Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Рассмотрим решение и — фх — а«) для уравнения (ЗЛЛ) при /='О, а соне«, а)0. Для схем «явный уголок» и «нея(»ный левый уголок» главная часть ошибки аппроксимации есть сумма двух слагаемых Е» и Ет: Еь= ат 2 ч = — ~р'. При ' оптимальном соотношении шагов должно быть Е.-Е» (иначе один из шагов можно было бы увеличить), откуда следует )«ат/Ь - 1. ' Для ивоаистационврмых решений, слабо вависящих от времени, условие Куранта может быть чреэмерно жестким с точки врения требований точности. Рассмотрим предельный случай стационарного решения и и(х) для уравневия (3.1.1) при а — соре», / /(х). Ошибка аппроксимации связана только с,пространственным шагом.
Требования точности временной шаг никак не ограничивают, 'однако при применении явных схем приходится полагать'т - Ыа по требованиям устойчивости. При расчете кваэистационарных решений целесообравно применять неявные схемы. На истинно нестационарных решениях вовможность несколько увеличить шаг по времени обычно не окупает дополнительных издержек, свяванных с реализацией неявных схем. 5 3.4. Качественные свойства схем первого порядка точности 3,4Л. Свойство позитивности. Схемы первого порядка точности (3.2.1), (3.2.4), (3.3.4), (3.3.5), как и аппроксимируемое ими уравнение (3.1.1), обладают свойством позитивности: при неотрицательной правой части, неотрицательных граничных и начальных значениях искомая функция также неотрицательна (см.
п. ЗЛ.4). Докажем это утверждение для случая, когда область (' есть прямоугольник (0<Ф(Т, 0<.в<Х). Раврешим (3.2.1+) относительно в ; получим »+к вщ — — (1 — /«щ) мт + /«акт т + т/щ, (3.4.1) Согласно условию устойчивости й„",(1. Ив (3.4.1) иеной+1 средственно следует, что и ~)0 для в«от 1 до М, если 70 ив)0 для всех /и. Остается отметить, что й«+')О по предположению.
Несколько сложнее проводится доказательство для неявных схем (3.3.4) и (3.3.5). Из (3.3.4) находим 1 + /Ю»~ 1 + /0 1 + / т =1,2,...,М., Предполагая, что и" )0 и пользуясь тем, что й»+'.)О, нз (3.4.2) находим цоследовательно и,"+') О, й+' в 0 и т.
д. Для схемы (3.3.5) имеем »+». / 1 ) и-»» 1» т и+,'= 1 — — ~и + — и + — / ь» /» Щ1 ~а ~а 3» т=1,2,...,М, и рассуждаем таким же образом. При этом учитываем, что /«" ) 1 согласно условию устойчивости схемы (3.3.5). Обратимся к схеме Лаков (3.2.4). Находим + /«"') и» 1+ О'5(1 /«"'/и"'+' + т/"' ' 3 4 3 т=1,2,...,М вЂ” 1. Пустьй„",» 1. Предположим, чтои,"„)О,т О, 1, ..., М. Из (3.4.3) следует, что й"')О длн всех т, кроме т=О и т М. По предположению и» » )О. Значение им сле- Я.~. » ' 73+1 дует определить с помо»цью дополнительного сеточного граничного условия (см.'п. 3.2.5); если оно позитивно (например, схема «уголок»), то йм+«) О.
Свойство позитивности является естественным и очевидным для дифференциального уравнения (3.1 1). Что касается'.сеточных аппроксимаций, то позитивными могут быть только схемы первого порядка точности (теоРема Годунова). Примеры нару/пения позитивности для некоторых схем второго порядка точности будут приведены в $3,5.
3.4.2. Свойство монотонности. Свойством сохранения монотонностй сеточного пространственного профиля при переходе от и к п+ 1, как и свойством позитивности, обладают только схемы первого порядка точности. Особенно просто свойство монотонности доказывается для схемы «явный уголок» (3.2.1). Как было отмечено в п.'3.21, при 71 Таблица ЗД М а,вя о,ек оля 0 0,80 О,ЗХ 0,82 0,59 0,87 0,8( 0,94 0,95 0,96 0,5 0,9 Из данных таблицы следует, что для схемы (3.21) амплитуды гармонических по х колебаний со временем уменьшаются; при атом высокочастотные колебания диссипируют быстрее низкочастотных, что и приводит к сглаживанию решения.
72 переходе от п к и+ 1 эта схема реализует линейноеэинтерполирование пространственного профиля, а также его сдвиг по пространственной переменной. Обе эти операции сохраняют монотонность. Примеры, показывающие, что для схем второго порядка точности свойство монотонности может не выполняться, будут приведены в 4 3.5. 3.4.3. Диссипативные свойства.
Как отмечалось в п. 3.1.6, особенности, порождаемые начальными и граничными функциями, переносятся вдоль характеристик. В случае «чистого переноса», т. е. при 7' О, ивменение пространственного профиля решения вызывается только сближением или расхождением характеристик. Схемы (3.2.1), (3.2.4), (3.3.4), (3.3.5) обладают собственными сглаживающими (диссипативными) свойствами. Так, например, начальный разрыв превращается в размытую волну — переходную зону, ширина которой со временем растет (если этому не препятствует сближение характеристик).
На эвристическом уровне диссипативные свойства схем могут быть изучены при 7'= О, а сопз1, а) О с помощью решений специального вида: и ехр ( — (аю$) ехр (иох). Для дифференциального уравнения (3.1.1) множитель перехода, характеризующий изменение решения за один временной шаг, есть Л ехр( — (ао»т). Для схемы «явный уголок» (3.2.1) множитель перехода есть Л» (1 — й) + + й ехр ( — их), сс = о»)». Сравним !Л»! и (Л! = 1. В табл. 3.1 приведены значения (Л»! для двух значений й и несколь' ких значений «в.
3,4.4. Аппроисимациенная вязкость. Дисснпативные свойства схем первого порядка точности можно характеризовать также с помощью модельных дифференциальных уравнений параболического типа. Рассмотрим схему «явный уголок» (3.2Л). Полоншм ради простоты / О, а сопэ1, а > О. Пусть й < 1 в соответствии с условием устойчивости. Выпишем главную часть'погрешности аппроксимации: т Уи аь д'и Я— 2 д»» 2 де»' (3.4.4) Выразив д'и/б«* через д'и/дх' с помощью уравнения (3.1Л) с учетом принятых упрощающих предположений, получим Преобразуем (3.4.4) к виду Таким образом, схема (3.2Л), первоначально построенная для уравнения первого порядка (ЗЛЛ), аппраксимирует также (и притом с большей точностью) следующее дифференциальное уравнение второго порядка с малым коэффициентом при старшей производной: ди ди да — -(- а — — т — =О, д«д«дх» (3.4.5) (3.4.6) т = а)»(1 — й)72 (3.4.8) 73 ч ай(й - 1)/2: Уравнение (3.4.5) с коэффициентом ч, определяемым по (3.4.6), называется первым дифференциальным приближением (ПДП) схемы (3.2Л).
Легко подсчитать, что для схемы «неявный левый уголок» (3.3.4) ПДП.также имеет вид (3.4.5); при этом ч ай(1+ й)/2. (3.4.7) Для схемы «неявный правый уголок» (3.3.5) получаем ПДП вида (3.4.5), где Условие устойчивости схемы Ь~ 1 обеспечивает неотрицательность т. Для схемы Лаков (3.2.4) находим ПДП вида (3.4.5) при т = аЬИ вЂ” Ь')П2Ь). Для всех рассмотренных вьппе схем ПДП является параболическим уравнением. Его диссипативные свойства связаны с членом тд'и'/дх', это слагаемое нааывают аппроксимационной или ох«мной вязкостью.
Мы будем также пользоваться термином вязкость аппроксимации. Предполагая, что дисснпативные свойства схемы моделируются первым дифференциальным приближением, можно высказывать предположительные суждения о свойствах схемы на основании свойств ее апнрокснмационной вязкости. Так, для схемы «явный уголок» из (3.4.'6) следует, что диссипативные эффектЫ должны сильнее проявляться при малых значениях числа Куранта Ь, Сравнив (3.4.7) с (3.4.6) и (3.4.8), можно заключить, что при одном и том же значении Ь схема чнеявный левый. уголок» обладает более сильным диссипативным действием, чем «явный уголок» или «неявный правый уголок».
Из (3.4.9) выводим, что при умеренных и особенно при малых значениях числа Куранта схема Лакса должна весьма сильно сглаживать решение. Так, уже при Ь = 0,5 коэффициент т для нее в три раза больше, чем для схемы «явный уголок». Подобные суждения достаточно хорошо подтверждаются в чноленных экспериментах. 3.4.5. Пример.
Для уравнения ди/дс + ди/дх = 0 рассматривается краевая задача с условиями 0<х<+, О~г<Т; и(0, х)=0, иИ, 0) 1.. Для фиксированного «решение этой задачи есть кусочно- постоянная функция х: и=О, если х'~ «; и ° 1, если х(д Численно задача решалась с помощью схемы «явный уголок» и схемы Лакса на сетке с шагами Ь 0,005 и т 0,0025 (Ь 0,5).
Результаты расчетов выборочно приведены в табл. 3.2 и 3.3 для « = 0,05. Во второй строке каждой таблицы указаны значения точного решения для соответствующего ПДП. Мы видйм, что ПДП неплохо описывает численные решения. Видно также, что размытие разрыва для схемы Лакса заметно больше, чем для «явного уголка». 74 Таблица 32 Схема «яяимй уголоие 0,9999 0,9977 ' 0,9682 0,8203 0,5000 0,1796 0,0317 0,0022 0,9998 0,9963 0,9631 0,8144 0,5000 0,1855 0,0368 0,0036 Таблица 3.3 ~Схема Диаса 0,9918 0,9617 0,8859 0;7433 0,5388 0,3167 0,1391 0,0400 0,9854 0,9439 0,8533 0,7006 0,5024 0,3042 0,1515 0,0609 6 3.5.
Регуляризация схем второго порядка точности 3.5Л. Предварительные замечания. Ясли решение обладает достаточной гладкостью, то схемы второго порядка точности обнаруживают несомненные преимущества по сравнению со схемами первого порядка. Они позволяют вести расчет' с большими шагами сетки, что 'обычно окупает дополнительные затраты времени программиста и ЭВМ, вызванные усложнением алгоритма.
С другой стороны, точные схемы имеют и некоторые существенные недостатки. Они требуют большей гладкости решения, поскольку в ошибку аппроксимации входят производные высоких порядков. При недостаточной гладкости решения формальное повышение точности схемы может привести к увеличению фактической погрешности и искажению качественных черт приближенного решения. Ниже на примерах будет показано, что схемы второго порядка точности не обладают основными свойства)аи дифференциального уравнення (ЗЛЛ) — позитивностью и монотонностью.
Вследствие этого при расчете негладких н разрывных решений могут. возникать различные патологические эффекты, осложняющие интерпретацию численных реаультатов. Для подавления этих искажений применяются различные приемы регуляризации. 3.5.2. Примеры нерегулярного поведения схем. Покажем, что для схемы «чехарда» (3.2.7), (3.2.8) не выполняется свойство позитивности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
