Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 8
Текст из файла (страница 8)
чрезмерно завышенными. На практике для оценки погрешности и — и, обычно пользуются сравнением приближенных решений, полученных при рааличных шагах ' сетки (метод Рунге). Часто имеются основания предполагать, что погрептность приближенного решения- может быть записана в следующем виде: .и — ил= Ь'ю+..., где й — некоторая функция, не зависящая от Ь; многоточие обозначает чле- 42 (2.3.8) Б частности, для схем второго порядка точности (р = 2), полагая, например, с-2, имеем и — иа ю (из — им)/3. ны более высокого порядка малости, которые в дальнейшем опускаются.
Заменив Ь на сь, где с — некоторый положительный множитель, получим и — им ~ с'йэш. Исключив неизвестнУю функцию ю, найдем иа — ыы и — иь ю с" — 1 $ 2А. Исследование устойчивости (2.4.И 2.4Л. Предварительные замечания. Строгое обоснованно устойчивости схем для тех уравнений, которые встречаются в современных прикладных исследованиях, как правило, провести пе удается.
Объясняется это-следующнмя причинами. Для болыпинства нелинейных уравнений механики сплошных сред, несмотря на многолетние усилия выдающихся математиков, пока еще не разработана достаточно полная математическая теория, в частности, не доказаны теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости его от данных задачи. Сеточные же аппроксимации обычно не менее сложны для исследования, чем соответствующие дифференциальные уравнения. Более того, при переходе от дифференциальных уравнений к сеточным аппроксимациям могут утрачиваться или маскироваться фундаментальнме свойства, лежащие в основе соответствующей математической теорйи, например свойство максимума для параболических и эллиптических уравнений.
Последняя по счету, но не по важности причина — недостаток времени,побуждающий отказываться от строгого исследования устойчивости даже в тех случаях, * когда. оно представляется возможным. Для исследования схем, аппроксимирующих эволюционные задачи, разработаны некоторые практичесйие приемы, позволяющие относительно легко отсеивать неустойчивые схемы. Зти приемы проверены большим опытом практических расчетов и обоснованы теоретически для некоторых достаточно общих модельных задач.
2.4.2. Гармонические возмущения (метод Фурье). Об-. ратимся снова к задаче Коши для уравнения (2ЛЛ). Зта задача имеет, решения специального вида: п(Ф, х) ехр (РХ) ехр Оав);. здесь е» вЂ” произвольное вещественное число. Подставляя (2.41) в рассматриваемое уравнение (2.1 1), находим [« =-[а. Решения вида (2.41) имеются у всех линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Для уравнения теплопроводности (2 1.2) находим решение вида (2.41) при р, — о»». Решения вида (2.4.1) имеют также линейные однородные сеточные уравнения с постоянными коэффициентами.
На сетке»" пт, х = тй имеем и" = Х" ехр (»о»тй), (2.4.2) где й-ехр(р,т). Подставим (2.4.2), например, в (21.4), получим Ьо+' охр («оюй) — Х" ехр (««ооЬ) + Х" ехр (««»тЬ) — Х" ехр [«»о (о» вЂ” () Ь[ + Ь Отсюда после сокращения 'на )»" ехр (иотй) следует Х вЂ” ' 1 [ — охр ( — »«»Ь) — + Ь и, наконец, Х (1 — й) + й ехр ( — иой), й т/й. (2.4.3) Решение вида (2.4.2) можно рассматривать как возмущение, вызванное соответствующим возмущением начальной функции. Ограниченность этих возмущений при й - О принимается в качестве главного практического критерия устойчивости схемы.
Прежде чем применять этот критерий, схему подвергают некоторым преобразованиям. Сеточное уравнение, аппроксимирующее основное дифференциальное уравнение, линеаризуется. Для этого рассматриваются малые возмущения решения, выаванные малым возмущением начальных данных. Переменные коэффициенты линеаризованного уравнения «замораживаются», т. е.
заменяются их значениями в произвольной точке области определения решения исходной задачи. Краевая задача заменяется соответствующей задачей Коши. 2.4;3. Условие Неймана. Необходимое и достаточное условие ограниченности гармонических возмущений (2.4.2) имеет следующий вид: [й[ < 1+ ст, с сопзс. (2.4.4) Действительно,' пусть выполнено (2.4.4). Имеем при 44 пт<Т: ))а! < (1+ ет)гп < ехр (еТ). Достаточность условия (2.4.4) доказана. Докажем необходимость.
Пусть при 1 пт<Т для некоторого Ь)1 имеем !Х"! -= Ь. Полагая пт = Т, находим !Х! <Ьоа ехр(т1пУТ). Положим Р— (1п 1 У Т. Рассматривая график функции у ехр(тР) на отрезке О<т<те где те — произвольное фиксированное положительное число (рис. 2.8), убеждаемся в существовании постоянной с такой, что ехр (тР) ц < 1+ от, т. е. условие (2.4.4) выполнено. мр т я> Рис. 2.8. Рис. 2.9. 2.4.4. Схемы для модельного уравнения переноса.
Исследуя устойчивость схем для уравнения (21.1), будем считать, что т ЙЬ, й= оопеФ. 1) еЯвпый левый уголокг1 иа+1 — и" и" — 1Р + „ ' = О. (2.4.5) Мы уже подучили выражение для Х .(ом. (2.4.8)). На комплексной плоскости точка, соответствующая Х, пробегает при иименении е1 окружность радиуса Й с центром в точке Х = 1 — й (рис. 2.9). Отсюда следует, что схема (2.4.5) устойчива при )с < 1 и неустойчива при й) 1. 2) «Явный правый уволоки: иа+1 ' иа иа иа + "~'„= О. (2.4.6) Имеем + „= О, Х =1+ й — йехр((сс)1). 1 — 1 ехр (ьвь) — 1 Мы опять получили окружность радиуса Й, но центр ее 48 находится в точке Л = 1+ Й; поэтому условие устойчивости не удовлетворяется ни при каком Й. Напомним, что именно схема (2.4.5) послужила примером аппроксимации беэ сходимости.
3) Явная четырехточечная схема — «тренога»:- и+» и ци цщ — цш + цщ,., — цщ , 2Ь Имеем Л=1 — йзшвй, Йр-1+Й'з(п'вй. Условие устойчивости (2.4.4) не выполнено ни при каком постоянном значении Й. 4) Схема Лекса: »2 + +' ' — О. (2.4.7) ч . 2Ь Имеем Л сов вй — »Йз(пвй, (ЛР соз»вй+й*знРвй= = 1 — (1 — йц) з(п* вй. Условие устойчивости (2.4.4) выполнено при Й ~ 1 и не выполнено при Й ) 1. 5) Неявная четырех точечная схема — «прямоуеолькик»: ци+» ци „и+1 ци 05 ' . ' 05 эт "+'+ 1 т и и .
ци+1 ци+1 + 0,5 +'„+ 0,5 +',' = О. (2.4 8) После несложных преобразований, переходя к тригонометрическим функциям половинного угла, находим Л =~1 — »Й(,— )(1+»ЙМ9 — ), (Л3 — 1. Условие устойчивости выполнено для любых й. 2.4.5. Схемы для модельного уравнения теплопроводностн.
Исследуя устойчивость схем для (21.2), полагаем т гй», г=сопзФ. 1) Явная четырехточечная схема: " ' — О. (2.4.9 Имеем Л = 1+ -2(«'" — 2+ е «ц ) = 1+ 2г(сов вй — 1).= ь 2 =1 — 4г з(п » О)ь Условие устойчивости выполнено при г( 1/2 и не выполнено, если г) 1/2. 2) Неявная четырехточечная схема: и+1 и и+1 2 и+1 + и+1 — ' — О.
(2.4ЛО) Имеем Л = ~1+ 4гз1п» вЂ” ") . (2.4Л1) Очевидно, что условие устойчивости выполнено при любом г, 3) Неявная шеститочечная схема второго порядка точности: и +1 — и ) ии 2ии и и+1 2 и"11 и+1 ) и + — 2и,„+и и + — 2и,„+и„, 1 — ~ =О. Ь. ь~ (2.4Л2) Имеем ' Х = (1 — 2г зйл — ) ~1+ 2г з1в — ) » вь'17 2 гь 2 )( 2) 'Схема (2.4Л2) устойчива при любом значении г. 2.4.6. Дополнительные замечания. Для неустойчивых схем условие Неймана (2.4.4) обычно нарушается в области высоких частот (а 1//»). Покажем на примере схемы «явный правый уголок» (2.4.6); каким образом в счете проявляется зта «высокочастотная неустойчивость». 'Полагая «с/« = и, получим Х-1+ 2/«.' Пусть, например, /« = 1/2; тогда 2. 2. Соответствующее гармоническое возмущение имеет види" = е 2" ( — 1), где з — начальная амплитуда. По пространственной переменной зто возмущение имеет осциллирующий характер: при переходе от гл к л»+ 1 меняется знак.
При переходе на'следующий временной слой амплитуда возмущения увеличивается в два раза, т. е. за один шаг по времени возмущение переходит в следующий двоичный разряд. Бели источником возмущения являются только ошибки округления, то через несколько десятков слоев порожденные ошибками округления высокочастотные' осцилляции достигнут старших разрядов и неузнаваемо исказят решение. 47 $2.5. Эволюционные еадачи с двумя пространственными переменными 2.5.1. Модельная еадача.
Явная схема. Рассмотрим уравнение, которое описывает нестационарное распределение тепла в теплонеолированной плоской пластине (при соответствующем выборе невавнсимых переменных): — = — + — + ~($,х,у). (2.5.1) дФ даа ддт Для уравнения (2.5 1) в области 0<с<+, 0<хала, 0<у<5 (2.5.2) поставим первую краевую эадачу и(0; х, у) = ~у,(х, у), (2.5.3) и(т, О, у) и(т, а, у) и(д, х, 0) и(д, х, Ь) О. (2.5.4) Введем равномерную прямоугольную сетку -й" пт, п 012,...; х =тЬ„Ь, а/М, т О 1,,М; Обовначим и" ь — — и(д",х~,уь), 1" ь — — 1(С",х Уь). (2.5.5) Легко видеть, что главная часть опгнбки аппроксимации для (2.56) есть В= 0(т)+ 0(Ь~1)+ 0(Ьа~).
Исследуи устойчивость, положим, как обычно,.~~О и рассмотрим, по аналогии с одномерным случаем, воамущения специального виды й ь = )е ехр ((а1тЬ ) ехр (исеЬЬ ), (2.5.7) где ео в, — проиэвольные вещественные числа. Подставив 48 Уравнение (2.51) на сетке (2.5.5) аппраксимируем с помощью явной схемы, построенной по аналогии с одномерной явной схемой (2.2.13), следующим обравом: ат,, — ид~ ь ыщ,, ь — ит ь+ ат-иь ч ьй 1 + "'"+',' л ' + Дл. (2.5.6) ' (2.5.7) в (2.5.6) при /=О, найдем 1 'О1Ь1 т . 1 М1"1 Л = 1 — 4 — з1п' — — 4 — з(п' —.
(2.5.8) В1 2 Ь1 2 1 2 Условие Неймана В~ < 1+ ст для'устойчивости гармонических возмущений, полученное нами в п. 2.4.3, как легко видеть из проведенных там рассуждений, не зависит от числа пространственных переменных. Предполагая, что. шаги сетки т, Ь„Ь, связащл соотношениями т/Ь', = г, = сопз1, т/Ь', = г, = сопз1, (2.5.9). нз условия Неймана найдем г,+г1< 1/2. (2,5ЛО) В частном случае квадратной сетки Ь, Ь,=Ь имеем т/Ь"; < 1/4. (2.5.11)' 2.5.2. Неявная схема второго порядка точности. Условия (2.5.9), (2.5.10), обеспечивающие устойчивость схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
