Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Так, для разрывного профиля скорости (и)„, =О, и(„ь,-1) она наибольшая. Для кусочно-линейных профилей, удовлетворяющих граничным условиям при у = О и у —, этот интервал заметно меньше. 122 При расчете конкретных физических задач в тех случаях, когда начальный профиль неизвестен, можно Получить его путем последовательных итераций для фиксированного х,. Эти итерации можно организовать таким же образом, как и при расчете с изменением аз после того как сошлись с' заданной точностью итерации, проводящиеся в силу нелинейности системы, полученные профили берутся в 'качестве начальных. Параметр усреднения з в разностной схеме (5.2.3) при этом следует выбирать равным 1. 5.2.7.
Преобразование расчетной области к прямоугольной форме. Применение численных методов для реигеиия системы уравнений Прандтля (5Л.8) с граничными уело- виями (5ЛЛО) требует конкретизации понятия «внешняя граница пограничного слоя«и построения соответствующего алгоритма для выбора линии р =6(х), на которой ставятся гранинные условия, соответствующие внешнему потоку.
Выше в п. 5.2.3 был описан алгоритм для реализации асимптотического верхнего граничного условия, который заключался в следующем: на каждом расчетном слое (х-= сопэ1) прибавляется необходимое количество точек по у, пока для последних точек не будет выполнено условие гладкого сопряжения. При этом число узлов поперек слоя возрастает, что приводит к некоторым трудностям использования оперативной памяти машины и вызывает увеличение необходимого для расчета машинного времени. Чтобы проводить расчеты в области прямоугольной формы при постоянном числе узлов сетки поперек слоя, можно ввве сти новые переменные 2 = л, т) = у/6(х), (5.2.И) где 6(л) — функция, которая строится при решении задачи.
На каждом слое $ =' сопзС функция 6(х) выбирается в процессе общих итераций. Наиболее простым способом нахождения значения 6(л) на каждом слое $ =сопзФ яв- ' ляется увеличение 6(х) от итерации к итерации на величину г) — «)я-~ (М вЂ” номер последней точки на слое $ = сопз1) до тех пор, пока не будет выполнено условие гладкого сопряжения. Заметим, что 6($) является вспомогательной функцией.
Поэтому строить ее««ожно достаточно произвольным образом. В тех случаях, когда решение имеет большие градиенты в продольном направлении, функция 6($) может меняться достаточно интенсивно. Это может привести к понижению точности расчета. Положение можно исправить 123 в атом случае либо уменьшением шага в продольном на- правлении, либо применением какой-либо операции «сгла- живания» при построении функции б($). й 5.3. Основная разностная схема ' для интегрирования систем уравнений типа уравнений пограничного слоя Широкий класс двумерных задач теории пограничного слоя, теории струй и дальних следов за телами может быть описан нелинейной системой уравнений в частных производных, состоящей из нескольких уравнений 2-го порядка и одного уравнения 1-го порядка (уравнения неразрывности). .5.3.1.
Постановка задачи. В случае, когда все искомые функции зависят от двух пространственных координат х, у, системы уравнений для таких задач могут быть приведены к следующему, общему виду: д1«Н«д / Н1 з + зг 0 ' 1 1 2 й (5 3 2) Система (5.3.1), (5.3.2) служит для определения )«+ 1 неизвестных и и Д, ( = 1, 2, ..., )«. Заметим, что одна из функций ~~ должна совпадать с и, так как уравнение движения всегда может быть приведено к виду (5.3.1). Запись системы уравнений типа пограничного слоя в виде (5.3.1), (5.3.2) предполагает, что для каждой искомой функции, кроме поперечной компоненты скорости о, выделяется свое «определяющее» уравнение второго порядка. Для поперечной компоненты скорости таким является уравнение неразрывности.
Козффициенты уравнения (5.3.1) аь бе сь 4, е, могут зависеть от искомых функций, а также от производных тех функций, для которых данное уравнение не является «определяющим». К такому виду могут быть приведены уравнения Прандтля и уравнения стационарных течений газа в пограничных слоях, уже рассмотренные выше. Различные преобразования уравнений пограничного слоя, такие, например, как преобразование Дородницына (20), придающее уравнениям для сжимаемого газа форму, близкую к форме уравнений для несжимаемой жидкости, или преобразование Степанова — Манглера (20), приводящее осесимметричные уравнения пограничного слоя к уравнениям плоского сло 424 меняют формально вид системы (5.3.1), (5.3.2). Преобразование уравнений типа пограничного слоя, проводящееся с целью приведения расчетной области к прямоугольной форме (см.
п. 5.2.7) или с целью сгущения точек разностной сетки к поверхности тела в физической плоскости (х, у), также не меняет общий вид системы уравнений (см. п. 5.51). Заметим только, что уравнение неразрывности при некоторых преобразованиях может изменить свой вид, но при этом всегда'может быть записано так: Здесь Р— некоторая функция указанных аргументов, вид которой может быть легко выписан в каждом конкретном случае. Мы будем искать решение системы (5.3.1), (5.3.2) при следующих граничных условиях: дг дг =У(),~ =УЬ.(х,~.,".,~" — „' "' — д„',) при у = О, (5.3.4) ~,— Рс,(х, 7„..., Я при у-, (5.3.5) где г'(х), Е~ о Рс,— известные функции своих аргументов.
Условие (5.3.5) означает, что искомые функции асимптотически стремятся к соответствующим функциям Рь г на внешней границе пограничного слоя. Кроме граничных условий необходимо задать начальные условия — значения искомых функций Д,поперек слоя в некотором начальном сечении х = хо 5.3.2.
Конечно-разностиея аппроисимация уравнений второго порядка. Уравнения (5.3.1) аппроксимируются с помощью двухслойной неявной шеститочечной схемы на прямоугольной сетке, состоящей иэ целых и полуцелых узлов (см. пп. 5.21 и 5.2.2): ~л+г ~г птпг ьт ~ьт ь.,/,,(е+~,1-)1+' 1)+(1-.8,)(уь.,1- 1а. 1) аг 1 а г(1(1 г1) (~~,е~~-Г 1~,т),+ г1(Лю+д Щт )~ С1,~л+йг — 1(1 — г;)(~1ь~ — ~," ~)+ г1(Д"+' — "7',".~ ~)]с~ ~,~~) + + 4',ва + г;,щ' ' ((1 — г1) Д'щ + гДт ), (5.3.6) 12Ь где параметр усреднения е, может быть выбран различным для каждого уравнения из условия 1/2 ~ з, < 1.
Для зтих значений разностная схема (5.3.6) при замороженных козффициентах аь Ь», с», »»», е, абсолютно устойчива и при а» 1/2 имеет второй порядок точности относительно шагов сетки Лх и»»у (0(»»х») + 0(Лу»)). Уравнение (5.3.6) может быть приведено к виду »»+» +» »»» „/» , + ~» „Я,„ + у» „Я .„» = б» , (5.3.7) где »»+1/3 1)»,„= — а»,„, + Де (5.3.8) У вЂ” е»,+Р'~~/»",„— —.' (1 — г»)~Ь»,+»и — — (с";,+»+» + с";+"')~ х дз а »»»-»»» Х/»,,„+, +»(»,,„ Система (5.3.7) для каждого (, » 1, 2, ..., Ь, совместно с конечно-разностной аппроксимацией граничных условий определяет значения /» на.слое с номером п + 1, если известны значения /»на предыдущем слое и значения а„ Ьь. с», 4, е» в соответствующих точках сетки.
5.3.3. Прогонка. Реализация верхних граничных условий. Система (5.3.7) решается' методом'прогонки. Для нахождения /» на (и+1)-м слое сначала вычисляются прогоночные козффициенты в рекуррентном соотношении »»+ 1 /»,т = А»,т/»т.,»+ В» щ (5.3.9) по следующим формулам: а А +(» ' »'»и а А -( Ь Значения А»,». Вь, находятся из конечно-разностной ап- »26 проксимации граничных условий при у =О. Зная прогоночные коэффициенты А,, В» „(» 1, 2, ..., й; п1 - = О, 1, ..., М вЂ” 1, где-М+ 1 — число точек на и-м слое) на (»»+ 1)-м слое, используя граничные условия на внешней границе пограничного слоя (при я» М), можно найти 7» на О»+ 1)-м слое. Однако, учитывая тот факт, что с ростом х может увеличиваться толшкна погранпчного слоя, прежде чем находить по соотношению (5.3.9) 1» во всех точках сетки, следует вычислить лишь )» , и проверить условие гладкого сопряжения ! ~»,м — 1»,м-»~( зь (5.3.И) где з» вЂ” малые положительные числа, которые могут-быть выбраны различными для каждого из й уравнений второго порядка (5.3.6).
В случае невыполнения условия (5.3.И) хотя,бы для одного из 1 на (п+ 1)-м слое добавляется точка с шагом Лу = у. — у»»» и находятся прогоночные козффициенты Ас„, В... при вычислении которых в недостающих точках на я-м слое используются предельные значения функций )». Таким 'образом, на (и+1)-и слое может прибавляться нужное количество точек, пока для двух последних точек (я+ 1)-го слоя нв' будут выполнены условия гладкого сопряжения (5.3.И).
5.3.4. Нахождение поперечной составляющей скорости о ие уравнения неразрывности. Уравнение (5.3.2) ап« проксимируется по четырехточечной схеме так же, как и з и. 5.2.2х — '((ри) »' — (ри)" 1+ — ((ри) +~', — (ри)" +»1+ ° + — [(рб)"~~',' — (ру)"+'~'1 = О. (5.3Л2) Если функции („р известны во всех точках сетки на (»»+1)-и слое и»»з~п' может быть найдено' из нижнего граничного условия для поперечной составляющей скорости, то уравнение (5.3.12) дает возможность найти й,+~~~ для»»»='1, 2, ..., М', где М' — число интервалов на (о+ 1)-м слое (М' ) М, а М вЂ” число интервалов на предыдущем и-м слое). В случае, когда уравнение неразрывности имеет вид (5.3.3), для его аппроксимации также применяется четырвхточечная схем» ,»»+па . »»+н2 +» г г +» з ад т+1!2» 127 дй дй 1 д / дйй ри — + ри — = = — ~р — ~+ дх дд Рг ду ~ дд~ + (Ь вЂ” 1) ЛР ~и ++ р ( — ) 1, (5.3Л4) — + — =О, дри дри ди ду р= рЬ р=р(Ь).
1 йМ~~ (5.3.15) (5.3Л6) Граничные условия для этой системы выберем следующие: и=и=О, Ь=Ь„при у О, (5.3Л7) и — У„(х), Ь вЂ” Ь„(х) при у — ии. (5.3.18) Использование основного разностного метода предполагает, что для каждой неизвестной функции и, Ь, п выделяется свое определяющее уравнение: для и — уравнение движения (5.3ЛЗ), для Ь вЂ” уравнение энергии (5.3.14) и для и — уравнение неразрывности (5.3Л5). 128 где К+и, есть значение функции Р, вычисленное на по+пи ,луцелом слое и+ 1/2 по значениям искомых функций ~а в четырех точках: (п, и), (и, т+1), (и+1, т); (и+ 1, т+ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
