Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Обозначим йа ='(1 — й")и" + й"й„а. Легко видеть, что иа есть результат Рис. З.аа. линейной интерполяции между к~ а и н,", для ~о~~и (а', $). Представим- (3.2.3) в виде (й+' — йз)/т = ~". Левая часть последнего равенства аппраксимирует полную производную по а вдоль характеристики С. Таким образом, схему (3.2.1 ) можно рассматривать как аппроксимацию характеристического уравнения на заранее заданной сетке. Зто — пример сеточно-харантеристичесной схемы. 3.2.2. Схема Лакса. По аналогии со схемой (2.4.7 ) запишем уравнение ии+» — О 5/и + и и и (3.2.4) т 2й Исследуя устойчивость, снова придем к условию Куранта (3.2.2).
Главная часть ошибки аппроксимации есть т д и Й д и ай дги Я— (3.2.5) 2 д»» 2«ди 6 .ди»' Из (3.2.5) следует, что схема Лакса обладает свойством аппроксимации лишь при условии Ь*/т- О, ограничивающем временной шаг снизу. Она является примером условно аппроксимирующей илн негибкой схемы. При переменном а второе слагаемое в (3.2.5) может «жазаться значительным, если мал временной шаг, ограниченный сверху условием устойчивости т( Ь/шах )а!.
3.2.3. «Крест». По аналогии с (2.2.8) запишем трехслойную схему, имеющую аппроксимацию второго иа относптельно т и Ь: и+» и-» и и ииФ "а и иа+» ~щ-» и 2« + 25 поряд- (3.2.6) » Исследуя, как обычно, устойчивость, получаем для апре деления А квадратное уравнение Х, + 2(ЙЛ з1п с»Ь — 1 = О, Хи» =, — (Й зш «»Ь ~ У 1 — Й' зш' «»Ь. При Й) 1, Й сопз1 схема (3.2.6) неустойчива, так как для некоторых значений «»Ь один из корней Хи» по модулю больше единицы (например, при юЬ я/2 имеем )Ь»! = = Й+уй' — 1) Й) 1).
При Й ~ 1 оба корня по модулю равны единице. Действительно, Х, — Хи Х,Х» — )Ь»)* = . -1. Условия устойчивости для трехслойных схем касаются не только корней характеристического уравнения, но н способа задания значений искомой функции на первом временном слое а(т, х ). При определении этих значений с помощью большинства обычных (устойчнвых) двухслойных схем для устойчивости достаточно усиленного условия Куранта: Й~1. Удвоение (по сравнению, с двухслойными схемами) требуемых массивов памяти является очевидным недостатъом схемы типа «крест». Это обстоятельство может быть существенным при решении задач с большим числом не- 64 известных функций или с двумя и тремя пространственными переменными.
3.2.4. «Чехарда». Построим двухслойную двухшаговую схему, имеющую аппроксимацию второго порядка относительно т и Ь. Шаблон схемы состоит из четырех. основных (целых) и двух вспомогательных (полуцелых) узлов (рис. ЗЛ2). На первом. шаге используется аппроксимация типа схемы Лакса: ит.ад~в — 0,5(ит+ ит вд) и + а" + ~ ' '" — уиит (3.2.7) т-Д!В ' Дит-Д ( Ит) и и — и На втором шаге применяется схема типа «кресты ив+1 И ио~-д!в — ии ад~в ит ит о аддв ит+1/в — ит д/в оа д/в (3.2.8) Исследуя на устойчивость схему (3.2.7), (3.2;8), положим, как обычно,,~,О, а соцз$.
Исключив вспомога- и+1)д и+ д/1 тельные значения и +п„и мв, найдем ив+1 и и ии ив В ии 2ии т т + т+1 т-1 ит т+1 т+ т-1 т — д 2Ь 2 — 1 ~),)д = ~1 — 2йдздвд ~ ) -)- йдздввсой = ,2 ! = 1 — 4ддв (1 — яв) з(⫠†. 2 Схема устойчива при й ат 1. 3.2.5. Дополнительные сеточные граничные условии. Как указывалось в и. ЗЛ.2, значения искомой функции и((, х) задаются на тех частях границы расчетной области С, где характеристики входят в область С. Это по- д дд ~ т.у, зволяет, интегрируя уравнение (ЗЛ.2) по характеристн- Рис.
ЗЛ2. кам, определить ий, х) во всей области д . Характеристические схемы, в частности схема «ориентированный уголок», также передают ин- 5 В. М.цаовоиов и ис. 65 формацию вдоль характеристик от точек границы к внутренним точкам. Поэтому они позволяют рассчитать приближенное решение всюду, польэуясь только первоначально заданными граничными условиями.
Схемы с центрально-раэностной аппроксимацией' прои»водной по х (схема Лакса, «крест», «чехарда») нуждаются, вообще говоря, в дополнительных граничных условиях, не входящих в краевую эадачу. Пусть, например, 'а ) О, область 6 — прямоугольник (0<«< Т, 0<х<Х) и для аппроксимации уравнения (3.11) испольэуется схема «чехарда». Предположим, что на слое 1 1" эначения искомой функции иэвестны во всех уэлах х, 'т= О, 1, 2,,..., М, М=»1/Ь.
С помощью уравнений (3.2Х), (3.2З) значения й+' непосредственно находятся для всех л», кроме и» О, т М. Значение й«+'определяется граничным условием при х = О, которое включается в постановку краевой задачи, так как а~О. Для х Х граничное условие ие ставится, так как эдесь характеристики. выходят иэ области.
Решение для т М определяется с помощью той или иной сеточной аппроксимации уравнения (3.1.1) или его характеристической формы (3.1.2), (3.1.3). Так, например, мы можем записать уравнение (3.1.1) по схеме «уголок», используя точки И", хм,), (Г", х„), (»«+1, л»1), 'и найдем таким обраэоы ймм'. Дополнительные сеточные граничные условия являются следствием основного дифференциального урав- пения э 3.3. Неявные схемы З.ЗЛ. «Прямоуголышк».
Запишем аппроксимацию второго порядка точности на четырехточечном шаблоне, аналогичную схеме (2.2.10)'. < »+1 П й«1 й«1 ' (3.3.1) Как было покааано в п. 2.4.4, схема (3.3.1) безусловно устойчива. Рассмотрим краевую эадачу для области (0<1< Т, 0 < х < Х). Пусть Ь =. Х/М, где М вЂ” целое положительное число. Система уравнений для значений неиавестной функции на верхнем временном слое, порождаемая схемой (З,З 1), может быть записана в следующей краткой форме: (1 — й»,/2)и +(1+к2 +о,)и +,=й +)пи (3.3.2) т О, 1, 2, ..., М вЂ” 1.
' и«1/2 и+1/2 Здесь /гт+1/2 = ат~-1/гтй~ ут«1/2 Вычисляются по 1т+1/2 и известным значениямй„, й+1. Временные индексы в (3,3.2) опущены для упрощения записи. Пусть а ~ О. Тогда, в соответствии с и. 3.1.3, граничное условие задается на левой границе, т. е. для т = О; поэтому и, можно считать известным, Для т 1, 2, ..., М величины и„могут быта последовательно найдены из уравнений (3.3.2): ит+1 = тт~-1~/2 ит + гт«1/2 "+и К +1/2 (3 3 3) тт»1/2 1+/ Гт+1/2 = 1+у т«1/2 ' ~ т+1/2 Процесс последовательного вычисления и по формулам (3:3.3) 'называется прогонкой (точнее говоря, двухточечной прогонкой, в отличие от трехточечной прогонки, описанной в п.
2.2.3). Затронем коротко вопрос о вычислительной устойчивости атой прогонки. Из (3.3.3) следует; что ошибка б в значении и порождает в и +, ошибку д„+1/23 . Так как а >О, /2> О, то (д +1/2! <1. Поэтому в ходе прогонки вычислительные погрешности в худшем случае суммируются и, следовательно, при возрастании т не происходит быстрого (например, экспоненциального) нарастания вычислительных погрешностей. Если а(О, то граничное условие ставится на правой границе; устойчива прогонка от т+1 к т, т. е.
справа налево. Таким образом, направление устойчивой прогонки согласовано с направлением характеристик и расположенпем узлов, несущих граничное условие. В следующих пунктах етого параграфа при отсутствии специальных оговорок всегда предполагается, что а ) О;- 3.3.2. «Неявный левый у/голок»и С помощью трехточечного шаблона, показанного на рис. 3 13, построим схему й+1 — и и"+1 — и"+1 " ~- т †" )†='- = /'.
)2.2.4) Ошибка аппроксимации для (3.3.4) есть 0(т) + О(/2). 5* ьт Исследуя устойчивость, находим Х [1+ й — й ехр ( — 3вй))-'. Выражение, стоящее в квадратичных скобках, рассматривалось при исследовании схемы (2.4.6). Там было показано, что его модуль при любых й не меньше 1, поэто- ~З 7/) Й~с т) Га~бл~о Рис. 334. Рзс. ЗЛЗ. му )).! ~ 1. Схема (3.3.4) безусловно устойчива.
Устойчивая прогонка от ш= О к т-М описывается формулами вида (3.3.3); при этом 3.3.3. «Неявный правый уголок». Шаблон схемы показан на рис. 3.14. Имеем р ~ ~ ~ з ц ~ ~ а ~ ~ ~ г ~ ~ + Ошибка аппроксимации есть 0(т) + 0(о). Исследуя устойчивость, получаем Л- (1 — й+ йехр ((эй)) '. Пользуясь результатами и. 2.4.4, находим, что схема (3.3.5) устойчива при й>1 (обратите внимание на знак неравенства!). Прогоночные формулы аналогичны (3.3.3); при этом Дт+оз = (йт+оа 1)Яиц.пь Следовательно, прогонка устойчива при й~1.
При а(0 схема (3.3.5) соответствует (3.3.4). 3.3.4. Комбинированные акпрокснмации. В тех случаях, когда коэффициент а(г, х) по абсолютной величине изменяется в широких пределах или меняет знак, могут быть полезны комбинации из различных схем, например такая: 1) если 0(аит/Ь(1, то (3.21+); 2) если — 1(а",„т/Ь(0, то (3.2.1 ); 3) если 1(аит/Ь, то (3.3.4); 4) если аит/Ь( — 1, то (3.3.5). Реализация подобных комбинированных схем вызывает лишь несущественные технические трудности.
На очередном временном слое расчетная область делится на подобласти, в каждой иэ которых действует одна какая- либо схема. Искомая функция сначала определяется там, где применяются явные схемы. После этого в тех подобластях, где используются неявные схемы, проводятся соответствующие знаку а прогонки; при этом в качестве начальных служат значения, полученные на границах подобластей, гдв применяются явные схемы. 3.3.5. Схемы с центральными разностями. Рассмотренные выше неявные слепы (3.3.1), (3.3.4), (3.3.5) учитывают расположение характеристик или в самой конструкции схемы, или в способе реализации ее.
Приведем две схемы, не зависящие (по крайней мере формально) от 'направления характеристик: и+1 и ии1- и+1 + аи ' эь ' — — /", (3.3.6) и-~-1 и т ли+1 — и"+1 и и + 0 5 " + ' + +' ' /и+и' (3.3.7) 2ь 2Ь Ошибка аппроксимации для (3.3.6) есть 0(т)+ 0(Ь1), для (3.3.7) — 0(т')+ 0(Ь'). Легко проверить, что обв схемы безусловно устойчивы. Система уравнений на верхнем временном слое имеет трехдиагональную матрицу.
Если граничные значения искомой функции известны и слева, н справа, то можно использовать трехточечную прогонку, описанную в п. 2.2.5. Если какое-либо из граничных значений не задано, то следует ааписать дополнительное сеточное граничное условие (см. и. 3.2.5), воспользовавшись неявной схемой, шаблон которой содержит два узла на верхнем слое. 33.6. Сравнение явных и неявных схем. Условие КуРанта, обеспечивающее устойчивость явных схем, ограни- 69 чивает шаг по времени: т - я/а. Покажем, что сто ограничение является естественным с точки зрения требований точности для истинно несгауионарных решений, зависяп(их от г столь же с»«льне,-как и от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
