Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Первое слагаемое в правой части уравнения (4Л.1) соответствует переносу тепла теплопроводностью (или' вещества диф- фузной), второе — конвектнвному переносу, третье — ис- точнику, пропорциональному температуре или концентра- ции (»кинетический член»), четвертое — внешнему источ- нику. Для определенности будем рассматривать тепловув» интерпретацию (4Л.1). Мы будем рассматривать также следующие частные случаи уравнения (4Л.1): — = т — — а — + Ъи, ди ди ди ш' »х» дх (4Л,2) ди ди ди — =ч — — а —, Ш лх» дх' — = т —,. (4Л.4) дх~ 4Л.2. Краевые задачи.
За~дача Коши для уравнения (4Л.1) содержит дополнительные условия — в(х(+, 0<1< Т, и(0, х) <р(х). (4Л5) Здесь ~р(х) — известная (начальная) функция. Задача Ко- 'пи (4.1Л), (4Л.5) описывает одномерное распространение тепла в неограниченйой однородной среде. В. М.
Пкоковов к лр. 81 Первая краевая задача для уравнения (4ЛЛ), соответ- ствующая одномерному распространению тепла в ограни- ченной среде при заданных значениях температур на границах, формулируется следующим образом: 0<х~Х, О~г<Т, и(0, х) ~р(х); (4Л6) и(Г, 0) 7о(о), и(г, 'Х) У,(о). - (4Л.7) Здесь |е У, — известные (граннчные) функции. Вторая краевая задача соответствует ааданию на гра- ницах тепловых потоков; условия (4Л.6) сохраняются, а условия (4.1.7) заменяются следующими: д ) = <ро(Ю), д, ! = <рг(г). (4Л.8) Наиболее общие режимы 'теплообмена через границы описываются с покощью граничных условий третьей краевой задачи иоЯ + ()о(г) и = уо(о) при х = О, (4Л.О) а,(г) — „" + р (г) и= у (г) при х= Х 4Л.З.
Свойство позитивности..Рассмотрим первую крае- вую задачу (4Л.1), (4.1.6), (4.1.7). Пусть ~р(х) > О, уо(1) ~ > 0,,7,(г) > 0 'и 1(Г, х) > О. Тогда и(т, х) > О. Это утверж- дение нетрудно доказать математически строго, .ио мы ограничимся физически очевидными соображениями. При Ь 0 имеем кондуктивный и конвективный перенос теп- ла с неотрицательным источником прн неотрицательных начальных и граничных значениях температуры. Физи- чески очевидно, что во внутренних точках температура не может принимать отрицательные значения. При ЬчоО замена искомой функции и-вехр(Ь1) возвращает нас к случаю Ь=О.
4Л,4. Принцип максимума. Рассмотрим первую крае- вую задачу для уравнения (4.1.3); Обозначим М(г,) = шах (шах <р(х); шах ),(г), О < г ~ ц; шах~Щ 0<2~1,), ш(1,) =шш(ш(пор(х); ш(п7оИ), 0~ С~ 2,; шш 7о(Г), 0 ~ о < оо). Тогда во(о,) <и(г, х) <М(1,). Таким образом, искомая функция может принимать наибольшее и наименыпее значения только при о О, при х = О'и при х = Х. В слу- 32 чае неоднородного уравнения максимум и(8, х) можне оценить через М(8,) и шах~(г, х), г (1,. Имеется аналогичная оценка минимума и(», х).
4.1.5. Свойство стабилизации. Рассмотрим третью краевую задачу (4.1Л), (4.1.6), (4.1.9) в случае Т= ° . Пустт )П, х) — )(х) при 1 — н а», р», "(», ао ро '(, ст йилиаируются, т. е. стремятся к некоторым предельным значениям. Тогда прп дополнительных ограничениях относительно условий (4.1.9) и коэффициента Ь решение и(1, х) также стабилизируется; точнее говоря, и(1, х) при 1- стремится к решению предельной стационарной краевой задачи.
'Упомянутые дополнительные ограничения выполнены, в частности, для первой краевой задачи при Ь» О, 4Л.6. Внутренняя гладкость решения. Можно доказать, что гладкость решения в любой внутренней подобласти определяется гладкостью функции )(г, х) и никак пе зависит от гладкости начальной и граничных функций. В частности, если ~(1, х) бесконечно дифференцируема, то и(д х) также бесконечно дифференцнруема во внутренних точках.
Распространение особенностей краевых значений внутрь области, характерное для. конвективного переноса, не происходит нри диссипативных процессах. 4Л.7. Решения специального вида. Однородное уравпение (4.1.2) имеет решения вида и(д х) =ехр()»1) Х Х ехр(иох). Подставив это выражение в (4Л.2), найдем р = — тсо' — (аа+ Ь, поэтому и(1, х) ехр [-(тв' — Ь)г) ехр Пю(х — аг)). (4.140) Пространственный профиль специального решения (4.1.10) представляет монохроматическую волну.
Волна смещается в направлении оси х со скоростью а. Изменение амплитуды волны со временем онределяется первым множителем правой части (4.1ЛО). Если Ь < О, то амплитуда экспоненциально убывает при любом ю ч»0. Если же Ь ) О, то для частот, ограниченных неравенством ю'( Ыг, имеет место возрастание амплитуды. Для болев высоких частот амплитуда убывает; при этом скорость затухания очень резко растет с увеличением частоты.
Быстрое затухание высокочастотных составляющих обеспечивает гладкость решения для 8 ) 0 при любой начальной функции. 4 1.8. Распад начального разрыва. Для уравнения (414) рассмотрим задачу Коши с разрывной (кусочно- постоянной) начальной функцией: <р(х) 1 при и < О, . 6» 8З ~(х) О при л ) О. Применяя формулу Пуассона, находим .о +00 ОО ь иь астм (/а à —,ь — — е ьЬ = — — — Ф ~=). (4ЛЛ() 1 $ / 2 2 ~2 (/ть Здесь Ф вЂ” функция; называемая интегралом ошибок; для нее имеются подробные таблицы. Так как Ф аависит только от комбинации х/(2'64), то зависимость от 2 пространственного распределения сводится к изменению масштаба по л (рис. 4Л).
ь Рлс. 4.2 Рис. *$ Легко убедиться в том, что функция и(2, х) при $ ) О имеет производные всех порядков. Условную ширину переходной воны Ь .4С можно определить с'помощью построения; указанного на рис. 4.2; А — касательная в точке перегиба. Имеем /ь 1/Г, Г шах !ди/да! 4/2йчИ, т. е. условная пшрнна переходной зоны пропорциональна уст. Изучим теперь задачу Коши с той же разрывной начальной функцией для уравнения (4Л.З), которое описывает процесс теплопроводности в потоке, движущемся с постоянной скоростью а. Перейдем к системе координат, связанной с потоком, т. е; введем новую пространственную переменную х, по формуле х, х — ай Легко видеть, что уравнение (4Л.З) обратится в уравнение (4Л.4).
Таким 84. обраэом, решение имеет вид (4ЛЛ1) с ааменой а на г — аг. Геометрически это означает, что пространственные профили отличаются от рассмотренных выше (а 0) сдвигом на аг. 5 4.2. Основные аппроксимации 4.2Л. Явная четырехточечная схема. Аппроисимируя пространственные проиэводные центральными рааностными отношениями, а производную по» вЂ” односторонним раэностньгм отношением «вперед»» получим для уравнения (4Л.1-) явную схему и+1 э~~ В 1 а В эщ . "та "ж+1 ~т+ "т-1 Ь» — а +' „" ' +Ьи,",+)"„. (4.2.1) Ошибка аппроксимации для (4.2.1) есть Е 0(т)+0(й').
При исследовании устойчивости находим Х = 1 — 4 — эш — — '( — э1нюй+ Ьг. тг . еЬ .. ат 2 Ь Для условия Неймана (2.4.4) члены порядка т несущественны, поэтому при обычном (формальном) исследовании устойчивости слагаемое Ьт можно опустить, что мы сейчас и сделаем. Удобно ввести следующие обоэначения: г = зш 2, йп = —,, й» вЂ” — ь . (4.2.2) вЬ 2тг (а) г Будем нааывать й, и й, соответственно параболическим и гиперболическим числами Куранта.
Условие М М1; достаточное для устойчивости, запишем в виде 1 — (ХР > О. Последнее неравенство после простых преобрааований приводится к виду 4й г — 4й,',г' — 4й',л (1 — г) ~ )О, откуда й Яг — й, '(1 — г) )~ О. Левая часть последнего неравенства является линейной функцией г, поэтому достаточно проверить неравенство в крайних точках интервала иэменения г, т.
е. при О и г = 1. Полагая г = 1, получим йп)~ йа, т. е. й, ( 1, т < й»/(2т). (4.2.3) При з 0 имеем йи':ийг иля йг=Аъ откуда т -= 2Иаг. (4.2.4) Очевидно, что с формальной точки зрения условие (4.2.4) не является ограничительным, так как т- О. Однако в практических расчетах, выполняемых яри конечных значениях временного шага, нарушение условия (4.2.4) приводит к ощутимым неприятностям (яраятичеслая неустойчивость). Такую же оговорку следует сделать относительно возможного влияния опущенного нами по формальным соображениям члена Ьи. Если коэффициент Ь велик, то роль етого члена в устойчивости схемы может быть определяющей (см.
ниже 2 4.4). 4.2.2. Неявная четырехточечная схема. Перенесем сеточные аналоги производных по х н член Ьа на верхний и+1 и и+1 2ии+1 з +1 и+1 и+1 ы ги 1и+1 ш Г п$1 и и — и,и + Ьа"„+г + ~". (4.2.5) Погрешность аппроксимации есть 0(т) + 0(Ьг). Исследуя устойчивость, находим Л = 1 ~~1+ 4 — в1п — + 1 — з1п сгй — Ьт). гт ° г ггй 2 й При Ь = 0 имеем (Л! <1, позтому формальная устойчивость (т- О, Ь- О) имеет место при любых й, и й,. Схема (4.215) реализуется с помощью трехточечной прогенки, описанной в п. 2.2.5. 4.2.3. Неявная шеститочечная симметричная схема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
