Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(2.5.6), ограничивают величину временного шага. Эти ограничения могут быть чрезмерно жесткими и не соответствовать темпу изменения решения во времени. В случае одного пространственного переменного мы имели схему (2.4Л2) второго порядка точности относительно т и Ь и безусловно устойчивую. Двумерным аналогом ее является следующая схема: В+1 З а+1 а+1 а+1 а~ 1 — У~ 1 1 з~<.~ 1 2з~1 +Ы~ + 2 ь1 1 1 ",ь(-1 — 'тл +" л — 1 ( " +1л а,ь " -1л 2 Ьт 2 Ь1 1 1 зи 2з% + зФ + — "'"+' ' л ' + /"+,'~*. (2.5Л2~ 2 Точность второго порядка очевидна из'самой конструкним схемы. Это легко проверить непосредственно, пользуясь тейлоровским разложением и(1, л, р) относительно точки (Гтт1",л, р1).
Исследуя устойчивость, найдем т . 1е1Ь1 т . 1"'ззз 1 — 2 — з1з — — 2 — зш— Ь1 2 11 2 Л— 1 11 т в 11 (-)- 2 — з1а1 — -)- 2 — з1ав— „1 2 Ь1 2 4 в. м. наскоков а ар. Очевидно, что !Х! ~1 при любых значениях т. В случае одного пространственного переменного схему (2.4Л2) можно было реализовать с помощью трехточечной прогонки, которая является достаточно эффективным алгоритмом. Реализация двумерной схемы (2.5.12) представляет значительные трудности, обусловленные тем, что на верхнем временном слое зта схема связывает значения искомой функции в пяти соседних узлах на двумерном шаблоне. 2.5.3. Схема переменных направлений. Указанные трудности реализации не возникают, если пользоваться следующей двухпгаговой схемой: и+112 — иц ив+ив — 2цц+1~2 -'- ив+1~2 ц, — и, и,—,ив +и„, 0,52 1 ип 2цц + иц — "л+1 -,' "'" ' -!- ~" л, (2.5ЛЗ) ив+1 ив+112 ив+1!2 2ии+1!2, ив+112 "~в,в ц и,в цала+1,1 е~,в ! ц~л-1,1 + 0,52 52 1 и" +1 — 2и" +1 -(- и" +1 + *1+' '2 '2 ' + ~"+"'.
(2.5Л4) Согласно (2.5.13), (2.5Л4) переход от я к я+ 1 осуществляется за два полушага.. На первом этапе -уравнение' (2.5.13) для каждого фиксированного й решается с помощью трехточечной прогонки по индексу т, Аналогично . решается уравнение (2.5Л4). При исследовании устойчивости'представим множитель перехода Х-в виде Х ХЪ", где Х' соответствует первому полушагу, а Х" — второму.
Имеем ' . 2<"Ьв~( С . 2 21151'1 Х' = 1 — 2 — в(пв — ~ ! 1+ 2 — в(пв — ~ ьв 2 52 2 2 1 21 Ь '1 / 21 и '1-1 Х' = 1 — 2 — з)п' — ~ 1+ 2 — з(пв— Ьв 2 ) ! 52 2 1 2 Отсюда для Х после очевидного преобразования находим 112222 1 — 2 — вшв — 1 — 2 — вшв— 2,— в12 т 21~5 1+ 2 — 21п — 1+ 2 — 21ив— ьв 2 ав 2 1 2 н, следовательно, И ~ 1 при любом т, т. е. схема (2.5.13), (2.5Л4) безусловно устойчива.
Уравнения (2.5.13), (2.5.14) аппроксимируют (2.5Л) с погрешностями вида 0(т)+ 0(Ь~~)+ 0(Ь,'). -2.$4. Схема раацепления. Переход от и к и+ 1 реализуем с помощью двух «дробных» шагов, причем на первом шаге учтем в правой части (2.5.1) только производную по х, а на втором шаге — производную по р: и+Ми — ии и и+Пи — 2ии+Пз ' и'"~ Пз 1 (2.5Л51 и" ~г — и"+из ии+1 — 2ии+г+ и"+1 л ' + — ~" . (2.5.16~ г Ьз 2 Уравнение (2.5Л5) есть сеточная аппроксимация предельно аппзотропного процесса теплопередачн, прн котором распространение тепла происходит лишь в направлении оси х; аналогичным образом можно истолковать (2.5.16). Можно предполагать, что попеременное распространение тепла по направлениям осей х и у будет при-- ближать реальный (изотропный) процесс теплопроводности, описываемый уравнением (2.5Л) (расщепление по физическим процессам — см.
п. 2.2.4). Дробным шагам соответствуют следующие множители перехода: т -. иегаг~ г и 1 т .'~ езаз1 Х' = 1+ 4 — эш' — ), Х" = ~1-!- 4 — э(п'— Ьи 2 ) ' ' ~ Ьз 2 ) 1 Отсюда следует, что !),! = !Х'(!Хи ! < 1 при любом т, т. е. схема (2.5Л5), (2.5Л6) беэусловно устойчива.' Каждое иа уравнений (2,5Л5), (2.5.16) можно реализовать с помощью трехточечных прогонок по соответствующему направлению. э 2.6. Стационарные краевые задачя 2.6Л.
Модельная задача.-Запишем первую краевую задачу для уравнения Пуассона в области О, представляющей единичный квадрат (0<х<1, 0< у~1): + э — ~ (х, у) = О, (2.6Л) дй ду и (г =.О. (2.6.2) 4Ф 51 — = —.+ —, — у(х,у), дн д~и ди д$ дхз и')г = О. (2.6.5) (2.6.6) Существование предела при г- для решения Соответствующей нестационарной задачи обычно усматривается из физических соображений, учитывающих наличие или отсутствие диссипативных явлений.
При неудачном выборе нестационарного аналога предел при 2- д может не существовать. Так, например, если рассматривать уравнение (2.6.1) как уравнение равновесия мембраны, то не следует заменять его уравнением д'и/дИ=Ьи — ), 52 Здесь à — граница области 6. Построим сеточную аппрок- симацию задачи (2.6.1), (2.6.2). Введем сетку х„тй, у„= йЬ, й 1/М, т,й 0,1,2,...,М; и „=и(х„, у,), ~„~=~(х„, уз). Заменив вторые производные симметричными вторыми разностными отношениями, получим и,„+1 ь — 2итх+от-1 з и,„~+~ — 2ит з+ и,,ь-1 ь + ь — ~ л =- О, (2.6.3) т,й=1,2,...,М вЂ” 1; иод=имя=и л=и,м=О.
(2.6.4) Система (2.6.3), (2.6.4) имеет обычно весьма высокий по- рядок. Так, при М - 16' она содержит -16' неизвестных. Высокий порядок систем уравнений, возникающих при сеточной аппроксимации краевых задач для эллиптических уравнений, осложняет применение простых, (конечных) методов решения линейных систем уравненйй и побуж- дает использовать в этих целях итерационные методы. Некоторые из итерационных методов могут быть получе- ны с помощью принципа установления: решение стацио- нарной задачи находится как предел решения соответ- ствующей нестационарной задачи при неограниченном возрастании времени.
Исходя из тепловой интерпретации задачи (2.6.1), (2.6.2), естественно рассмотреть первую краевую задачу для соответствующего нестационарного уравнения тепло- проводности описывающим неустанавливающийся процесс вынущденных колебаний мембраны. Добавление в левую часть волнового уравнения члена ади/д2, а)О, соответствующего трению, придает нестационарной задаче диссипативный характер и обеспечивает существование предела при Г-и ап. 2.6.2. Явные методы. Аппроксимируя (2 6.5) с помощью простейшей явной схемы (2.5.6), получим 2 Ь~ ип 2ип 1 ип ~я+1 ~Л Ь' Иэ условия устойчивости (2.5.11) получаем т )22. Поскольку фиаический процесс перехода к стационарному распределению температуры совершается еа конечное время Т, можно ожидать, что Ф вЂ” число временных слоев, которые потребуется рассчитать, чтобы получить с заданной точностью стационарное решение, порядка й-п, т.
е..весьма резко зависит от Ь. Рассмотрим более подробно этот вопрос для одномерного аналога аадачи (26.3), (2.6.4): н„+1 — 2и +н 21=Ь'|, л2= 1,2, .. пМ вЂ” 1; (2.6.8) и2=0, им О, (2.6.9) которому соответствует нестационарная вадача пП+1 пП пП ппП пП вЂ” . (2.610) т 2 222 И2=0, ИМ=О, И~=1рп2. Введем в качестве новой'искомой функции вп= и„— и;,. Для гп получаем однородное уравнение пп+1 ап пп впп + пп — (2.6.И) ь2 Мы знаем, что (2.6.11) имеет специальные решения в" = 3,"ехр(122тй), Х = )2(в) = 1 — 4 — а(п2— ь2 2 ,при любом вещественном аначении с2. Эти решения, 53 однако, не удовлетворяют граничным условиям о, =О, си=О.
(2.6.12) Составим линейную комбинацию решений специального вида г", = С+ [Л (и))" ехр (кетй) + С [Л ( — в))" ехр ( — иотй). Очевидно, что о," удовлетворяет уравнению (2.6.11). Полагая т = О и учитывая, что Л(в) = Л( — в), находим С~+ С = О, т. е. с.точностью до несущественного постоянного множителя можно искать о" в вице о = [Л(ы))" з(п(ютй).рраничное условие для т =М выполняется, если з(па =О, .т. е. в =ва. ря, где р — целое . число. Легко видеть, что достаточно расснотреть значения р = 1, 2, ..., М вЂ” 1 (для других целых р получаются те 5 ' же решения и„, с точностью до несущественных постоянных множителей).
Можно некааать, что Функции о,(р) = з[п (рятй), р=1, 2, ..., М вЂ” 1, на сетке л тй, т= О, 1, 3, ..., образуют полную и ортогональную систему функций в (р — 1)-мерном пространстве сеточных функций, удовлетворяющих граничным условиям (2.6.12). Разлагая по атим функциям начальную функцию, получим представление м-з о" = ~'„,а„Лаз(п(рятй), Лг = 1 — 4 —,, з(п' а, аг=сопзФ. г-г Для того чтобы о,"„стремилось к нулю при п-, нужно, чтобы выполнялось условие стабилнаации [Лг[ (1, р =1,2,...,М вЂ” 1.
При проиаволь ной начальной опшбре о~ скорость стремления к нулю г определяется величиной Л ° =шах [Л,[, о" Л", п- . Естественно считать оптимальным такой выбор т, при котором число Л имеет наименьшее значение. 'При таком выборе т отклонение от предельного (стационарного) решения быстрее всего стремится к нулю при возрастании и. Обозначим 4 . з рва 4 . ва з = — зш — заа = — зш 42 я ю и 42 3 4 .
а(М вЂ” 1)ал = — з(п Ь' . 2 Па интервале (г „, г ) рассмотрим фушщию Мг) 1.— тг с параметром т. Как видно из рис. 2.10, при оптимальном выборе т имеем 1 — тг „-(1 — тг „), следовательно, 2 г= топт= 1 пап + еапае паап аппп 1 — т Лопт = +ею „1+ т' где й - г а.й . При-малых значениях й имеем тйа и'й д вш' — — Л 2 4 а опт 2 Оценим число итераций )т', необходимых для уменьшения начальной ошибки в 17е раз: к ) 1пе) ) 1пе) 2 т ) Лопт~ е~ Х ~1п й ~ „тйт)2 (2.6.13) Таким образом, требуемое число итераций действительно обратно пропорционально квадрату пространственного шага. Пусть, например, е 0,01, й= 0,01; тогда )т' - 10000. Полученная оценка- (2.6.13) без существенных изме- - ~та пений переносится на исходную а г.п г двумерную задачу (2.6.3), (2.6.4), к которой мы теперь возвращаемся.
Рве. 2.10. Укажем одну простую модификацию явной схемы, применение которой сокращает требуемые массивы памяти и в некоторых случаях несколько ускоряет сходимость (процесс Зайделя). Введем следующий порядок обхода узлов сетки: по столбцам (па = сопзФ) слева направо, а в каждом столбце снизу вверх.
Прн расчете очередного значения и,й используют- и+а ся уже вычисленные в соседних узлах значения решения, относящиеся к итерации с номером и + 1: по+1 по о,й пта — (2,6.14) йа й 55 2.6.3. Неявные методы. Применяя схему переменных направлений (2.513), (2.5.14) или схему расщепления (2.5.15), (2.5.16), можно существенно ускорить процесс установления' стационарного решения, так как обе ети схемы бееусловно устойчивы.
Хотя каждый временной шаг прн применении неявных схем реелиэуется сложнее, чем для явных схем (прогонки), воаможность выбирать временной шаг т, не считаясь с ограничительным условием устойчивости типа т- Й», повволяет ревко сократить число временных шагов и получить по сравнению с явными методами вначнтельный выигрьпп в затратах машинного времени. Этн преимущества неявных методов особенно наглядно проявляются на «подробных» сетках. На «грубых». сетках- (М - 20) и при единичных расчетах явные методы, более простые в реелиаации, успешно конкурируют с неявными. Глава 3 МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА $3Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
