Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

д. Производная и(") (х) имеет на (а, Ы корень: 2 в. м. паснонов э др. 17 .иоо($) О. Дифференцируя п раз И.1.3) 'и учитывая; что .Р, — полипом степени и — 1, исчезающий после л-кратного дифференцирования, найдем Й = —,/ ($), $ = $(х). Отсюда для х=х имеем 1) =- и (х) = =~(х) — Р„,(х;/) — — ~(ЮЯ)(х — х )...

(х,' — х,',) Так как х — произвольная точка, отличная от узлов сетки, то х можно заменить иа х и записать окончательный результат в виде ~(х) — 'Рэ, (х; Д= — /~"~($) (х — х1)... (х — х„). (1Л.4) Формула И.1.4) позволяет оценить погрешность полиномиальной интерполяции, если известна оценка для производной ~оо(х): (~оо(х)! (М . 1Л.4. Кусочная интерполяция. Как видно из ИЛ.4), целесообразный выбор порядка интерполяции (т.

'е. числа узлов и) дслжен основываться на имеющихся сведениях ю существовании производных интерполируемой функции и оценках этих производных. Если производные высших порядков не существуют или очень велики, то нельзя ожидать повышения точности от увеличения числа узлов'сетки. Кроме того, можно показать, что при высоком порядке интерполяции результат весьма чувствителен к ошибкам данных, т. е. ~„~„..., г'„и х„х„..., х„, а также к .ошибкам округления.

Поэтому в практической работе редко пользуются полиномиальной интерполяцией высокого порядка (обычно л ~ 5 —: 7). При недостаточной гладкости функции ~(х) отрезок (а, Ы разбивают на частичные интервалы и на каждом из них применяют интерполяцию невысокого порядка.'Пусть, например, известно только, что ~(х) имеет ограниченную вторую производную )~ (х)) < Мз. В этих условиях представляется целесообразным ограничиться'линейной интерполяцией на частичных интервалах.

На равномерной сетке с шагом Ь погрешность линейной интерполяции, согласно формуле И.1.4), не превышает величины 1 1 — М, шах ! (х — х~) (х — х;+,) ! = — М,йз. к~(аска т $8 Таким образом, процесс кусочно-линейной интерполяции при Ь- О сходится со скоростью Ь', тогда как процесс: интерполяции «в целом» может и расходиться. В приложениях часто требуется, чтобы полиномы, построенные на частичных интервалах, стыковались не просто' непрерывно, но и гладко (т. е. требуется непрерывность производных до некоторого порядка).

При невысо'ких требованиях к гладкости стыковки подобные задачи. обычно удается решить непосредственно, не обращаясь к аппарату соответствующей математической теории (теория сплайнов). тЛ.б. Заключительные замечания. Для приближенного восстановления функции по ее значениям на сетке используют не только полиномы, но и другие системы функций.

Так, например, для представления периодических функций целесообразно применять тригонометрическую интерполяцию. Рационально выбранная интерполяция позволяет во многих случаях существенно сократить объем информации, используемой 'для описания функций в таблицах или в запоминающих устройствах ЭВМ. Например, иногда до"статочно хранить только те значения функций, по которым она может быть восстановлена в пределах требуемой точности-с помощью кусочно-линейной или кусочно-квадратичной интерполяции.

Для функций, вычисляемых с помощью, сложных алгоритмов, применение интерполяции дает и выигрыш во времени. В следующих параграфах будут рассмотрены другие, более глубокие применения сеточного представления функций. Они основаны на том, что при выполнении каких-либо действий, например дифференцирования или интегрирования, рассматриваемая функция заменяется тезь или иным восполнением ее сеточного представления, например, интерполяционным полиномом.

Близкие идеи используются также при решении функциональных уравнений, в частности, дифференциальных или интегральньгх.. $ з.2. Вычисление интегралов $.2Л. Основная идея численного интегрировании. Прк вычислении интеграла 1(а, Ь; 1) по интервалу (а, Ы от Функции 1(к) пользуются, как правило, кусочно-полино)чиальной интерполяцией: Интервал (а, Ы разбивают на несколько частичных интервалов. Интеграл по каждому частичному интервалу вычисляют, заменяя 1 приближение интерполяционным полиномом. 2~' 19 1.2.2..Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть х<+, =х»+Ь, х+,м=х»+0,5Ь (см. рис.

1.1). Применим интерполяцию нулевого порядка, т. е. заменим 1(х) на интервале (х„х,+,) постоянной. Принимая последовательно 'в качестве узла интерполяции х„х»+„х»+,и, получим три шриближенные формулы: а) формула прямоугольника с левой точкой: 1(х„х»+,, 1) = 1(х<Нх<+, — х,); (1.2 1) б) формула прямоугольника с правой точкой: 1(х„х<+,, '~) ~ г'(х<+<Нх»+< — х,); (1.2.2) в) формула прямоугольника с центральной точкой: 1(х», х»+,, '~) ~(х<+<» Нх<+, — х»). (1.2.2) Оценим погрешность приближенной формулы (1.21), предполагая существование и ограниченность первой производной функции 1(х): ~1'(х) ( < М,. Имеем, согласно формуле Лагранжа, г(х) = 1(х») + ~'($Нх — х<), $ = $(х), х< «$ «х, следовательно, ) 1(х», х<+»» 1) 1(х<)(х»+» — х;) ) « — М,Ь'.

Точно таким же'образом оценивается погрешность формулы прямоугольника с правой точкой. Оценивая погрешность формулы прямоугольника с центральной точкой, будем предполагать, что функция 1(х) имеет ограниченную вторую производную )1" (х)~»~ ~ М,. Пользуясь формулой Тейлора, найдем 1 (х) = 1(х<ч з и) + (х — х;+и,) 1' (х»+и,) + +з(~и»)~($) ~=и*), » ~«;~,; поэтому (1(х»,х;+,, Д вЂ” 1(х»+п,)(хсь — х;) [« « ~ (х+нз) (х — х<+ьи)»Ь + — Мз ~ (х — х»+ьм) <Ь Первое слагаемое справа, очевидно, равно нулю.

Вычислив 20 интеграл во втором слагаемом, найдем ( )< (х«х<~;< ~) — ~ (х<+ и,) (х<+, — х<) )» — Мзй . Таким образом, формула И.2.3) на порядок точнее формул И,2А), И.2.2), не отличаясь от них ко сложности. 1.2.3. Квадратурная формула трапе<иш. Воспользуемся интерполяцией первого порядка с узлами (х<, х<+,), т, е. заменим функцию )(х) на интервале (х„х<+,) линейной функцией.

(Геометрически это означает замену криволинейной фигуры АВСР прямолинейной трапецией): Имеем 1 (х<, х;+„, ~) ж — (< (х,) + + ~(х<+,)) (х<+< — х<). (1.2.4) з ' ~< з<,~ з<„з При оценке погрешности формулы И.2.4) будем предполагать существование и ограниченность второй производной функции ~(х): )~",(х)) (М,. Согласно И.1.4) имеем — ~ (К(х)) (х — х<) (х — х<+,) нх "<+< Г $ — Мз ) (х — х;) (х<+, — х) <)х = — Мз)<*. Порядок погрешности для формулы трапеции И.2.4) такой же, как и для формулы прямоугольника с центральной точкой И.2.3), однако коэффициент при М<<<' вдвое больше.

1.2.4. Квадратурная формула Симпсона.. Пусть частич- ' ная область состоит из двух интервалов длины )«х<+< =х<+Й, х,+,=х<+2Й. На интервале (хе х<+,) ааменим функцию <(х) квадратичной функцией — интерполяционным полиномом с узлами интерполяции (х<-, х<+„х<+<). Легко видеть, что при этом получается следующая Зт формула: Ь 1(хох;+,, г)ж — У(х~)+ 4/(х~+,)+/(х,+з)), (1,2,5) Можно показать, что для функций, имеющих ограниченную четвертую производную, погрешность формулы (1.2.5) есть величина порядка Ь', при грубой оценке'интеграла от остаточного члена квадратичной интерполяции -получается величина порядка Ь'.

1.2.5. Погрешность в малом и погрешность в целом. Пусть частичные интервалы имеют длину порядка Ь и погрешность вычисления интеграла для частичного интервала в =0(Ь'+'), т. е. погрешность в малом имеет порядок Ь+ 1. Так как число частичных интервалов порядка 1/Ь, то погрешность вычисления интеграла по всему интервалу Е = 0(Ь"), т. е. позрзшность в уелом имеет порядок Ь. Для формул прямоугольника с левой и правой точками Е= 0(Ь) — точность первого порядка; для формул трапеции и прямоугольника с центральной точкой Е= 0(Ь')— точность второго порядка; для.формулы Симпсона Е = 0(Ь') — точность четвертого.

порядка. 1.2.6. Устойчивость методов численного интегрирования. Суммируя выражения, соответствующие частичным интервалам, для каждого из рассмотренных выше методов получип формулу вида 1 (а, Ь; )) ж 1'(а, Ь; г) = Д с~Д, с=1 с~)0, '~ с~.— — Ь вЂ” а. 1=1 Последнее равенство вытекает из того, что для ) 1 приближенные формулы (1.2 1) — (1.2.5) являются точными. Численное интегрирование по формулам (1,2 1) — (1.2.5) устойчиво относительно возмущений функции )(х). Пусть возмущение 9 по абсолютной величине не превосходит 6,: ~61! ~ 6;. Тогда ! 6Х (а, Ь; Д ~ = (1 (а, Ь; 6Д ~ = ~ с'(61)~ з=' ~ сА = (Ь вЂ” а) бз <=1 4=1 Таким образом, малое возмущение интегрируемой функ ции вызывает малое возмущение результата численного интегрирования; соотношение между величинами 6~ и 61 не ухудшается с ростом и.

22 5 1,3. Вычисление производных 1.3,1. Постановка задачи; основные способы ее решепия. Пусть известны значения функции 1(х) в точках х„х„..., х„, близких к точке х (точка х может совпадать с одной из точек х„х„..., х ). Требуется найти приближенное значение производной 1'(хд Один из способов решения этой задачи основан на замене функции 1(х) ее нитерполяционным полиномом: И 4 — 1 — Ре,(х;Я. Их ох Таким же образом можно вычислять и проиаводные вывших порядков. Способ неопределенных яов44ициентов опирается на формулу Тейлора.

Характеристики

Список файлов книги