Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В качестве начального'можно использовать, например, такой рея,"им: прк 8=0 жидкость во всем поле пеподвия1на, а верхняя крышка внезапно приводится в движение: у = 0,5, 0 < х ( 0,5, д = $, фа= О, (6.6.2) где ф'=фх, у, 0). При решении стационарной задачи при данном числе Ве возможно (и практически наиболее эффективно) в качестве начальных испольэовать значения функции тока, полученные при другом (меньшем) числе Ке. Ниже представлены результаты, полученные с помощью одного нз вариантов основной схемы (см. работу (61 из списка литературы к дополнению 2).
На рис.' 6Л, а показаны линии ~(~ =сопэФ стационарного поля течения в квадратной выемке прн Не=300, полученные при решении нестационарной задачи методом установления. Начальные данные имели вид (6.6.2), использована равномерная разностная сетка с числом узлов я= 20, т = 17. Из рис. 6.1,а видно, что течение имеет циркуляционный характер; его интенсивность, определяемая по плотности расположения линий тока, наибольшая в верхней части области, где жидкость вовлекается в движение движущейся крышкой за счет сил трения.
В связи с увлечением жидкости крышкой движение несимметрично: центр вихря, в котором значение функции тока максимально, смещен по направлению движения, т. е. в сторону 1З~ . 195 верхнего правого угла. В правом нижнем углу заметно вторичное движение в виде небольшого вихря. Координаты центра и величина ф,„являются важными характеристиками этого течения. При численном моделировании у дл су йи 1 рис. 6Л. Стационарное течение в выемке с движущейся крышкой. Изолинии функции тока.
важно не только определить поле течения и его характеристики, но и установить, как влияют на 'него конечные шаги разностной сетки. Это влияние оказывается весьма различным для разных чисел Рейнольдса и различных вычислительных схем. Так как стационарное решение $96 для основной схемьг пе зависит от временного шага, то погрешность сеточного решения определяется числом уалов сетки по пространству. На рис.
6Л, б приведен результат расчета при том же самом числе Ве, но при уве- б5 ат и Ю Р,5 кого Рис. 9.2. а) Иаолинии функции тока в выемк . Д б е. ро ление основцни тока в вые е б о вихря обусловлено схемными эффектами, б) И мк на олее подробной сетке. Дробленке основного вихря отсутствует. личенном вдвое количестве узлов сетки по обеим пространственным координатам (и= 39, т= 33); видно, что картина линий тока мало изменяется.
Существенно иная ситуация при Ве 1000 (рис. 6.2, а, б). На прежней, 197 более грубой'сетке реализуется стационарная картина линий тока, в которой в данной области образуется вторичное движение (рис. 6.2,а), интенсивность которого, однано, более чем на порядок ниже основного. На более подробной сетке (рис. 6.2 б) картина линий тока отличается: она больше напоминает ту, которая была показана на рис. 6.1, б.
Различие состоит в большем смещении вихря вправо и вверх и в увеличении интенсивности вторичного движения в правом нижнем углу. В приводи- Таблица 6.1 1ООО зоо х =0,368 у =0,400 ч$> =0,023 х =0,342 у =0,375 Ф =0,043 и =20 ш =17 198 мой ниже таблице 6Л даны некоторые сравнительные результаты расчета величины ~р и ее координат при различных числах Ве на двух упомянутых сетках (~,. 'гтах) . 4 Картина течения дополняется также приведенными на рис.
6.3, а, 6.3, б профилями горизонтальной и(у) и вертикальной и(у) составляющих скорости при Ве =1000. Значения х, которым соответствуют кривые, можно получить, умножая величину й на номер кривой. -Здесь особенно отчетливо видно, что зто течение в целом не может быть описано в рамках только уравнений пограничного слоя. Однако непосредственно у движущейся крышки.выделяется узкая зона, имеющая характер пограничного слоя (но при довольно сложном течении на,сто внешней границе); Характерным для достаточно больших чисел Ве является линейное распределение скорости и(у) в ядре. В соответствии с уравнением неразрывности должны выполняться следующие интегральные соотношения (нулевой расход жидкости): е,ь ел ) ис(р= О, ~ них= О. о о В соответствии с первым из них площадки, соответствующие положительному (Ли+) и отрицательному (Ли ) направлениям составляющей скорости и(р) на рис.
6.3, а, должны быть одинаковы, что может использоваться для (6.6.3)' . дг а аг ла аа аз заа ю аа-лю а - хт гг -42 а лг' а Ь Рис. 6.3. а) Профили горизонтальной составляющей скорости в Различных вертвкальных сечениях выемки. о) Профили вертикальной составляющей скорости в различных вертикальных сечениях выемки. интегральной проверки разност ног о решения. Ра сомо т. ренная картина течения в общих чертах согласуется с данными экспериментального наблюдения. Недостатком математической формулировки атой задачи является наличие разрывов скорости в угловых точках 199 х = О, у = 0,5 и х = 1, у = 0,5; реальной физической аадаче более соответствовало бы обтекание выемки внешним потоком с заданной скоростью при у —, что требует существенного увеличения числа узлов конечно-разностной сетки.
В дополнении 2 даны ссылки на более поздние работы ряда авторов, использовавших эту задачу для тестов (см., например, (76) из списка литературы к дополнению 2). 6.6.2. Течение на начальном участке плоского канала. Данный пример иллюстрирует типичную для течений вязкой жидкости проблему постановки граничных усло.вий на «входе» в канал и «выходе» из канала. Задача ставится следующим образом. В плоский канал длиной . Ь' и шириной 2В втекает жидкость, имеющая на входе заданную скорость.
Будем считать течение на входе безвихревым. Это значит, что горизонтальная составляющая скорости на входе постоянна (и = сопзФ), производная вертикальной компоненты скорости вдоль потока равна нулю. На стенках канала предполагаются заданными условия «прилипания». Для постановки граничных условий на выходе из ка-.
нала могут быть использованы различные способы; один нз простейших состоит в задании на достаточно большом удалении от входа распределения скорости, соответствующего развитому плоскопараллельному течению, которое реализуется в бесконечно протяженном канале (течение Пуазейля). В этом случае следствием уравнений Навье— Стокса (6.1.1) при - и = О, и = и(у) является одно уравнение )« ир ли (6.6.4) лх лу» ' Отсюда можно получить искомое распределение горизонтальной составляющей скорости в виде и = — — р (В» — у') р лх (6.6.5) Основной интегральной характеристикой течении является средняя скорость или расход жидкости, который одидаков для различных поперечных сечений канала.
Расход жидкости определяется в виде в (3 = — ) и(у) оу. ( Г « Подставляя в это выражение приведенное выше распреде2оо ление скорости, мон1но получить связь можду расходом в<идкости и градиентом давления в канале в виде (',) = — —— 4 В~ др =Зрд (6.6.6) Считая величину расхода ~) заданной и принимая 9 за масштаб скорости, а полуширину канала Л/2 — за масштаб длины, и исключая градиент давленая пз (6.6.5), (6.6.6), получим выражение для профиля скорости в бесконечном плоском канале в виде и = — (1 — 4ух). (6.6.7) Выражение для скорости в виде (6.6.7) может быть использовано в качестве граничного условия на выходе из канала в случае, когда изучается течение с заданным расходом.
В стационарных режимах течение обычно симметрично относительно оси у = Л, на которой при 0 ~ х ~ Е могут быть поставлены условия симметрия ди/ду = О, и=О или ф=О, дфду=О. 'Граничные условия типа (6.6.7) ставятся при этом на некотором расстоянии Г, достаточно большом для того, чтобы такое течение могло установиться. Результаты решения уравнений пограничного слоя, а также результаты численного решения уравнений Навье — Стокса дают для этой величины, называемой длиной участка гидродинамической стабилизации,, следующее выражение: Ь,П2В) - с Ке, (6.6.8) где. в качестве масштаба длины взята ширина канала В, а в качестве масштаба скорости — заданная скорость на входе в канал. Один из возможных вариантов граничных условий имеет следующий вид.
Условия иа входе в канал: х=О,'0(у(0,5; и=1, — =О. дг дх Условия на выходе из канала: х=Х, 0(у(0,5; и =- — (1 — 4у'), р = О. 3 (6.6.9)' 'Твердая стенка канала: у = 0,5, 0 ~ х ~ Г; и= и= О. Оси симметрии: у = О, 0 < х < Ю; — — О, г=О. Соответствующие граничные условия в переменных вихрь, функция тока имеют вид 0(у(05; ф=у, ю=о, 0<у<05; ф=Зу/2 — 2у', ю=12у, (6.6.10) х О, х=Е, 0(х<Е; ф= 05, дф/ду=О, 0- "х<Е; ф=О, в=О. у=0,5, у=О, Критерием выхода течения на участок гидродинамической стабилиаации, а значит, и правомочности постановки соответствующих граничных условий на выходе из канала является условие (и — и,)/и, < е, где и — местная скорость, и,— скорость, соответствующая установившемуся течению (6.6.7). При этом для величины е = 2% значение с в формуле (6.6.8) составляет 0,04.
На рис. 6.4, а, б приведен один из результатов расчета поля скорости в канале при числе Не = 1000. Равномерная расчетная сетка содержала 17 Х 78 узлов соответственно по осям координат х, у. Значения итерационных параметров о = т = 0,5. Профили горизонтальной скорости и(у) и вертикальной и(у), приведенные на рис.6.4, а, б, соответствуют различным расстоянйям от входа в канал; координату х для каждого профиля можно получить, умножив величину шага й = 0,5 на номер, соответствующий кривой. Непосредственно вблизи входа в канал (кривые 1 — б) в поле, течения различаются пограничный слой и ядро с постоянным значением горизонтальной скорости. На выходе из расчетного участка профиль 'горизонтальной скорости соответствует развитому плоско-параллельному течению в канале (6.6.7), которое реализуется в результате объединения пограничных слоев, развивающихся на стенках канала.
В отличие от приближения пограничного слоя (гл. 5), в данном случае возможно описание всего поля течения, включая начальный участок и взаимодействие пограничного слоя и основного течения. Последнее в данном случае невелико, поэтому длина участка стабилизации Е./А определяется достаточно точно и в рамках приближения пограничного слоя. Заметим, 202 что для посуановки граничных условий на выходе из канала при я~( ЫВ можно ставить и другие, так называемые «мягкие» граничные условия, которые должны быть уравнениями более низкого порядка.
Например, для атой цели можно использовать уравнения пограничного слоя (см. гл. 5). Такой прием позволяет в ряде случев (при дг дл Яа-жл2 м м ы и 4гз 4ан пго а р2 Ю Рпс. 6.4. а) Профили горизонтальной составляющей скорости в различных поперечных сечениях плоского канала„з) Профили вертикальной составляющей скорости. условии, что течение на выходе относится к классу течений пограничного слоя) существенно сократить величину расчетной области при решении уравнений Навье— Стокса. 203 ' б 6.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
