Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Модельное уравнение переноса. Заменив в уравнении (2ЛЛ) производные диод» и ди/дх цептрально-разностными отношениями, получим сеточное уравнение це+1 цц-1 цц ц "+' -' О, (2.2.8) 2т + 2а для которого ошибка аппроксимации имеет второй порядок относительно т и Ь (схема «крест»; рис. 2.4). Уравнение (2.2.8) связывает значения искомой функции в узлах, относящихся к трем последовательным слоям с номерами осе-о Сс~'о и — $, и, и+ $.
Зто — трехслойное уравнение. Уравнение (2Л.4)— ( -4 в двухслойное. Рлс. 2.4. Интерполируя разпостное отношение (и +, — н„,И2й) по Ф на ("+'" = »- + 0,5т, построим двухслойную схему, для которой ошибка аппроксимации, как и для предыдущей схемы, есть 0(т') + 0(Ь'): ц — ц цц+» „ц+» цц — 0,5 "~+~ ~--*+0,5 ~-+~ ~"-» =О. 2Ь 2ц (2.2.9) Шаблон схемы (2.2.9) показан на рис. 2.5; он содержит шесть узловых точек. Интерполируя по» и х, построим и сц о с,~ о в, »с Ряс. 2.6 Рис. 2.6 схему с ошибкой аппроксимации 0(т')+0(й') на четырехточечном двухслойном шаблоне (рис. 2.6): ц+1 Ф цце" — й 05 .
-~.ОЬ ' . +'.~-.0,5~4- Ф т ) т й в+1 „в+1 +0,5 +'„~ = О. (2.2ЛО) 36 Если при каждом фиксированном л» получается уравнение, содержащее значение искомой функции только в одном узле «верхнеео» слоя (т. е, слоя с наибольшим номером и), то сеточная аппроксимация называется явной, в противном случае — неявной. Аппроксимации (2Л.4), (2.2.8) — явные, (2.2.9), (2.2ЛО) — неявные. При употреблении неявных аппроксимаций для определения неизвестных на «верхнем» слое приходится решать некоторую систему алвебраических уравнений.
Построим теперь для уравнения (2.1Л) явную двухслойную схему с ошибкой аппроксимации 0(т')+0(Ь*). Шаблон схемы иаображен на рис. 2.3. Сначала, заменяя ди/дх центрально-разностным отношением, а ди/дт — односторонним разностным отношением «вперед», получим схему с ошибкой аппроксимации 0(т)+ О(»»»): т ' 2Ь ' О. (2.2.И) При « = 0(Ы главный член ошибки аппроксимации для этого уравнения есть О,бтд»и/д(». Польауясь соотношением (2.1Л9), справедливым для решения уравнения (2ЛЛ), введем в (2.2.11) слагаемое, компенсирующее эту ошибку: и+» и и и ит ит+» ит-» и п а + 2Ь» (нт.р» — 2нт+ нт-») = О.
2Ь» (2.2Л2) Ошибка аппроксимации (2.2Л2) есть 0(т»)+0(Ь»). 2.2.3. Модельное уравнение теплопроводности. Обратимся к уравнению (2.1.2). Применяя для аппроксимации производных формулы (2.2Л) и (2.2.7), запишем явную двухслойную схему и»+1 ии ии 2ии + и — ' — О. (2.2ЛЗ) '» Ь' Главный член ошибки аппроксимации есть ъ ди . Ь Эи 2 д»» (2 д« Пользуясь интерполяцией по г, построим неявную схему с ошибкой аппроксимации 0(т') + ОЙ»): — — и" .~- "— 05 Ь' ии+» — 2ии»» + ии+» — О,б т+' т '" ' = О.
(2.2Л4) Ь» 2.2.4. Принцип расщепления. Идею этого важного принципа, открывающего широкие возможности для конструирования эффективных сеточных аппроксимаций, мы изложим на примере уравнения — = т —" — а — ", ч= сопел, а=сове«. (2.2Л5) д» д» де' Уравнение (2.2Л5) описывает одномерное распространение тепла, обусловленное двумя процессами — теплопроводностью (первое слагаемое в правой части) и конвективным переносом тепла (второе .слагаемое в правой части).
Запишем уравнения для этих процессов отдельно: — =т — "„ (2.2Л6) ди ди — = — а —. да ' (2.2Л7) 38 Переход от (= с" к с =Г+' = $" +т выполним за два «дробных» шага. На первом шаге в течение времени т действует уравнение (2.2.16), на втором шаге также в течение времени т действует уравнение (2.2.17).
Естественно ожидать, что совокупный эффект двух таких шагов близок к эффекту перехода от (" к ("+' по уравнению (2.2.15). Для нашего примера это предположение можно подтвердить с помощью решений спейиального вида: и = = ехр ((»П ехр Пых). Для уравнения' (2.2Л5) имеем =- — ты' — (ае»; для (2.2.16) (л -ты»;, для (2.2Л7) )«.= =-(аы. Изменение решения за время т для соответствующих уравнений описывается множителями =ехр( — тв'т — (авт), Х, = ехр( — ты»т), Х,=ехр( — (аыт). Очевидно, что л = Х Хг. Согласно принципу расщепления отдельные члены (или комплексы), входящие в уравнение, можно реализовать порознь на различных промежуточных этапах.
Зто, естественно, упрощает построенйе и исследование аппроксимирующих схем. Если уравнения «дробных» шагов описывают частные физические явления (как в нашем примере), то говорят о расщеплении по физическим процессам. 2.2.5. Реализация неявных схем. Прогонки. Как отмечалось в п. 2,2.2, применение неявных схем связано с необходимостью при расчете очередного временного слоя с граничными условиями '"о (о) д* + ()о Я и = Уо (() пРи х = О, «о(С) д +Р~(1)и= у (1) при =Х', (2.2.18) (2.2.19) ссо, го, То, ио го '(1 — заданные функции времени.
Введем сетку х = тЬ, Ь =Х/М, т=О, 1, 2, ..., М; г" =пу, т=Т////, п=О, 1, 2, ..., /о'. Уравнение (21.2) аппраксимируем согласно (2.2 14). Граничные условия приближенно заменим следующими:, о+о и+о ио + Ооо ио = уо+, ' (2.2.20) й о+о пн о+1 м м — 1 ( ~о+1 и+ъ о+1 (2 2 21) й Предположим, что на слое 1" пт значения и", т = = О, 1,2, ..., М, уже вычислены. Опишем способ расчета значений й+о, т = О, 1, 2,..., М.Для упрощения записей обозначим и = и и перепишем систему уравнений о.~-о (2.2.20), (2.2.14), (2.2.21) в виде а„и о+Ь„п,„+с„и +~=а, (2222) т=0,1 2 ... М; а,=О, с =О. 1 1 Здесь а,„= — т/Ь', Ь„, = — 1 + 2т/Ь', с = — т/Ь', о( =й, тФО, т~М; Ьо = Ро "Ь вЂ” ао", ' 'о = «о", «о = уо"'Ь, И+О о+1 %+1 о+1 ам= — а,, Ьм=~ц Ь вЂ” ао, о(м=у, Ь. Для решения системы уравнений (2.2.22) применим метод последовательного -исключения неиавестных.
Пред- решать систему уравнений, связывающих значения искомой функции в уалах шаблона, принадлежащих этому слою. Для решения подобных систем уравнений разработаны специальные методы. Рассмотрим третью краевую задачу . для уравнения теплопроводности (2.1,2): да = ' "„0<х< Х, 0<1< у. до дх и (О, х) = ор(х) положим, что 6,,Ф О. Тогда из первого уравнения системы (2.2.22) найдем соотношение и, й,мп,+(,н.
Подставив это выражение для и, в следующее уравнение, преобразуем его в соотношение и, й,ни,+(гп и т. д. С помощью индукции легко устанавливаются следующие формулы: и, = й;; пги~+, + 1~+»„ (2.2.23) с~ а' — аг) ч,~,— — ', ~,,~, '„, о.2.24) а.ь~ ~ + ь. ' а,.ь, „,+ь, 4=0,1,2,...,М. Решение системы осуществляется в два этапа. Сначала по формулам (2,2.24) последовательно вычисляются прогоночные коэффициенты й,+,и, (г+,н для 4 = 0, 1, 2, ... ..., М. При ( =М имеем с„О, й„+,о=О и (2.2.23) даст непосредственно значение и .
Па втором этапе с помощью прогоночных соотношений (2.2.23) последовательно определяем и для ( = М вЂ” 1, М вЂ” 2, ..., 1, О. Описанный' процесс называют прогонкой, точнее, трехточечной прогонкой. Прогонки для неявных схем вида (2.2.10), связывающих значения искомой функции в двух соседних узлах на верхнем слое, будут рассмотрены в гл.
3. й 2.3. Сходимость и устойчивость 2.3Л. Сходимость. Для приложений сеточных схем основным является вопрос о близости решения сеточной задачи к точному решению исходной задачи. Схема называется сходно(ейся, если при й- 0 сеточное решение стремится к точному: иа- и. Если н — па =0(йг), то говорят, что порядок сходимости равен р. а Докажем сходнмость схемы (2Л.4), (2.1.3) при тlй = й сопзс, й ~ 1.
Сеточная функция и = и- иа 'удовлетворяет пулевым начальным условиям и уравнению Р+' — аа а" — о" В3 1а В$1 а Ь (2.3Л) где а,",— ошибка аппроксимации'на точном решении. Из (2.3Л) следует о"+' = (1 — й) о" + йо", + тсг",„. (2.3.2) ОбозначнмЗо" ~ = зарево" ~, 1о5 = зпр5 о" ~, '(его = зпр $а"„1. Фа а т,а 40 и Учитывая (2.3.2), получаем ~ ге~ ~ ( (1 — Й) ~ ощ ~ + й ~ гт- « ~ + т ~ ал1 ~ (~ о ~ + т ~ а ~, следовательно, И~ л+«1 < ) Полагая' и= О, .1, 2, ..., ( — 1, находим ЬЧ! < (т!!а!!.
Так как Н.< Т, то Ы < ТО(Ы. Сходимость доказана, порядок сходимостн равен 1. 2.3.2. Пример аппроксимирующей, но ие сходящейси схемы. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (2.1Л) с условиями и(0, х) = ф(х), 0 < «< Т, — < х < . Левая часть уравнения (2Л.1) представляет собой полную производную по направлению с угловым коэффициентом «(х,««(( = 1: Нл ди, Нх дл' ди ди д« дФ ЫФ дх д« + дх ' Вследствие (2.1Л) имеем «(иЯ«0, т.
е. искомая функция сохраняет постоянное значение на каждой прямой х — г=сопзФ. Учитывая начальное условие, находим и =ф(х-г) (рис. 2.7). Сеточную краевую задачу запишем в виде л+« л ил эл + +'„ †' О, (2.3.3) о (2.3.4) Уравнение (2.3.3) отличается от (2Л.4) лишь характером аппроксимации производной ди/дх: вместо разности «назад> взята разность ввпе- Ф рвд». Оказывается, что это различив весьма существен- ,Ф но. Для (2Л.4) мытолькочто Ф доказали сходимость. Покажем, что для (2.3.3) сходи- мости, вообще говоря, нет. Т' Пусть «р(х) =0 при хР-0; ф(х) ~ 0 при х < О.
Тогда и(«, О) =«р( — г) )0 при г) О. С другой стороны, полагая в (2,3.3) и О, 1, 2,,; т О, 1, 2, ..., легко видим, л что и, = 0 при любых значениях п (см. рис. 2.7). Отсюда следует, что приближенное решение не сходится к точному. 2.3.3. Устойчивые схемы. Как видно ив приведенного примера, аппроксимирующая схема может не быть сходи- 41 щейся. Нужны некоторые дополнительные условия для того, чтобы из свойства аппроксимации следовала сходимость.
Пусть и есть решение исходной дифференциальной краевой задачи Л(и) = О, (2.3.5) аппроксимирующей сеточной краевой ил — решение задачи Вл(ил) = О. (2.3.6) Ошибка аппроксимации па точном решении определяется равенством Вл(и) = аь ' (2.3.7) Если схема (2.3.6) является аппроксимирующей, то ал- О при Ь- О. Сопоставляя (2.3.6) и (2.3.7), мы можем рассматривать и — и, как возмущение решения сеточной аадачи, вызванное малым возмущением ал в правой части (2.3.6). Для того чтобы из свойства аппроксимации, т. е. из стремленяя к нулю ал, следовала сходимость, т. е.
стремление к нулю.и — ил, достаточно дополнительно потребовать, чтобы схема была устойчивой относительно малых возмущений. Существенно, чтобы устойчивость была равномерной нри Ь вЂ” О,'т. е. не ухудшалась,при Ь вЂ” О. Вспомним; что запись (2.3.7) обозначает систему уравнений, коэффициенты которой вависят от Ь, а число уравнений неограниченно возрастает при Ь - О. Позтому чувствительность системы к малым возмущениям может воарастать неограниченно при.
Ь- О, что и приводит к отсутствию сходимости. 2.3.4. Оценка погрешности с 'помощью варьирования шагов сетки. Для задач, рассматриваемых в практической расчетной работе, теоретические оценки погрешности и — ил или не существуют, или, как правило, являются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
