Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Принимая в качестве исходной точку х, записывают для каждой точки хх разложение 1„= ~(х„)'= ~(х) + (хх — х)'~'(х) + + —,(хх — х)'~"'(х)+ ..., - Ь=1,2,... Далее составляют линейную комбинацию Коэффициенты а„подбирают таким' образом, чтобы разность 7 — 1' стремилась к нулю при стягивании к х узлов х„х„..., х„. 1.3.2. Простые аппроксимации первой производной. Пусть х, = х, + Ь. Заменяя ~(х) ее линейной интерполяцией, .получим Для того чтобы оценить погрешность, применим формулу Тейлора 1 (х,) = ~ (х) + (х — х) ~ (х) + †(х, — х)~1 (х) + О (Ьз), Г(хз) = 1(х) + (х, — х) ~ (х) + †(х — х)зу (х) + О (Ьз).
(Мы считаем при этом,что точка х удалена от точек х„х, 23 . на расстояние порядка Ь.) Отсюда ~(х,) — ~(х,) Ь(х) = хз (х — х) г — (х — х) = Г(х) + — ~" (х) ' ' + 0(Ь') = г .= ~'(х) + — ~з(х) (х, + х, — 2х)+ 0(Ь'). Следовательно, для х Ф 0,5 (х, + х,) погрешность формулы (1,3.1) есть 0(Ь); для центральной точки х = 0,5 (х,+ х,) имеем ~~'(х) — уь(х) ~ = 0(Ьг). Несколько измепив обозначения, запишем три часто употребляемые формулы: ~'(х) = „) ) + 0(Ь) (1.3.2) — односторонняя аппроксимация вперед; г" (х) = 1( ) ~„( ) + 0(Ь) (1.3,3) — односторонняя аппроксимация назад; У (х) = ' (х + ") ' ( ') + 0 (Ь') (1.3.4) — симметричная или центрально-ревностная аппроксимация. Пользуясь способом неопределенных коэффициентов, получим еще трехточечную одностороннюю аппроксимацию, имеющую второй порядок точности.
Имеем ~ (х + Ь) ) (х) + Ц (х) + — ~ (х) -,— 0 (Ьз), 1(х+ 2Ь) = ~ (х) + 2Ь/' (х) + 2Ьгу" (х) + 0 (Ьз). После вычитания из второй строки учетверенной первой найдем з, ( ) — Г (х+ 2Ь) + 41 (х+ Ь) — ЗГ (х) +0 (Ьг) 2Ь 1.3.3. Симметричная аппроксимация второй производной. Пусть х, =х — Ь, х,=х, х,=х+Ь. Имеем ьз ьз /(х+ Ь) — у(х)+Ьу (х)+ — у (х)+ — ~ (х) + 0(Ьз), ьг ьз ~(х — Ь) = т'(х) — Ы (х) + — р' (х) — — ~ (х) + 0(Ьз).
24 с Сложив эти равенства и выполнив другие очевидные преобразования, получим — +0(й») (1 3 6) ь' 1.3.4. Неустойчивость формул численного дифференцирования. Пусть сетка равномерная: х„йЬ; 7»=7(х»). Предположим, что 7» = ф, + бм где ф» — «правильная часть», а б„— «возмущение». Пользуясь односторонней аппроксимацией вперед н обозначая Р Ь = (фм- — фд~й 6» = (6»+ — М Ь 7»=Ум- — 6)lй получим ~» = ф» + 6» = ф'(х») + — ф"(х,) + 6,' ( О (Ь») Пусть, например, 6„= 6,( — 1)" (модель случайного возмущения, имеющего колебательный характер). Тогда б~ = ( — 1)" 26«/Ь.
(1.3.7) Из (1.3.7) следует, что с уменьшением шага сетки Ь влияние «помехи» растет. При чрезмерно малом Ь эффект возмущения может стать определяющим. С другой стороны, при недостаточно малом шаге сетки Ь может быть слишком велика'ошибка аппроксимации для «правильной части», равная по порядку величины 0,5М,Ь, где М, — оценка для )~"!. При оптимальном выборе Ь эффекты «помехн» н ошибка аппроксимации должны быть равны по порядку величины. Имеем 26«/Ь 0 5М»й Ь 2 ~б«/М» ! 6» ~ ~' )~М» ~ б«(1 3'8) Последнее из соотношений (1.3.8) характеризует предельную точность, которой можно достичь рациональным выбором Ь при заданном уровне «помех». 1.3.5.
Сглаживание. Для 'уменыпения действия возмущений при численном дифференцировании пользуются различными приемами регуляйизации. В качестве простого примера рассмотрим трехточечное сглаживание 7 = В.~, - 7. = (1 — ЗаЦ. + а~ -, + а7'„+„ ' а>0. Посмотрим, как действует оператор сглаживания В, на модельное возмущение б = 6»( — 1)': 6=В,6, б =(1 — 4а)б . Таким образом, сглаживание (при а ~ 0,5) уменьшает 25 амплитуду возмущения. С другой стороны, сглаживание «р(х): . влияет также на «правильную часть», т.
е. на функци ю «р ~ Ла«рю «р„= (1 — 2а) «р„+ а«р„» + сир„+, —— = «р«+ а ( р„+, — 2«р„+ «р„,) як «р„+ ай»«р„. Параметр-сглаживания а нужно выбрать так, чтобы ие исказить существенно «правнльную часть» «р(х) и вместе с тем подавить возмущение б(х). В практике такие задачи обычно. решаются с помощью опытных расчетов, в ко торых варьируются значения параметра регуляризации. и 1.4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1АЛ. П е р дварительные замечания.
Из у) ункциональных уравнений (т. е. уравненвй, в которых искомая величина есть функция) в практике чаще всего встречаютсн обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши для уравнения первого порядка у' — )(х, у) = О-' . (1„4Л) заключается в отыскании решения уравнения (1.4Л), удовлетворяющего начальному условию у(х,) =у,, (1.4.2) где х„у, — заданные величины.
Согласно методу сеток уравнения (1.4Л) замен ю точным няют с«- уравнением, связывающим значения искомой функции в узлах сетки, принадлежащей области определения искомой функции. При построении сеточных ав пений и иб р ближающих (1.ь1), естественно полвзоваться/ х урав формулами численного дифференцирования. В ль шем как п я. дальненравило, рассматривается равномерная сетка х« ='хо+ пЬ; у(х ) = у п =.
О 1 2„... (1.4.3) Сеточное уравнение, приближающее обыкновенное дифференциальное уравнение, дополненное соответствующими граничными условиями, называется схемой. Ошибкой апп с рок имании .схемы называют сеточную функцию, возникающую при подстановке в сеточное и граничные условия точного решения соотчное уравветствующей задачи для дифференциального уравнения. 26 1.4.2. П~юстейнша схемы для задачи Коши И.4.1), (1.4.2). На сетке (1.4.3) заменим у'(х„) согласно формуле И.3,2). Значение У отнесем к точке (л, у„). Получим схему (ы (ы ~ 1(.„УГ)=О.
(4.414) Верхний индекс указывает, что рассматриваются значения приближенного решения, отвечающего сетке с шагом. Ь: Отнесем теперь У к х„+„у +,, 'получим схему „(ы „(ы — 1(~ „У'„",)-О. (4,44) Оценим ошибку аппроксимации для И.4.4), пользуясь формулой Тейлора с начальной точкой х, и учитывая исходное уравнение И.4:1). В результате будем иметь " — У(хв, ув) = у' (х„) + —.у'(х„) + О(Ь')— — У (х„, у„) = — у" (лв) + О (Ь') = О (Ь).
Итак, ошибка аппроксимации схемы И.4.4) имеет первый порядок относительно Ь; такой же результат получаем для схемы И.4.5). Следовательно, схемы И.4.4) и И.4:5) первого порядка точности. Как было показано в п. 1.3.2, разностное отношение (у„, — у„)/Ь аппроксимирует с погрешностью О(Ьг) значенне у' в точке х„.)414 — — х. +0,5Ь. Пользуясь линейной интерполяцией, вносящей ошибку второго порядка по Ь, отнесем к этой же точке У(х, у). Получим схему второго порядка точности — 0,5 )У(х„, уй)) -(- У(л„+„у',"~,)( = О.
(1.4,6) Реализация схемы И.4.4) не вызывает каких-либо вопросов: у +, непосредственно вычисляется по у„ и (ы уз] У(тчу Ув ) Реализации схем И.4.5), И.4.6) сопРЯжена.с (л)т некоторыми техническими трудностями, поскольку соотношения И.4.5), И.4.6) представляют в общем случае нели(ы пенные уравнения относительно уз+~', эти уравнения ре.- шают с помощью того илн иного приближенного метода (простые итерации, метод Ньютона и т. п.).
Приведем теперь пример схемы второго порядка точности, не требующей решения нелинейных (в общем случае) 27 уравнений. Переход от и к и+ 1 выполняется за два шага. Сначала по схеме типа И.4.4) вычисляется промежуточное значение У< "+)пз д<(хо уо ) = О. (1.4.7) Значение у +, находится по формуле <л> ,<л> <л> уо+> Эо (л) — ~ (хо >д>о, уоо-д<о) = О. (1.4.8) Легко проверить, что ошибка аппроксимации для схемы И.4.7), И.4.8) есть 0(Ьд).
1.4.3. Двухточечные многошаговые схемы повышенной точности. Схемы, в которых для вычисления приближен'(о) ного значения у„од искомой функции в следующем узле используется только приближенное значение уо в пре<ю дыдущем узле, называются двухточгчиьдми. Если при <л> этом для вычисления у,+д находятся предварительно промежуточные значения, то схема называется многошаговой. Например, схема (1.4.7), И.4.8) является двухшаговой. В качестве примера многошаговой схемы приведем еще схему Рунге — Кутта четвертого порядка точности (индекс Ь опущен) "" — —,'.
(Ь, + ~~, ~И, + Ь,) = О, Ьо = ((х~, У„), Ьд = ~ (хо -,ь 0,5>д, У~ + 0,5ЬЬо)~ (1 4 9) Ьо — — 1(хо + 0,5Ь, уп + 0,5ЬЬ,), Ьо — — ((хо, „уо + ЬЬо). Имеется обширный класс формул вида И.4.9). Отметим, что методы Рунге — Кутта реализованы в стандартных подпрограммах и в настоящее время часто употребляются. 1.4;4.
Многоточечные формулы повышенной точности. Повышение точности может быть достигнуто также привлечением большего числа узлов. Примером могут служить формулы метода Адамса: т уо+ д го Ч'. — х ал7(хо.>д л, у„од л) =0; (1.4.10)' л=о здесь а„— некоторые постоянные. 28 По сравнению с методом Рунге — Кутта метод Адамса требует меньшего колнчества вычислительной работы (значения )(х, у) используются мйогократно!), чем и обт яснялось широкое применение метода Адамса в «домашинные» времена.
Недостатком метода Адамса является нестандартность алгоритма для расчета первых «опорных» значений ро ум ..., у, и осложнения, возникающие при изменении шага сетки. 1.4.5. Уравнения высших порядков. Системы уравнений.' Все вышеизложенное без каких-либо изменений переносится на 'случай системы уравнений первого порядка,. разрешенной относительно производных (система уравнений записывается в виде (1.4 1), но теперь у(х); )'(х, у)— векторные функции).
Уравнения и системы уравнений с высшими производными приводятся к системам первого порядка. Имеются специальные 'методы для решения уравнений высших порядков, например уравнений второго порядка.. 1.4.8*). Погрешность на шаге и погрешность в целом.. Вернемся ' к задаче Коши для уравнения (1.4.1); при этом ограничимся .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
