Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 17
Текст из файла (страница 17)
На «зтапах' квазистационарностн» для улучшения стабилизирующих свойств принимают а-1. Для больших значений Ст имеем г= — ()/а; с увеличением а стабилизирующие качества схемы улучшаются. 4А.6. Нехарактеристическая форма модельного уравнения. До сих пор в этом параграфе рассматривались только обыкновенные дифференциальные уравнения, соответствующие характеристической форме модельного уравнения переноса с кинетикой. Имея в виду общие (нехарактеристические) сеточные аппроксимации, рассмотрим модельное'неоднородное уравнение — + а — = — Си+1 С)0, а= сопв1, а)0, ди ди д» дх Ф и соответствующее ему однородное уравнение ди ди — + а — = — Сп д» дх (4.4.И) Аппроксимируем (4.4.И) по схеме «явный уголок» (3.2 1); получим ,и+«и - и „и + а ~ — Со".
(4.4.12) т и Мпожитель перехода для (4.4.12) равен Х = 1 — — (1 — ехр ( — (ой)) — Ст. Ь т. е. зависит от )«н при )« = 1 вообще не может выполняться..Если в правой части (4.4.12) вместо в" написать 98 Неравенство Куранта й < 1 обеспечивает формальную- устойчивость схемы при т- О, поскольку при й<1 условие' Неймана будет выполнено. Подчеркнем, однако, что условие Неймана, как и само понятие устойчивости, предполагает, что т- О. В конкретных расчетах т имеет конечное значение; при атом Ст может быть большим. С помощью элементарных геометрических соображений (ср.
п. 2.4.4) можно показать, что для схемы (4.4.12) условие стабилизации определяется неравенством Ст ( 2(1 — й), ощ т, то получим » Х*= (1 — й)+ (й — Ст) ехр ( — »юй). При й(1 условие стабилизации имеет вид Ст 2Й, т. е. реализуемо, но для малых Й является стеснительным. Для к = 1 оно совпадает с (4.4.5). Запишем теперь правую часть в виде Си,, тогда »+1 Л (1 — л+лехр( — »юл)Н1+Ст) '. (44.13) Неравенство Куранта )«'<1 обеспечивает выполнение условия стабилизации при любом Ст) О. Из приведенных примеров видно, что при расчете квазистационарных режимов может оказаться' необходимым сочетать явную запись старших членов уравнения (т.
е. производных) с неявной записью младшего члена ) =~(Ф, х, и). 4.4.7. Двухшаговая схема второго порядка точности с хорошими стабилизирующими свойствами. Применение «управляемых» схем, подобных (4.4.10)» требует постоянного анализа результатов в ходе расчета. Нужен также определенный опыт, приобретаемый ценой ошибок и неудач. Поэтому представляют интерес «неуправляемые» схемы, сочетающие правильное качественное поведение на квазнстационарных режимах и точность второго порядка в истинно нестационарных условиях.
Рассмотрим кратко одну такую схему на примере модельного уравнения (4.4.3). Расчет о"+' распадается на три этапа. Сначала находится предварительное значение р"+' по неявной схеме (4.4.3) первого порядка точности: (4.4Л4) Затем ко той же схеме, по двумя шагами, вычисляется второе предварительное значение и"+': „'»+и» „и — »+и» „»+» „»+и» »»1 О, т — — — Си (4.4Л5) На заключительном этапе определяется окончательное значение с помощью «взвешивания», исключающего главную часть погрешностп: +! 2|и+1 ба+1 (4.4Лб) Множитель перехода, соответствующий процедуре 7 99 (4.4Л4) — (4.4Л6), имеет такой вид: г — 2/(1+ 0,5Ст)' — Ы1+ Ст).
(4.4Л7) Элементарное исследование г как функции г = Ст, одределяемой формулой (4.4Л7), приводит к следующим результатам. Для 0<я< имеем !г(г)! <1, т. е. схема (4.4Л4) — (4.4.16) является безусловно стабилизирующей. В интервале 0 < з < 2+ 272 имеет место монотонная стабилизация. Для з ) 2+ 272 стабилизация немонотонная, но отрицательные последствия немонотонности подавляются высокой скоростью стабилизации (в этой области имеем (з! < 0,036). 4.4.8. Трехточечная схема. Аппроксимируя (сЫЖ) "+' по с" ', о", и"+' со вторым порядком и относя правую часть к 1"+', получим для уравнения (4.4.3) неявную схему з ""' — ~ ~ — С "+' (4 4 18) 2 т .2 ъ Множитель перехода з определяется из квадратного уравнения (1,5+ Ст) г' —, 2г + 0,5 = О. Прн Ст) 0,5 корни уравнения комплексные (и, очевидно, комплексно сопряженные), поэтому !г~'=05(1,5+Ст) ', !г! =(3+2Ст) и'.
(44Л9) Сравнивая (4.4.19) с (4.4.17), убеждаемся в том, что схема (4.4Л8) обладает худшими' стабилизирующими свой'ствами по сравнению с двухшаговой двухточечной схемой, так как при Ст — Ь! медленнее стремится к нулю, ' $4.5. Стабилизирующие свойства схем для уравнения тенлопроводностн 4.5Л. Предварительные замечания. Рассмотрим урав-' нение — = У вЂ”, (4.5Л) Будем искать для него решение специального вида: и= =о(1) ехр Оах).
Для амплитудного множителя иИ) получим обыкновенное дифференциальное уравнение — — — С (в) и, С (а) = тюз. (4,5.2) тоо Уравнение (4.5.2) совпадает с модельным однородным уравнением околоравновесной кинетики (4.4.3). Отметим резкую зависимость скорости релаксации от частоты са. Таким образом, можно ожидать, что для высокочастотной составляющей решения должны быть существен-- ны стабилизирующие свойства применяемой схемы.
По-. ведение схемы в области высоких частот имеет особенно важное значение при расчете разрывных и негладких решений, поскольку в этих случаях велик удельный вес высокочастотных гармоник в решении, 4.5.2. Явная четырехточечная схема. Применительно к уравнению (4.5.1) для схемы (4.2 1) имеем Л=1 — 2й г, йи=2 а, г=з(па 2 ' (4'5'3) Мы видим, что стабилизирующие свойства схемы зависят от значения параболического числа Куранта й, (рис. 4.8). Предельное по устойчивости значение Й есть 1.
При 1с, 1 для высшей .с частоты еай = л имеем Л = — 1, т. е. стабилизация для этой гармоники отсутствует. Наиболее быстрая стабилизация в области высших частот имеет место при Й, 0,5. 4.5.3. Неявная четырехточечная схема. Для схемы иаира — ии ии+а — 2ии+а+ ии+ а ~т ~аи иаа+а — иш иаа-1 -т а й Ряс. 4.8. (4.5.4) находим Л ='(1+ 2)а,г) ', г = зш' (еаЫ2). Очевидно, что схема (4.5.4) является стабилизирующей при любых значениях й, причем с-ростом Й, (т. е. с увеличением т) стабилизирующие свойства усйливаются.
(При этом, однако, возрастает погрешность аппроксимации.) 4.5.4. Неявная шеститочечная симметричная схема. Для схемы ии-~. 1 и "1» — "1В а и+ а и+а и+а и п и а и,+ — 2и, + и„, а ( за+а — 2и„, + и„, 2,а + 2 Ьа (4.5.5) аоа имеем ), И вЂ” ' й,г)(4+ й.г)-', г з1пг (юЫ2). При больших значениях й, в области высших частот Л - =1, т.
е. стабилизация слабая и немонотонная, что создает возможность для нежелательных резонансных явлений (ср. к. 4.4.3).— 4.5.5/-Шеститочечиая неявная схема е «весами». Рассмотрим схему и+1 и ж пз 'г + и+1 2 и+1 с и+1 и 2 и с и й й а + р = 1, а Р'- О, () > О. Имеем Л П вЂ” 25й,г)($ + 2а/с„г)-', г г!и' (с»й/2), (4.5.8) (4.5.9) ий Уточненные значения й+' находятся по формуле и+1 ~ и+1 и+1 и =2и и Множитель перехода для схемы'(4.5.6) — (4.5.9) таков: 2 1 . гей Л= —— г = з(в —. ((+й г)г 1+2й„г ' 2 Ю2 При больших йи в области высоких частот Л - — р/а. Если () <а, то имеет место стабилизация. Для усиления стабилизирующих свойств увеличивают «вес» верхнего слоя а.
При этом соответственно увеличивается слагаемое 0,5(а — 5)тд*и/дР, входящее в погрешность аппроксимации. 4.5.6. Двухшаговая двухслойная схема второго порядка точности е хороппгми стабилизирующими свойствами/ С помощью неявной четырехточечной схемы находятся предварительные значения и"+', и"+': и+1 . и и+1 ййи»1 и ии+1 +', ' " ', (4.5.6) й и" +Пг — ии и"+Пи — 2ии+Пг + й" +Пи йи+ йи+пг йи+г 2йи+г ( йи+ й3 Ш 15+1 и 1В 1 Это выражение (прп несколько иных обозначениях) рассматривалось в п. 4.4.7. Стабилизация имеет место для любых аначений у сс.г,' причем скорость стабилизации быстро возрастает с увеличением г, т. е. с увеличением частоты ю, что качественно соответствует стабилизирующим свойствам уравнения (4.5.1).
45.7. Прнмер. Рассмотрнм модельную задачу о нагреве полубесковечного стержня: — — — 0 < х < + со, 0 а, с < -(- сс; дс две и (О, х) =О, и(с; 0) = 1. Точное решение этой задачи представляется формулой х и =1 — ег1 ~ 2(/с!' Ниже для 1=0,001 н х 0,05 (первая строка), х=0,1 (вторая строка) прсгведевы значения, найденные по формуле (4.5.10),— первый столбец; по симметричной шестнточечной неявной схеме (4.5.5) — второй столбец; по четырехточечной неявной схеме (4.5.4) — третий столбец; по двухшаговой схеме (4.5.6) — (4.5.9) —. четвертый столбец. Для всех схем расчеты проведены прн т = 0,001, т.
е. в таблице представлен первый расчетный слой. Пространственный шаг Ь 0,01, что соответствует 4» 20. На принятой сетке на первом временном шаге имеет место резкое пространственно-временное пзмененне решення. В атнх условнях схема второго порядка точвостн (4.5.5) существенно хуже воспронвводнт решение, чем схема первого порядка точности (4.5.4). Наиболее блнзкне к точному решенню реаультаты дает двухшаговая хорошо стабнлнзврующая схема (4.5.6)' — (4.5.9). 4 5.8. Трехслойная схема. По аналогии со .схемой (4.4.18) запишем З и»+с — и" '1 и" — ~их 'й+ — 2й+ + и + и — и 1 и — и ию+ — и,„, и„, 2 т ь~ (4.5.11) Схема (4.5.11) безусловно устойчивая .и безусловно стабилизирующая (см., например, [16)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
