Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Уравнения; краевые задачи; свойства решений ЗЛЛ. Модельное уравнение конвективного переноса. Рассмотрим уравнение + + а (1, *) + = ~ (1, х). (8ЛЛ) Левая часть этого уравнения представляет собой полную производную по Ф от и(г, х) в направлении с угловым коэффициентом ох/й о(т, х): ди ди ди дх ди ди = — — + -*- — = — + а(с х) —. И дг ии Ж д8 дх' Поэтому уравнение (3.1Л) может быть записано в характеристической 4ормд —, = )(Ф,х), (3.1.2) — „, = а(г,х). (ЗЛ.З) Рвс. ЗЛ Уравнение (3.1.1) является математической моделью процесса одномерного переноса тепла (или вещества) средой, движущейся со скоростью а(г, х), при пренебрежении кондуктивной, теплопроводностью (или диффузней) и с учетом возможных источников или стоков, интенсивность которых задается функцией )(Ь х).
Важную роль в исследовании уравнения (ЗЛЛ) играют характеристики — интегральные кри- за вые обыкновенного дифференциального уравнения (ЗЛ.З). Характеристики являются линиями тока: характеристика х х(1; ге х,) изображает на плоскости (1, х) движение частицы несущей среды, имеющей в момент г координату х =х, (рис.
ЗЛ). Уравнение (ЗЛ.2), рассматриваемое на какой-то фиксированной характеристике, является обыкновенным дифференциальным уравнением с независимой переменной 8 и искомой функцией и (уравнение это не содержит иска» мой функции в' правой части и поэтому решается непосредственно). Решение этого уравнения определяется на.чальным условием и-и, при 8=«». В частном случае «чистого переноса», когда / ~ О, имеем на характеристиде ' и = сопз~.
При а = сонэ» уравнение (ЗЛ.З) очевидным образом интегрируется: х — а«=с сопз$. В этом случае характеристики образуют семейство параллельных прямых. ' ЗЛ.2. Задача Коши. Уравнение (ЗЛЛ) при дополнительных условиях — < х <+, 0 < г < Т, и(0, х) = ~р(х), (3.1.4) где <р(х) — заданная функция, описывает конвекгивный перенос в неограниченной среде при заданном начальном распределении температуры (или концентрации).
Значение искомой функции в любой точке (~э, хэ) определяется интегрированием уравнения (ЗЛ.2) вдоль характеристики Сэ, проходящей через точку (Р', х~). Начальное условие задается в соответствии с (3.1.4): и= = ~р(х«) при » - О, где х, — координата точки пересечевпя характеристики С* с прямой ~ =О (рис.
3.2). е - с т Рис. 3.3. Ряс. 3.2. В простейшем частном случае прн а=сонэ«, у О решение задачи Коши выписывается явно: и(г, х) = ~у(х — а«) (рис. 3.3). Отметйм еще для этого случая решение специального вида: и = ехр (с»(х — а8), где е»вЂ” произвольное вещественное число. Это решение описывает монохроматическую волну, бегущую вдоль оси х с постоянной скоростью а. Пространственным профилем или пространственным распределением решения иИ, х( для 3 Г, называется гра- 58 фнк функции и(го х) на плоскости (и, х).
В случае, когда а сопе1, ) О, пространственный профиль, перемещается вдоль оси х с постоянной скоростью а, 'не меняя свою форму. 3.1;3. Краевые задачи для-ограниченной области. Пусть 6 есть прямоугольник (0<1< Т, 0<х4Х). При Ф 0 задается начальное условие и(0, х) <р(х), где <р(х) — известная функция.
В отличие от задачи Коши, теперь нужно т также описать перенос тепла (массы) нз внешней среды на отрезок (О, Х), т. е. указать температуру (концентрацию) для частиц несущей тепло средь1 при входе их, в отрезок (О, Х). Это означает, что и(1, х) следует задавать в тех точках граничных лкний х = 0 и х Х, где характеристики входят ' в , Ряс.
3А область С (положительное направление на'характеристике соответствует возрастанию времени). Так, если а « О, то иИ, х) эадается слева, т. е. при х=-0 (рис. 3.4). Нетрудно указать корректные постановки краевых задач для более сложных случаев расположения характеристик, представленных на рис. 3.5 и 3.6. Ряс. 3.6. Рвс. 3.5. 3.1.4, Свойство позитивности, Легко убедиться в справедливости следующего утверждения: если в точке (г„х,), принадлежащей характеристике ' С, имеем и(го х,) «О и при 1~ 1, правая часть )'уравнения (3.1.1) на С неотрицательна, то и для.любой точки ((„х,), лежащей на С, при 1, > г, имеем и(г„х,) «О.
59 Действительно, так как вдоль характеристик)а С производная е(иЯ( неотрицательна, то на С функция и и(е) не убывает с ростом д Если во всей области 6, определенной неравенствами О к Г ( Т, О ( х < Х, правая часть уравнения (ЗЛЛ) неотрицательна, а также начальные и граничные значения неотрицательны, то искомая функция не принимает отрицательных значений в области С (свойство позитивности).
ЗЛ.5. Свойство монотонности. В этом пункте мы будем считать, что 7 О. Кроме того, ради простоты ограничимся случаем задачи Коши. Изменение пространственного профиля прн изменении Г можно получить с помощью простого геометрического построения. Пусть прн е = Г, некоторая частица несущей среды имеет координату х='х, и и(е, х) = и,. Будем 'следить за перемещением этой частицы. Если при е Ф, частица имеет координату х хь то и(зм х,) =и„так как 7 О.
Таким образом, точка (х„и,) профиля для г г, преобразуется в точку (х„и,) профиля для е = Ц, т. е.перемещается параллельно оси х посредством вектора смещения (х, †'х„ О) (рнс. 3.7). Очевидно, что при указанном преобразовании монотонный профиль переходит в монотонный (евойетво монотонности). Рис. 3.7 Рвс. 3.3. Если характеристики с ростом Ф сходятся (область АА'В'В на рис. 3.8), то пространственный профиль становится более крутым, так как точки на оси х, соответствующие различным значениям и, сближаются.
При расхождении характеристик пространственный профиль становится более пологим-(область СС(о'В на рис. 3.8). ЗЛ.6. Образование и распространение особенностей. Сначала рассмотрим простейший случай — задачу Коши при а сопз1 7' О. Имеем и = ~р(х — аг), ди/дх ~'(х — ат), диlд$ — а4р'(х — аг) и т. д. Ясно, что раз- 60 рывы самой функции и(г, х) илн каких-либо ее производ- ных (особенности) возникают из особенностей начального ' распределения и распространяются по характеристикам. Опираясь на основныв положения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, высказанное выше утверждение можно доказать и для более общего случэя— задачи Коши при а ° аИ, х), ~= 1((, х) в предположении бесконечной дифференцнруемости этих функций. Особенности решения могут, очевидно, возникать и из особенностей функций а(г, х), ~(г, х).
В краевых задачах для ограниченных областей причиной возникновения особенностей решения (при бесконечно-гладких коэффициентах уравнения) могут быть особенности не только начальной, но также и граничных функций. Укажем еще один, менее очевидный источник особенностей — несогласованность начальных и граничных условий. Рассмотрим в качестве примера следующую задачу". — + — = О, 0(х(+ оо; 0($(Т; и (О, х) = ср (х), и (г, 0) = ф (Ф).
Если ср(О) 'Ф 1р(0), то даже при непрерывных и сколь угодно гладких функциях фх), ~р(() решение будет иметь разрыв, распространяющийся из точки г О, х = 0 по характеристике х — а(=0 (рис. 3.9). ЗЛ.7. Численный метод характеристик. Следующая простая процедура позволяет приближенно определить р с. зло.
-рлс. 3.9. и(Г, х) вдоль характеристики, проходящей через точку М,(г„х,), если известно значение и(г„х,) и,. Проведем через М, прямую С,, имеющую характеристическое направление ИхЯг= а(г„х,) (рис. ЗЛО). На С, возьмем близкую к М, точку М,(~„х,). Неизвестное эна- 61 чение и, и(Г„х,) получим из разностного аналога уравнения Ни/й = /' в> — аа ," = / (г»,х«) о Таким же образом находим значение и в следующей точке и т. д. Приближенные значения искомой функции будут определены в вершинах ломаной М„М„М„..., аппроксимирующей характеристику.
Так как уравнения (3.1.2), (ЗЛ.З) заменены разностными с погрешностями первого порядка относительно шага по времени, то такова же и погрешность приближенного решения. С помощью стандартного приема пересчета легко строится аппроксимация второго порядка. На первом этапе укаеанным выше способом вычисляются предварительные величины, которые обозначаются х, йн На втором >тале («корректор») характеристические уравнения аппроксимируются более точно: Коли краевая задача поставлена правильно, т. е. кал«дая точка рассматриваемой области может быть соединена характеристикой с участком границы, несущим необходимую информацию, то численный метод характеристик позволяет приближенно определить решение по всей области С.
й 3.2; Явные схемы 3.2Л. «Ориентировакный уголок». В п. 2.4.4 для модельного уравнения (2Л.1) были исследованы на устойчи— вость схемы «явный левый уголок> (2.4.5) и «явный правый уголок» (2.4.6). Первая устойчива прн й т/Ь(1, вторая неустойчива при любом /«. Наоборот, для уравнения ди/д( — ди/дх = 0 аналог первой схемы всегда неустойчив, а схема, аналогичная второй, устойчива при й< 1. Используя зтн результаты, построим для уравнения (ЗЛ.1) схему, допускающую изменение знака коэффици- 62 ента а(д, х): " .~ "„"+' " =~"„,,"„(О. (З.а.1 ~ Главная часть ошибки аппроксимации для схемы (3.2Л ') такова: т ди й даи Е = — — — !а! — —. 2 даа дх Из рассмотрений, проведенных'для схемы (2.4.5), непосредственно'следует, что схема (3.2Лх) устойчива, если выполнено условие Куранта й = !а(т/Ь ( 1.
(3.2.2) В дальнейшем й всегда обозначает величину (а(т/Ь— число Куранта. Пусть для определенности а",„)~(). Согласно (3;2.1") имеем и"+' = — (1 — й") й, + й" и" а + тт". (3.2.3) Формула (3.2.3) допускает наглядное истолкование, выявляющее связь схемы (3.2Лх) с численными алгоритмами метода характеристик (риж ЗЛ1). Прове-' дем через узел (т-+', х ) прямую С с характеристическим угловым козффициентом с(х/М = а, точку пересечения прямых С и обозначим ((", $). Вследствие условия Куранта (3.2.2) точка зта расположена между узлами (а", х„,) и ((", х ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
