Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эти методы использовались в ряде прикладных научно-исследовательских организаций на протяжении длительного времени. Некоторые другие под1оды к численному моделированию процессов тепло- и массообмена освещены в обзорном порядке в дополнениях к книге. Здесь же кратко описаны комплексы программ, созданных для численного моделирования процессов тепло- и массообмена на основе уравнений пограничного слоя и на основе уравнений Навье— Стокса.
Главы 1 — 4 написаны Л. А. Чудовым, глава 5 и дополпение 1 — В, М. Пасконовым, глава 6 и дополнение 2— В. И.- Полежаевым; дополненйе 3 написано В. М. Пасконовым и В. И. Полежаевым совместно. Работы по созданию описанных в этой книге чнсленньп методов для решения задач тепло- и массообмеиа были предприняты более 20 лет назад в МГУ по инициативе академика Г. И. Петрова, которому авторы глубоко бла-годарны за многочисленные ценные советы и, в особенности, за 'указание актуальных областей для приложения численных методов. Весьма полезным для авторов было участие в семинарах и научных школах, руководимых академиками А.
А. Самарским и Н. Н. Яненко. Академикам В. С. Авдуевскому, О. М. Белоцерковскому, А. Ю. Ишлинскому и А. Н. Тихонову авторы признательны эа постоянное внимание и поддержку в их научно-исследовательской и педа-' гогической работе. Авторы глубоко благодарны своим сотрудникам и ученикам, принимавшим участие в разработке методов, изложенных в предлагаемой книге. Авторы пользуются случаем также выразить свою признательность У. Т. Нирумову и Г.
С. Рослякову„а также Т. Н. Галишниковой, чьи замечания в немалой степени способствовали улучшению этой книги. В. М. Пасленов, В, ИлПолежаев, Х А. Чудов ВВЕДЕНИЕ т. Математической моделью теплообмена и диффузии в случае неподвижной однородной среды является линейное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. Относительная простота этой модели позволила получить болыпое количество аналитических решений, охватывающих широкий круг типовых задач. Этот этап развития теории тепло- и массообмена отражен в известных монографиях, а также в распространенных учебных пособиях. С развитием вычислительной техники появилась возможность применять для решения задач о.теплообмене и диффузии в неподвижных однородных средах не только аналитические, но и численные методы..Отметим в этой связи, что фактическое вычисление аналитических решений с помощью ЭВМ иногда требует составления весьма сложных программ, реализация которых на ЭВМ может вызывать определенные технические трудности (например, вычисление различных специальных функций).
Поэтому «прямое» применение численных методов -в некоторых случаях может быть более целесообразным, чем аналитическнй подход. Методы численного решения задач теплопроводности и диффузии в неподвижных средах (включая и случай переменных свойств среды) в настоящее время хорошо рааработаны и довольно широко применяются; они освещены в ряде учебных пособий. Эти методы рассмотрены ниже лишь на модельном уровне; .вопросы, связанные с их применением в «реальных» задачах теплопроводности и диффузии, не затрагиваются. Эти же численные методы могут быть применены в тех часто встречающихся случаях, когда тепло- и массообмен не оказывает влияния на движение жидкой и газообразной сред, а само движение среды является известным.
В соответствии с отмеченными . в Предисловия направлениями развитии научно-технических применений процессов тепло- и маесообмена основное внимание в этой книге уделено численным методам, позволяющим рассчитывать взаимовлияющие процессы движения, теплопередачи и диффузии в жидкой.или газообразной среде. Теоретическое исследование таких явлений базируется на общепринятых моделях механики сплопгных сред и, в частности, на уравнениях Навье — Стокса, установленных еще в прошлом веке и хорошо проверенных в многочисленных экспериментах.
До сравнительно недавнего времени казавшиеся непреодолимыми математические трудности препятствовали сколько-нибудь общему теоретическому исследованию явлений тепло- и массообмена на основе уравнений Навье— Стокса и заставляли ограничиваться важными, но все же весьма частными случаями автомодельных течений в пограничных слоях, каналах, трубах и струях. Существенные сдвиги в этой области связаны с появлением ЭВМ и развитием численных методов решения уравнений пограничного слоя (и' близких к ним), а также уравнений Навье — Стокса.
3. Современные вычислительные методы и современные вычислительные машины позволяют уже сейчас выполнять детальные параметрические исследования математических моделей весьма сложных физических процессов, илц, как часто говорят, проводить так называемый вычислительный эксперимент. Вычислительный эксперимент в его наиболее раавитой форме слагается из следующих этапов: 1) выбор физической модели исследуемого явления; 2) выбор математической 'модели, в той или иной степени адекватной физической модели; 3) выбор или рааработка численного метода, реализующего выбранную математическую модель; 4) соадание соответствующей программы для.
ЭВМ; 5) проведение многовариантных расчетов и обработка их результатов; 6) сравнение реаультатов с данными «физического» (лабораторного или натурного) эксперимента и другими теоретическими исследованиями. В дальнейшем проводится уточнение физической (или математической) модели исследуемого процесса, усовершенствование численного метода и программы, и соответствующие этапы вычислительного эксперимента повторяются вновь. Здесь следует подчеркнуть, что общая концепция вычислительного эксперимента отнюдь не отвергает «физический» эксперимент, а только дополняет его. го 4. Переход от математической, модели того или иного процесса.
тепло- и массообмена к численному алгоритму, реализуемому с помощью ЭВМ, в настоящее время чаще всего совершается с помощью метода сеток. Сущность. метода сеток вкратце может быть описана следующим образом. В области изменения независимых переменных вводится сетка — дискретная совокупность узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки. Дифференциальные уравнения с соответствующими краевыми условиями заменяются приближенными сеточными уравнениями, связывающими значения искомых функций в узлах сетки. Так получается система алгебраических уравнений, которую уже можно' тем илп иным способом решить с помощью ЭВМ. Для построения сеточных уравнений, приближающих исходную краевую задачу, развиты различные.
подходы. На регулярных' сетках можно попросту заменить производные приближающими их конечно-разностными выражениями (метод конечных разностей). В последние годы интенсивно развивается другой вариант метода сеток,— так называемый метод конечных элементов. Метод конечных элементов удобно применять на нерегулярных' сетках, но реализация метода.конечных элементов на ЭВМ для задач тепло- и массообмена пока еще связана со значительными техническими, труд. ностями.
Наряду с методом сеток для дискрет)гзации задач текло- и-массообмена часто используется и так называемый -метод функциональных представлений. Согласно этому методу искомые функции представляются в виде конечных разложений по заданным функциям с неизвестными числовыми коэффициентами.
Алгебраические уравнения для этих числовых неизвестньгх получаются различными способами Ьгетод Галеркина, метод Галеркина — Петрова, метод коллокации и др.). В основном тексте этой книги рассматривается только метод сеток в его простейшей форме, т. е. метод конечных разностей. 5. Начальные сведения о методе сеток даны в первых двух главах книги. Сначала 1глава 1) рассматриваются основные применения метода сеток для функций одного переменного: интерполирование, численное интегрировакие и численное дифференцирование, численное решение .
обыкновенных дифференциальных уравнений. Читателю, уже знакомому с этим материалом в любом другом изложении, мы все же рекомендуем не пропускать первую главу, так как она написана как своего рода. введение в метод сеток и, кроме того, содержит некоторые сведения, часто используемые в дальнейшем. Вторая глава кратко излагает элементы метода сеток для уравнений с частными производными. На простейших модельных примерах вводятся основные понятия метода сеток (апкроксимация, сходнмость, устойчивость). Попутно развивается элементарная техника построения и исследования сеточных аппроксимаций, достаточная для перехода к более сложным, но все же модельным уравнениям глав 3, 4 и «реальным» уравнениям, которые рассматриваются в главах 5, 6.
6. Глава 3 содержит углубленный анализ качественных свойств разнастных схем для уравнения, моделирующего конвективный перенос тепла или массы. Сначала систематически рассматриваются основные схемы первого и второго порядков точности. Затем уста-. навливается соответствие фундаментальных качественных свойств дифференциального уравнения и схем первого порядка точности. Вводится важное понятие аппроксимационной вязкости, характеризующей сглаживающие свойства схем первого порядка точности. Далее на простых примерах демонстрируются глубокие различия качественных свойств' более точных схем второго порядка и исходного дифференциального уравнения. На гладких решениях схемы второго порядка точности позволяют существенно увеличить шаги сетки и тем самым сократить затраты машинного времени, однако при недостаточной гладкости решения могут получаться физически абсурдные результаты.
Глава заканчивается описанием различных приемов регуляризации, применяемых для подавления «патологических» свойств схем второго порядка точности. 7. В главе 4 вводятся и изучаются сеточные аппроксимации для модельного уравнения, описывающего совместный перенос тепла (массы) конвекцией и теплопроводностью (днффузией). Рассматриваются также эффекты, возникающие прн моделировании быстро устанавливающихся (околоравновесных) химических реакций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
