Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 26
Текст из файла (страница 26)
з ''' и-з 2 м яа+1+ аа+г+ + <си+1 + х~'.~. ) Лу Р дх 1 (: 1 р~+~, ~н+д+ ( р+д ( бп+г) с„ Далее, из (5.5.10) находим значения й"', т = 1, 2, ..., а из второго уравнения системы (5.5.8) — значения вели- и чин и . При этом выполнение условий прилипания для вен+1 личин и + обеспечивается заданием граничных условий для величина и )) . Для величины условие при-н--г и+~ а+1 липания при гл = 0 задается, а при ш = М выполняется автоматически, так, как градиент давления (др/дх)"+' определяется из условия постоянства расхода, полученного интегрированием уравнения неразрывности. Как показали эксперименты на ЭВМ, описанная схема численного решения задачи в некоторых случаях для получения приемлемой точности требует счета с весьма мелким шагом Ьх. Описанная методика применялась для решения задачи о развитии профиля скорости в плоской трубе.
На входе в плоскую трубу задавался равномерный профиль скорости (и =, 6'„ и 0). Если принять за длину начального участка расстояние Й от входа, на котором значения продольной скорости отличаются от значений скорости в развитом течении Пуазейля более чем на 2%, то численные расчеты дают для этой длины величину Ь=О,ОЗЬ.Ве. Этот результат близок к значениям, полученным другими методами.
Сравнение с результатами решения аналогичной задачи для полных уравнений Навье — Стокса показывает, что использование системы (5.1'.28) — (5 1.80) для задачи о развитии профиля скорости в плоской трубе дает удовлетворительную точность для Ве >100.
Аналогично решалась задача о развитии течения в прямой осе симметричной трубе. Упрощенная система уравнений имеет кри этом вид до~ дп~ 1 др /дог 1 А'~ ) дх г дг д дг ~ дгз г дг /~ (5.5.13) д(хз ) д(гг ) — + — * =О. дх дз 150 В системе (5.5.13) г и г — осевая и радиальная координаы, а о, и о,— соответственно осевая и радиальная составляющие скорости. В безразмерных переменных система (5.5.13) примет вид ди ди1 дР дги 1 ди Ле~к — + о — ~ = — + — + — —, д5 дч~ д5 днг Ч дз' — + — =О, д (из) д (ии) д$ дч Р = Р(~). (5.5.14) Граничные условия ставятся следующим образом: и=-1 при $=0, и=о= 0 при 1) = 1, ди — =О,о=О при 1)=0. ди В системе (5.5.14) использованы обозначения Р Р Ке/(р(Р), Ке= от, где  — радиус трубы, У— да а .
аа га. еа да а ааа ° цг Рис. 5.6. 1 — 5/Ве 0,002; 2 — Рис. 5.7. 1 — $/Ве 0,002; 2— $/Ве = О,ОЗ; д — 2/Вв =0,06; $/Ве 0,01; д — $/Ве 0,02; д — $/Ве = 0,15. ' д — $/Ве 0,06. заданная на входе в трубу постоянная скорость, и и,/П, о = а,/1/, $ =г/В, т) = г/г(. Условие постоянства расхода для осесимметричной трубы имеет вид ) ид е(г) = 0,5. о 151 ' На рис. 5.6 покааано формирование профиля осевой составляющей скорости, а на рис.
5.7 покаааны профили радиальной составляющей скорости в различных сечениях. Максимум радиальной составляющей скорости вблизи входного сечения достигается у стенки трубы, а при удалении от входного сечения он уменьшается и приближается к оси трубы. 5.5.4. Стационарные течения вязкого сжимаемого газа.
В рамках теории пограничного слоя могут быть рассмотрены разнообразные задачи о течениях вязкого сжимаемого теплояроводного газа. С помощью разностных методов были изучены двумерные течения сжимаемого гааа в пограничном слое около кругового цилиндра, на эллипсоидах вращения, на сферически затупленных конусах и клиньях, с учетом вдува и отсоса на обтекаемой поверхности, в учетом переменной температуры стенки. Изучались также течения в пограничном слое с учетом различных физических и физико-химических свойств обтекаемого газа.
Ссылки на работы, в которых излагаются результаты таких исследований, можно найти в дополнении 1. Для. расчета течений вязкого газа получили широкое применение так называемые упрощенные или «нараболизованныеа уравнения Навье — Стокса. Эти уравнения обычно получают из полной системы уравнений Навье— Стокса с поз«ощью априорной оценки вязких членов уравнений по параметру з = $фйе. Для примера рассмотрим задачу о течении .в дальнем следе эа затупленным телом, обтекаемым сверхзвуковым . потоком вязкого совершенного теплопроводного газа. Как Ф известно из экспериментальных и теоретических исследований, картина такого течения достаточно сложна.
На рис. 5.8 изображена схема течения около затупленного осесимметричного конуса, обтекаемого равномерным сверхзвуковым потоком под пулевым углом атаки при умеренных числах Рейн ольдса. На этой схеме в меридиональной плоскости течения характерные области отмечены номерами, а образующиеся- ударные волны изображены в виде утолщенных . зон с точками. Возмущенную телом область от невозмущенного потока отделяет отошедшая головная ударная волна И), которая, утолщаясь, простирается вниз по течению.
К лобовой и боковой поверхностям примыкает пограничный слой (3) с ярко выраженными вязкими свойствами, а между ударной волной и пограничным слоем расположена область не- 152 вязкого илн слабовязкого неизэнтропического течения (2). Пограничный слой срывается с задней кромки конуса, образуя вязкий слой смешения или свободный пограничный слой (7), который разделяет образующуюся у кормы замкнутую область возвратно-циркуляционного течения (5) и область (2), У задней кромки тела поток разворачивается в сторону оси течения, что на рис.
5.8 схематически изображено в виде веера волн разрежения (4). Рлс. 5.8. Ниже веера волн разрежения располагается висячий кормовой скачок уплотнения (6). Оторвавшийся вязкий слой на некотором расстоянии от дна тела сливается в единый поток (область «горла' следа»), образуя при взаимодействИи со сверхзвуковым потоком серию волн сжатия (8), переходящую в хвостовой скачок (9). Разделяющая линия тока (10) отделяет ноток, который имеет полное давление, достаточное для прохождения через течение сжатия, от потока, полное давление которого недостаточно для прохождения через течение сжатия и который вынужден повернуть в обратном направлении. Эта линия тока уходит от тела в точке отрыва и приходит в заднюю критическую точку.
За областью сжатия находится дальняя часть следа (11), которая характеризуется тем, что в ней продольные градиенты параметров потока малы по сравнению с поперечными. Следы за тупыми телами иногда называ»от «горячими». Это связано с тем, что газ, образующий след, разогревается, проходя через головную, ударную волну и сжатый Ударный слой перед носовым затуплением. Остывает след довольно медленно, и все характеристики следа еще отличаются от соответствующих характеристик внешнего потока на достаточно больших расстояниях от кормы тела. Так, например, след за метеором может достигать 28 км на.высоте 185 км. При скорости метеора 12 км/с температура в следе "может достигать 6500 К на Расстоянии 50 — 100 диаметров за телом.
153 Используя тот факт, что в области дальнего следа продольные градиенты всех искомых функций малы по сравнению с поперечными, систему уравнений Навье — Стокса можно упростить, отбросив члены со вторыми производными в продольном направлении и смешанные производньге. Таким образом, упрощенные стационарные уравнена Навье — Стокса в цилиндрической системе координат г (х — продольная, г — поперечная координаты, у = О— плоское течение, 1 = 1' — осесимметРичное течение) бУДУт иметь следующий вид: ди 1 1р '1 ди 1 д ди 1 1дТ Т др1 и + У = и + дх ( Ве рг) дг Ве р дг г дг Ме ~дх рдг) ОО (5.5Л51 уравнение количества движения в проекции на ось.х„ 1 4д д 1 /дТ Тдрт, — — р — —, —, ~ — + — — ) "(5.5АО1 йер 3 дг дг ' тдге ~ дг р дг) е уравнение количества движения в проекции на ось г; и — + р — + р~ — + — )+ у — = О (5.5Л7) 'др др / ди ди г . ре' дх дг ~дх дг ) г уравнение неразрывности; дТ / т1Х 1 дТ т д дТ +( — ) — = -л —— дх ( Рг Ве рг) дг Ве р.ргдг дг 1 ди ди .
и ~ 1 ( дите -(т — 1~т( — + — +1 — )+ — у(т — 1) и р(' — ) (дх дг г) Ве р (,дг) (5.5.18) системы уравнений х для всех иокомых Ф =О уравнение энергии. Граничными условиями для этой являются условия симметрии на оси функций: ди ди др дТ дг дг дг дг и условия набегающего потока на достаточно удаленной от ося х прямой г г", выбранной так, чтобы полуполоса, в которой производится расчет, включала в себя всю об- ласть, возмущенную движущимся телом. Б качестве начальных условий выбираются профили искомых функций при л иь полученные из расчета предыдущих областей по полным уравнениям Навье — Стокса. Аналогично ставится задача о расчете дальнего участка сверхзвуковой струи. В этом случае в качестве начальных условий при х х, выбираются профили искомых функций из соответствующего расчета.
Для того чтобы сгустить узлы разностной сетки вблизи оси х, делается замена переменных х, = х, г; 1п (1+ ~1,г), ~, ~ 1. Расчет течения в дальнем следе проводится в областях большого удлинения. На рис. 5.9 в качестве примера приводится положение . головной размытой ударной волны и распределение давления и температуры вдоль оси следа за затупленным цилиндром при М„ 20, Не 300 1311. За характерный линейный размер выбран радиус цилиндра. Расчет по уп-.
рощенным уравнениям велся от х 8 в области полностью сверхзвукового течения. Проведенное сравнение решения, р т зл Рнс. 5.9. полученного по полным уравнениям Навье — Стокса, и решения упрощенных уравнений показало правомерность использования упрощенных уравнений в полностью сверхзвуковой части следа, где поток уже повернулся в направлении оси течения. Расчеты показали, что давление в следе быстрее приближается к значению в невозмущенном потоке, чем температура. Так, например,. при л 400 имеем Р/р = 1, в то время как Т!Т„З. В заключение этого тьь пункта еще раз подчеркнем, что только использование упрощенных уравнений Навье — Стокса позволяет рассчитывать течение в следе, длина которого во иного раз превос'- ходит размеры тела. 5.5.5. Нестациоиариые течеиия в пограиичиом слое.
Как было отмечено в 6 5.4, пестациокарпый характер течения в пограничном слое определяется, как правило, кестациокарпыми граничными условиями на обтекаемой поверхности и во внешнем потоке. В настоящем пункте будут рассмотрены два примера расчета двумерного нестационарвого течения в пограничном слое. Первый пример связан с расчетом течения сжимаемого газа в пограничном слое около плоской пластины, температура которой есть линейная функция времени.
Предположим также, что скорость и температура внешнего по-' тока остаются постоянными во времени (давлепие р постоянно), а в начальный момент времени в пограничном слое осуществляется установившееся течение, соответствующее'начальной температуре стенки, При решении аадачи ке учитывается влияние Ч1иссоциации и ионизации воздуха в погракичпом слое и поэтому рассматривается система из трех уравнений: неразрывности, движения и энергии. Система уравнений пестациокаркого пограничного слоя (5.41) — (5.4.3) на пластине в этом случае запишется в виде — '+ — + — =0 др. дри дру дГ дз ду ди ди ди д / ди1 р — + ри — + ру — = — р — ~, (5.5.20) дс дх ду ду ( ду~' дй дй дй 1 д ! дй1 г !дигз р — + ри — + рр — = — — (.р — ) + (у — 1) Лт )г ~ — ~ дГ дг ду РГ ду ( ду ) 0 (ду~ (5.5.21) Граничные условия для системы (5.5.19) — (5.5.21) выберем следующие: и= о-О, Ь = Ь П) при р О, (5.5.22) и- 1, Ь- 1 при у- ао, (5.5.23) где Ь (1) — линейная функция времени.
Рассмотрим случай, когда за некоторый промежуток времени энтальпия пластины меняется от Ь =0,075 до Ь.=0,75. Предположим, что динамический коэффициент вязкости )г, коэффи-' циент теплопроводпости Х и плотность р являются толь 166 — —" и5(0)=, (5525) I дтц т,— т ° 1 где Т, — температура торможения, Т вЂ” температура стен- 5 и1 (0) — производная скорости на стенке по перемен- нойс = — [ рбу, 2 [/йд Тепловые потоки, полученные по 157 функциями энтальпии Ь, причем д = Ь, Х = Ь, р = 1/Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
