Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 6
Текст из файла (страница 6)
двухточечными схрмами. Пусть х„— один из узлов сетки, р — соответствующее иначе~а> ние приближенного решения. Обозначим через р ~х, х„, у„)' <Л1, точное решение уравнения (1.4 1), принимающее' при х = х значение ра ° Разность р~,х~+ы хв, рп ) ра+г на" (М (йы эывается ошибкой на шаге. Легко проверить,что для схем (1.4.4) — (1.4.8) ошибка на шаге множителем и отличается от ошибки аппроксимации. Для ошибки в целом, т. е. для разности точного и приближенного решений на всем интервале, можно доказать следующее порядковое соотношение: ! у — уь) ю(А)/Ь,.
где со(й) — характерная величина ошибки на шаге. *) Здесь и в дальнейшем звездочками «выделен материал„ который можно пропустить при первом чтении. Глава 2 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О.МЕТОДЕ СЕТОК. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 5 2Л. Основные понятия ..2Л. ЛЛ. Модельные уравнения и краевые задачи. В этой главе рассматриваются простейшие уравнения математической физики, в частности такие: (2.1Л) ди да — —:-=0 де дхз (2Л.2) да дза —., + —., = О. дх две (2.1.3 Уравнения (2ЛЛ) — (2.1.3) математически моделируют соответственно конвективный одномерный перенос тепла, нестационарное одномерное распространение тепла и стационарное двумерное распределение тепла.
Уравнения (2.1.1~), (2.1.2) являются вволюционнььми, уравнение (2Л.З) — неэволюционное. Для эволюционных уравнений характерно наличие выделенного независимого . переменного, играющего роль времени, а также корректность задач с начальными условиями (существование и единственность решения, непрерывная зависимость от данных задачи). Всюду в.дальнейшем в этой главе, кроме з 2.6, имеются в виду эволюционные уравнения. В математической физике при рассмотрении уравнений с частными производными. обычно требуется определить решение в какой-то области 6 по условиям, заданным на некоторых частях границы этой области (краевая задача). Простым примером является задача Каши для уравнения (2ЛЛ).
"найти решение и(г, 1) . в области ( — <х(+, т>0), удовлетворяющее начальному условию и(0, х) ~р(х), где ~р(х) — заданная функция. Другой пример — первая краевая задача для модельного уравнения теплопроводности (2Л.2). Здесь С есть прямоуголь- 30 Начальное условие и(0, г)) ~р(х), участвующее в .задаче Коши для уравнения (2.1.1), порождает сеточное качильиое условие иг = «р(п»й). (2Л.бг 31 ник (0<х<Х, 0<1< Т); начальное условие эадается.
в виде и(0, х) <р(х), граничные услоеиз — в виде и(г, 0) = У»(г), и(», Х) У»), где ~р(х), /о(э), /,(») — иввестные функции. 2Л.2. Сетка. Сеточные функции. Сеткой наэывается дискретная совокупность точек на плоскости (Г, х) — углое сетки. ое сетки. Важным частным случаем является раеномерная прямоугольная сетка П, х, ), »" г,+пЬг, х х,+ + п»Ьх, где Ь», Ьх — положительные числа, наэываемые. шагами сетки по» и х соответственно; и, и — полые числа (рис. 2Л). Совокупность узлов, соответствующих какому-либо фиксированному значению и, навываетсяслоем.
Для краткости часто обозначают ,и о Ьх=й, Ь»=т. Функция, заданная в узлах сетки,наэывает- 'о о о ся сеточной фуикцйей. г Сеточные функции часто рассматривают как элементы вектор' ного пространства, которое может быть нонечномерным или бесконечномерным. При этом ' р пользуются понятием кормы. Простым примером нормы сеточной функции является верхняя грань ее модуля: (!и1 = эпр!и!. 2.1.3, Идея метода сеток.
Согласно'методу сеток дифференциальное уравнение и краевые условия ваменяются сеточными уравнениями, связывающими аначения искомой функции в узлах сетки (сеточная краееая гадача или схема). Построим сеточное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2Л.1).
Воспольэуемся равномерной прямоугольной сеткой 1" пт, и О, 1, 2, ...; х = тй, и = О, ~1, ь2, ... Заменим проиэводную ди/д» в точке (пт, тй) раэностным отношением «впередь ( и+» ч1~ и — и //т, а производную ди/дх в той же точке— раэностным отношением «наэад» (й,„— и~ »)/и. Получим '" " ' =О. (2Л.4) Совокупность узлов сетки, используемых при построении сеточного уравнения, называется шаблоном. Для уравнения (2Л.4) шаблон показан на рис.
2.2. Уравнения (2.1.4), (2.1.5),вместе с описанием сетки составляют схему, приближающую задачу Коши для уравнения (2.1.1). * Приведем еще один, более сложный пример. Для урав- нения — — — — /((,х) = 0 ди ди дхз (2Л.6) рассматривается краевая задача с дополнительными условиями (2Л.7) (2Л.8) 0<х<Х, 0< 2<Т, и(0, х) = ср(х), — "," ~ + 7,(() = О, (2Л.9) (2Л.10) , В области (2Л.7) введем сетку х„тй, т О, 1, 2, ..., М„Ь Х/ЛХ; (о~Л.11) 1"=пт, п=О, 1, 2, ...,,М, т=Т/)т'. (2.1Л2) Уравнение (2Л.6) заменим сеточным на четырехточечном ~п 1,т~ оьт-о ос~~ Рис.
2.2. Ркс. 2.3. шаблоне (пт, (т — 1)Ы, (пт, тЫ, (пт, (т+1)й), ((и+ + 1)т, тЫ (рис. 2.3): ""+' ", + '"-' /"„- = О. (2'.~.13) Начальное условие (2.1.8) ааменяется очевидным образом: 1 и' = (тЬ) (2ЛЛ4) 22 Граничные условия (2.1.9), (2.1.10) интерпретируем' так: — '„«+ ог (пт) = О, (2.1Л5) "„" '+дз( )=О. (2.1.16) В данном случе схему, соответствующую задаче (2Л.6)— (2Л.1О), составляют сеточные соотношения (2.1.18)— (2Л.16). 2Л.4, Ошибка аппроксимации схемы на решении. Близость схемы н исходной краевой аадачи проще всего оценивается по величине нееяеки, получающейся при подстановке точного решения в уравнения и граничные условия сеточной краевой задачи.
Обозначим (2.1.17) всю совокупность уравнений, входящих в краевую аадачу, т. е. основное дифференциальное уравнение и краевые (начальные и граничные) условия. Запишем аналогично сеточную краевую задачу В,(и,) = О. , (2.1Л8) Для сокращения записей мы предполагаем здесь и в дальнейшем, что т т(Ь), т- О при Ь- О, так что сетка определяется одним параметром Ь. Ошибкой аппроксимации схемы (2Л.18) на точном решении задачи (2ЛЛ7) называется сеточная функция се» =" =Л,(и). Схема называется аппроксимируюи(ей на точном решении, если при Ь- О ошибка аппроксимации стремится к нулю: ем- О при Ь- О.
Если а»=О(Ь«), то говорят, что порядок аппроксимации равен р. Рассмотрим схему (2Л.4), (2Л.5). Предположим, что точное решение и = и(г, х) имеет непрерывные равномерно ограниченные производные второго порядка. Пусть, кроме того, т-ЬЬ, Ь сопэФ. Пользуясь формулой Тейлора, получим где» и «» означают, что вторые производные соответствуют некоторым точкам, близким к точке (пт, тЬ). Так как начальное условие переносится в схему без ошибки, то и,=О(й), порядок аппроксимации первый. В.
М. Пас»оиов и др. 33 х Рассмотрим также схему (2Л.13) — (2ЛЛ6). Подстав- ляя точное решение в левую часть (2.1.13) и применяя формулу Тейлора с начальной. точкой 1=пт, х=иЬ, 1 ди 1 зэки получим невязку -т — —,Ь' —.При т=гЬх, г сопэ$, 2 д1з 12 дх4 невязка уравнения (2.1ЛЗ) есть 0(Ь*). Невязка начально- го условия (2Л.14) равна нулю. Невязки граничных ус-. ловий (2.1.15), (2ЛЛ6), как легко видеть, являются величинами первого порядка относительно Ь. Таким об- разом, ошибка аппроксимации для (2ЛЛЗ) — (2Л.16) есть 0(Ь), т. е.
имеем аппроксимацию первого порядка. Заменив приближенные граничные условия (2.1.13), (2.1Л6) более точными (см. (1.3.5)), получим схему, име- ющую второй порядок аппроксимации: з + о, (пт) = О, 2Л.5. Ошибка аппроксимации иа классе функций. По- нятие ошибки аппроксимации вводят и другим способом. Полагают аь = Яь(и) — Л(и)„где и — произвольная до- статочно гладкая функция из некоторого функциональ- ного класса К Легко видеть, что в этом смысле схема (2Л.4), (2Л.5) также имеет первый 'порядок аппроксима- ции.
Покажем на примере того же уравнения (2Л.4), что порядок, аппроксимации на точном решении может быть выше порядка аппроксимации для класса функций, об- ладающих той же гладкостью, что и точное решение. Пусть Ь=1, т. е. т=Ь, Применяя формулу Тейлора, получим и+1 и и и им — ит и,и — и„, + ь /ди ди 1~ Э 1 ди ди1 =~ — + — ) + — 2~ — — — ~ +0(Ь). \д8 дх)щ ' ~ д1з дхз) и Ясли и(1, х) есть точное решение уравнения (2ЛЛ), то, дифференцируя (2.1.1), легко выводим соотношение д~и ди д~ дхз В этом случае и, = В,(и) = 0(Ч). Для произвольной функции и(С, з)) имеем иь = Лл(и) — Л(и) = 0(Ь), так как д'и/дд и д'и/дх' могут принимать различные значения.
й 2.2. Примеры сеточных аппроксимаций ,2.2Л.' Способ конечных разностей. При построении се' точного уравнения мы заменили частные производные ди/дС, ди/дх разностными отношениями. Замена отдельных частных производных, входящих в уравнение, сеточными выражениями, аппроксимирующими зти производные, представляет наиболее простой и часто употребляемый путь построения аппроксимирующих схем — способ конечных разностей.
Приведем наиболее часто применяемые сеточные аппроксимации для производных ди/дС, ди/дх: и(С+т,х) — и(С,х) ди т дзи дС 2 дС« и(С, +Ь) — и(С,. ) ди Ь дти Ь дх 2 дхт — разностные отношения «вперед»', и(С,х) — и(С вЂ” т,х) ди «д и т дС 2 дС« и(С,х) — и(С,х — Ь) ди Ь д»и Ь дх 2 дх« — — + ... (2.2.4) — разностные отношения «назад»; и(С ст,х) — и(С вЂ” т,х) ди «д и + (225) 2т дС 6 д«з и (С,х + Ь) — и (С, х †' Ь) ди Ь« д и 2Ь вЂ” + — — + ° дх '6 — с(ентрально-разностньсе отношения. Для аппроксимации второй производной дй/дх' обычно применяется симметричное разностное отношение второго порядка и (С, х+ Ь) — 2и (С, х) + и (С, х — Ь) д и Ь» дх«+ 12 дх« (2.2.7) Все эти формулы непосредственно получаются с помощью 3* 35 соответствующих тейлоровских разложений; многоточиями обозначены члены высших порядков.. 2.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
