Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Например, на твердой неподвижной стенке 168 у = 0 граничное условие для давления имеет вид зз )) э+1/:" др ди (6.1Л2) Ниже в п. 6Л.2 мы рассмотрим и другие формы записи исходных уравнений. При выполнении вычислений обычно используется безразмерная форма записи исходных уравнений, начальных и граничных условий. Введем безразмерную величину в виде ~р фун где у, — некоторый масштаб.
Безразмерная запись может быть получена подстановкой в уравнения, начальные и граничные условия вместо размерной величины у ее выражения в виде ~р~ро Выбор масштабов зависит от конкретной постановки вадачи. Пусть, например, условиями задачи заданы характерная скорость У, и раамер области Ь. Течения с заданной характерной скоростью (расходом) или перепадом давления паэываются еынулгденной конвенцией.
Выбирая в качестве масштабов скорости и длины соответственно Ун Ь, а для параметров р, т, /, — их значения, заданные условиями задачи, можно получить, выполняя указанные выше операции, следующую безразмерную запись исходной системы: =+ (7Ч) Ч = — лгай р+ — /(Ч+ У и, (6ЛЛЗ) ду йе й(у7 = О (6Л.14) В этой системе имеются два безразмерных параметра, построенные по величинам, выбранным в качестве масштабов: Ке = У,Б/т — число Рейнольдса, представляющее отношение сил инерции к силам вязкости и определяющее интенсивность вынужденной конвекции; Р=Уе7, ге=/,Ь/Уг — критерий подобия, представляющий отношение массовых сил к силам инерции, Р, = (гг)-'", где Рг = = У/КУ, — число Фруда.
Заметим, что для времени У и давления р в системе (6.1ЛЗ), (6ЛЛ4) использованы масштабы в виде ЫУ, и ррг~ соответственно. Использование безразмерной системы преследует две цели: приведение значений вычисляемых величин к соответствующей шкале, а также расчет и обработка результатов в. общей критериальной форме, содержащей минимальное число параметров. Эти цели могут достигаться соответствующим выбором масштабов.
169 (6ЛЛ7) 6Л.2. Переменные функция тока и вихрь. Уравнения (6.1.3) — (6.1.5) могут быть записаны в иной форме, не содержащей давления и в, ряде случаев более удобной для численной реализации. В декартовых координатах эта система записывается в следующем безразмерном виде: дв .' дв дв 1 1дв дв1 — + и — + и — = — ~ — + — ~ + Г, (6.1Л5) дГ дх дУ Ке ~ дхх у — + — = в.
д$ дф (6ЛЛ6) дх ду ду дух 1, е 1уг, Здесь Р= — — — ", где Рх= — * Р = — ". ду дх ' " рх' " ух" 1 1 Функция тока ф и вихрь ю заданы соотношениями д$ дф и= — и= —— ду ' дх ' в=— ди дх „ду дх' (6Л.18) При этом уравнение неразрывности удовлетворяется тож- дественно. Связь вихря в с функцией тойа ~р в виде (6ЛЛ6) следует из определения вихря (6ЛЛ8). Уравне- ние для вихря (6Л.15) можно получить из уравнений (6Л.З) и (6.1.4), дифференцируя первое по р, второе— по х, вычитан результаты и используя определение вихря в виде (6ЛЛ8). Функция тока ф имеет ясный физичесиий смысл, а именно: касательная к линии ф = сопз$ определяет на- правление -вектора скорости, а разность ф,— 9, между постоянными, соответствующими двум линиям ф, ф, рас- .
положенным на некотором расстоянии И 3,— )о опре- деляет расход жидкости через это сечение. Граничные условия для системы (6Л.15), (6.1.16) сле- дуют из их аналогов (6Л.6) — (6ЛЛО) для системы (6ЛЛ). В частности, на неподвижной твердой стенке имеем, учи-', ) тывая (6ЛЛ7), ф — сопз1, — — О, д~) (6ЛЛО) 'й Так как значение функции тока находится из (6ЛЛ5), (6Л.16) с точностью до постоянной, то для замкнутой од- яосвязной области можно положить (6.1.20) 170 Для незамкнутой (многосвязной) области (например, течение в трубе, обтекание потокоь~ тела в трубе) значение постоянной будет различным на отдельных участках границы. Особенность постановки граничных условий (6.1.20) для системы (6Л.15), (6Л.16) состоит в том, что они заданы лишь для функции тока и формально не заданы для вихря непосредственно на границе области.
Последнее оказывается существенным при численной реализации (подробнее см. ниже $6.5). Решение системы (6ЛЛ5), (6ЛЛ6) определяет изменение во времени полей вихря а(х, у, г) и функции тока ф(х, у, 8), с помощью которых можно в соответствии с (6.1.17) восстановить поле скорости и аатем при необходимости определить поле давления, используя уравнение (6Л.11). Для построения вычислительных схем в некоторых случаях используется также уравнение четвертого порядка относительно функции тока, получающееся прн подстановке (6.1Л7), (6.1Л6) в (6.1.15) и имеющее вид З ай ЗЛЭ ЗР ЗЛР 1 )'З'ДР ЗэДР~ — Лф= — — — — — + — — + — +Р. ш дз дз дх ду Ке~ ззэ ззз ) (6Л.21) Начальные н граничные условия для этого уравнения являются следствием тех, которые ставятся для системы (6Л.15), (6.1Л6).
Частному случаю стационарного «ползущего» движения при Ве х 1 соответствует бигармоническое уравнение ЛЬЕ+7 =О, (6Л.22) где 7= г' Ве. Это уравнение с граничными условиями на твердой стенке (6Л.20) является одной из простейших математических моделей при построении численных методов реп1ения уравнений Навье — Стокса для несжимаемой вязкой жидкости. 6Л.З. Некоторые особенности уравнений Нанаев Стокса и их решений. хребования к вычислительным методам. Уравнения Навье — Стокса обладают рядом специфических особенностей, которые проявляются в численной реализации независимо от формы их записи. Одной из существенных особенностей является пространственноэллпптнческнй характер уравнений, обусловленный.влиянием вязкости во всем поле течения, В связи с этим для решения уравнений Навье — Стокса необходимо использовать типичные для эллиптических уравнений методы 171 решения.
В отличие от уравнений пограничного слоя, при этом требуется постановка граничных условий на всех границах рассматриваемой области, которая в реальных условиях часто. бывает бесконечна, но при численной реализации должна быть конечной. Это приводит в ряде задач внешнего обтекания к так называемой «проблеме замыкания», что требует разработки приближенных асимптотических решений. В системе уравнений Навье — Стокса имеется малый параметр при старшей производной е = 1/Ве, изменению которого соответствует существенное изменение гладкости решения.
Это связано с появлением у стенок при росте числа Ве пограничного слоя, толщина которого обычно пропорциональна величине (Ве) ". Хорошую иллюстрацию этих эффектов (и соответственно вычислительных трудностей) дает линейное одномерное модельное уравнение переноса с диссипацней, которое рассмотрено в гл.4. Наконец, система уравнений Навье — Стокса нелинейпа. Эта нелинейность, типичная для систем гидродинамического типа (подробнее см. (27)), обусловлена в случае несжимаемой жидкости инерционными составляющими в уравнениях количества движения.
В сочетании с двумя упоминавшимися выше особенностями нелинейность уравнений Навье — Стокса приводит при достаточно болящих числах Рейнольдса к образованию весьма сложных пространственно-временных структур. В большинстве случаев для каждого типа течения в некотором диапазоне чисел Ве существует единственное устойчивое стационарное решение уравнений Навье— Стокса, для получения которого можно использовать либо стационарные уравнения, либо нестационарные, рассматривая искомое решение как предел при 1- (метод установления). При увеличении числа Рейнольдса стационарное решение перестает быть единственным и начинает зависеть от начальных данных. При дальнейшем увеличении числа Ве реализуются только нестационарные режимы. Решение нри этом имеет не только нерегулярный характер во времени, но существенно усложняется и его пространственная структура, в частности, теряет устойчивость и дробится пограничный слой, в ядре появляются вторичные течения и т.
д. Для описания режимов такого типа стационарные уравнения Навье — Стокса недостаточны. В экспериментах при больших числах Ве наблюдается неупорядоченное, хаотическое движение жидкости, назы- 173 ваемое турбулентным движением, для которого представ ляет интерес описание средних пространственно-временных характеристик. Переход из ламинарного режима течения в турбулентный в круглой трубе происходит при числе Ке - 2 10' (масштаб скорости — средняя во времени скорость на оси трубы, масштаб длины — радиус трубы). В технических приложениях и явлениях природы значения числа Рейнольдса достигают значительно больших величин 10' †: 10', поэтому турбулентные режимы имеют широкое распространение.
Информация об этих режимах, по-видимому, содержится в нестационарных уравнениях Навье — Стокса, До недавнего времени численные исследования при больших Ке были связаны лишь с изучением поведения бесконечно малых возмущений на основе линеаризованных гидродинамических уравнений (теория гидродинамической устойчивости; см. [17), (27!). В последнее время для отдельных классов течений делаются попытки прямого численного моделирования переходных и турбулентных режимов на основе нестациопарных уравнений Навье — Стокса (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
