Навье — ' Стокса для однородной несжимаемой жидкости.
Два других уравнения (6.7.13), (6.7Л4) при этом описывают перенос тепла п массы движущейся жидкостью в предположении, что процессы тепло- и массообмена не оказывают влияния па движение. Одним из наиболее важных режимов, описываемых системой (6.7.11) — (6.7Л4), является режим естественной гравитационной конеекции, которая представляет один из видов движения, возникающих в поле силы тяжести (или другой массовой силы) при наличии градиентов температуры (концентрации). В системе (6.7Л1) — (6.7.14) содержится описание двух разновидностей естественной конвакции: тепловой и концентрационной. Интенсивность тепловой конвенции определяется числом Грасгофа. Существенное, значение при атом имеет число Прандтля, представляющее отношение толщип динамического и теплового пограничных слоев.
В ряде случаев важную роль играет число Рэлея Ва = 6г Рг. Интенсивность концентрационной конвекции определяется диффузионным числом Грасгофа, которое является аналогом числа Грасгофа. Важную роль кри этом, играет диффузионное число Прандтля (число Шмидта), представляющее отношение толщин динамического и диффузионного пограничных слоев. Аналогом числа Рэлея в режиме концентрационной конвекции является двффувионное число Рэлея Вап = Сг Бс. При численной реализации существенно, что в процессах естественной конвекцни нет характерной скорости, заданной условиями задачи. В качестве масштаба скорости У, в системе (6.7.11) †(6.7.14) может быть взята, например, величина т/Ь, имеющая размерность скорости. При этом число Рейнольдса, играющее в системе (6.7.11), (6.7.12) роль масштабного фактора, следует положить равным единице.
Безразмерная скорость в системе (6.7Л1)— (6.7Л4) будет равна иЬ/т, т. е. будет являться числом Рейнольдса, отнесенным к местной скорости, а безразмерное время равно т(/Ь*. Наиболее общим режимом, определяемым системой (6.7.11) — (6.7Л4), является режим совместного действия естественной и вынужденной конвекций, для описания которого используются все упомянутые выше критерии подобия.
Сказанное выше в некоторой степени характеризует многообразие режимов течения переноса тепла и массы, описываемое системой (6.7.11) †(6.7.14). 6.7.2. Модификация основной схемы для задач конвективного тепло- н массообмена. Применение основной схемы к рассмотренному классу задач конвективного тепло- и' массообмена связано с решением вопросов об аппроксимации составляющих массовых сил в уравнении для вихря, аппроксимации уравнений переноса (6.7ЛЗ), (6.7.14), способе ведения итераций всей системы в целом. Основная схема могкет быть следующим образом применена для решения указанных задач: 1) В схеме переменных направлений (6.4.11), (6.4.12) для решения уравнения вихря правая часть г" аппроксимируется по известным в моменты времени и, и+1/2 аначениям полей температуры и концентрации: 78" — е" Ее Ее е+Ме Сг ~',н.г — Егп г оег,г 1-гп 2й (' С" С" С" — С" Р ьг+1 ь) — 1 ьеь) 1-ьг Не 2й с /е".+на — еэтп' е".+и.' — е",-и.' е+г Сг гзтг гд — г г гьг 1 — 1,2 — НР 'й 2й Сг Г С"." пг — С"+пэ С"+г(г — С",+'1' 21 2й 2) Для решения уравнений переноса (6.7ЛЗ) и (6.7Л4) используется разностная схема метода переменных направлений, которая строится по аналогии со схемой для решения уравнения вихря (8 6.3).
Ввиду полной идентичности записи схемы для данного случая мы не будем приводить здесь соответствующих разностных формул. Аппроксимация граничных условий для полей температуры и нонцентрации производится в соответствии с формулами, приведенными выше (см. э 6.5). 3) При решении общей системы уравнений (6.7.11)— (6.7Л4) по изложенной выше схеме могут применяться в зависимости от конкретной ситуации различные способы ведения итераций. Наиболее простой способ состоит в последовательном решении всей системы (6.7.11) — (6.7Л4) с одним и тем же временным шагом т, который при.решении стационарных задач является итерационным.параметром. Однако можно испольэовать то обстоятельство, 208 что уравнения переноса тепла (6.7ЛЗ) и массы (6.7Л4) 'могут решаться отдельно от первых двух уравнений со значительно ббльшим временным шагом, что связано с отсутствием ограничений по устойчивости для уравнений (6,7.13), (6.7.14), возникающих при аппроксимации гра.
пичных условий для вихря. Поэтому бывает целесообразным разделение всей системы на блоки, один из которых составляет система уравнений вихрь, функция тока и другой — уравнения переноса тепла и массы. При решении стационарных задач методом установления весьма важным является выбор начального приближения, для которого в общей системе имеются различные возможности в зависимости от того или иного конкретного режима по величине определяющих критериев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
