Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Основное внимание здесь, как и в главе 3, уделено качественным свойствам схем. Эти свойства проявляются при резком пространственно-временном изменении решения. Важным примером подобных ситуаций служит рассмотренная в 12 етой главе модельная задача о стационарном тепловом пограничном слое. На этом примере сравниваются возможности различных схем, применяемых в дальнейшем в «ре- ' альных» аадачах. 8. Глава 5 посвящена'методам численного моделирования течений в пограничных слоях, струях и каналах. Теория пограничного слоя — один 'из важнейших рааделов современной гидрогазодинамики. Она нашла широкое распространение и применение для расчета трения и теплопередачн' на телах, движущихся в потоке жидкости и газа. Методы теории пограничного слоя испольауются также для аналиэа течений в следах за движущимися телами, течений в струях и течений в каналах.

В главе 5 сначала формулируются основные математические задачи, которые моделируют укааанпые течения, затем на примере простейшей системы уравнений теории пограничного слоя — уравнений Прандтля — строится рааностная схема и приводится алгоритм расчета. Далее этот метод обобщается и.дается описание схемы (получившей название основной) для интегрирования систем уравнений тийа пограничного слоя. Решение стационарных аадач пограничного слоя разностными методами получило в настоящее время широкое распространение. Методы, описанные в атой главе, окааались легко применимыми к рааличным задачам атого класса и достаточно эффективными с точки зрения скорости счета и загрузки оперативной памяти ЭВМ, что поаволяет применять их на машинах малой и средней мощности.

Основной разностный метод обобщается в этом рааделе на нестационарные задачи пограничного слоя. Нестационарные течения в пограничном слое определяются либо нестационарными условиями на стенке (например, вдув, отсос, нагрев, охлаждение), либо изменением по времени условий 'во внепгнем потоке (например, пульсации скорости и температуры). 9.

Заключительная глава 6 посвящена вопросам численного моделирования на основе уравнений Навье — ' Стокса, которые представляют сегодняшний (и в значительной степени аавтрашний) день вычислительной гидродинамики. За последние 20 лет интенсивного развития в этой области достигнуты определенные успехи; моделирование на основе уравнений Навье — Стокса стало самостоятель.ным направлением и аавоевало прочное место в механике жидкости и газа. Увеличение быстродействйя и памяти ЭВМ приведет, по-видимому, к еще большему прогрессу. Вместе с тем методические аспекты численного моделирования на основе' уравнеиий Навье — Стокса весьма сложны и мало разработаны.

При изучении вопросов устойчивости течений, переходных и турбулентных режимов создаются ситуации, где разнообразные вычислительные факторы тесно переплетаются с «физическим» поведением конечномерных моделей, в связи с чем большую роль иг рает рассмотрение различных модельных примеров и тестов, тщательная апробация схем, включая в отдельных случаях пряное. сопоставление с опытными данными. Ме.тодические трудности и разнообразие изучаемых режимов привели к созданию нескольких десятков различных типов разностных схем н их вариантов, в которых начинающему трудно ориентироваться. При изложении этого раздела в данной книге вначале рассмотрены некоторые вопросы, относящиеся к математическим моделям, и простейшие подходы к построению .

разностных схем для уравнений Навье — Стокса. Далее црбран путь детального описания лишь одного класса разностных схем, систематически применяющихся в вычислительной практике и сравнительно хорошо нами изученных. Этот класс схем, связанный с раздельным решением уравнений для вихря и функции тока, в последние годы существенно усовершенствован и является весьма удобным для определенной совокупности относительно «гладких» задач, хотя и никак не претендует на универсальность. Опыт показывает,что многие подходы к конструированию вычислительных алгоритмов оказываются конкурентоспособными при их надлежащей отработке.

10. В главах 5 и 6 значительное место занимают примеры расчетов. Они служат двум целям: с одной стороны, иллюстрировать качественно, а иногда и количественно, те или,иные свойства раэностных схем, а с другой стороны, - дать читателю наглядное представление о конкретных «реальных» задачах, которые могут быть решены с помощью рассмотренных в книге методов. Некоторые примеры имеют в настоящее время исторический характер '(они основаны на расчетах, выполненных на ЭВМ первого или второго поколений); другие подводят читателя к задачам, которые решаются на пределе возможностей современных ЭВМ.

И. Большое разнообразие методов и задач, решаемых на основе уравнений пограничного слоя и уравнений Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости, не могло быть охвачено в главах 5 и 6. В связи с этим авто- 14 ры сочли необходимым привести в дополнениях й и 2 обзоры работ по разностным методам решения уравнений типа пограничного слоя и уравнений Навье — Стокса. В современной практике изучения процессов тепло- и массообмена наметился переход от решения отдельных частных задач к постановке -численного моделирования целых классов задач в широком диапазоне определяющих параметров. Это повлекло за собой создание козшлексов или пакетов прикладных программ.

Основные принципы создания таких пакетов и применения их к задачам, изложенным в главах 5 и б, даны в дополнении 3. Глава 1 НАЧАЛЬНЫЕ СВКДКНИЯ О МКТОДЕ СКТОК. СЛУЧАЙ ОДНОГО НЕЗАВИСИМОГО ПЕРКМЕННОГО 3 1.1. Сеточное представление функций 1ЛЛ. Предварительные замечания, Для полного описания более или менее произвольной функции нужно задать бесконечный набор чисел (коэффициенты разложения в ряд Тейлора, коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам и косинусам, значения непрерывной функции во всех рациональных точках и т.

п.). Однако при решении задач с помощью ЭВМ имеют дело только с конечными совокупностями чисел, поэтому возникает необходимость приближенно охарактеризот(ать функцию конечным набором чисел. Согласно методу сетон функции описываются их значениями в конечном числе точек. Поставим в соответствие функции 1(х), определенной на отрезке (а, Ь), совокупность ее значений в узлах сетки хо х„..., х„: 1- ((о Ь,..., ( )' ~ь=~(х,), Й=1, 2,..., и, (1ЛЛ) Очевидно, что при отсутствии каких-либо дополнительных сведений о свойствах функции т(х) информация, заключенная в (1.1Л), никак не определяет поведения этой функции в промежутках между узлами сетки. Мы вскоре увидим, однако, что сеточное представление (1.1.1) становится достаточно информативным при соответствующих априорных предположениях о функции 1(х).

Функция, рассматриваемая на сетке, называется сеточной функцией. Указанным выше способом для всякой функции непрерывного аргумента можно построить соответствующую ей сеточную функцию — ее сеточное представление. Восполнением сеточной функции называется любая функция .непрерывного аргумента, принимающая на сетке те же значения, что и данная сеточная функция.

1Л.2. Полиномиальиая интерполяция. Один из наиболее употребительных способов для построения восполнения сеточных функций приводит к следующей задаче: построить полипом Р„,(х; Г) =Р,(х; х„..., х; (о ..., ~„) 16 степени и — 1, принимающий в узлах х„х,, ..., х„значения,(о Л, ..., ),. Докажем однозначную разрешимость этой задачи. Рассмотрим сначала частную задачу о построении пои) и) (о линома~р("(х) приуслозиях(рь =бы, т.е. (р( =1,(рь =(г прп )г чь Е Ее решение находится очевидным образом: йо)(х) = а,(х — х,)(х — х,)...

(х — х,,)(х — хи,)... (х — х„), где а, — постоянная, аначение которой определяется из ус- ловия (р")(х~) = 1. Следовательно, ()) ( )( )'''( (-)( +г) ' (* э) (*( * )(") *з) ( ) *(- )( ( )+)) ° (*( * ) Легко 'проверить, что решение общей задачи может быть еаписано в виде Р, (х; 1) = ~ч~~ (р(" (х) ~ (х() (1Л.2) (=г (ингерполяционный полинам Лазраижа). Докажем теперь единственность решения задачи полиномиальной интерполяции. Пустьрэ-,(х; ~) и Рэ )(х; Д вЂ”.

()) (з) кайпе-либо решения; тогда полипом ~э д —— Р„, — Р„т ()) (з) степени и — 1 обращается в нуль в и точнах х„х„..., х; следовательно, он тождественно равен нулю. Существуют 'различные представления решения задачи полнномиальной интерполяции. 'По доказанному выше все они тождественно совпадают, но в разных задачах оказывается удобнее использовать разные представления интерполяционного полинома. 1Л.З. Погрешность полииомиальной интерполяции.

Оценим разность ~(х) — Р,,(х; )), считая функцию г(х) достаточно гладкой. Для этой цели введем вспомогательную функцию и(х) =)(х) — Р„,(х; ~) — й(х — х,)... (х — х,), (1Л.З) . где )г — постоянная. Выберем значение )г так, чтобы в некоторой точке х =х, не совпадающей ни с одним иэузлов интерполяции х„х„..., х„, функция и(х) обратилась в нуль: и(х) = О, Функция и(х) имеет на (а, Ь) по крайней мере и+1 корней; согласно теореме Ролля ее производная и'(х) имеет не менее и корней; и" (х) имеет не менее п — 1 корней и т.

Характеристики

Список файлов книги