Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 16
Текст из файла (страница 16)
62 Условие монотонности ограничивает сверху шаг Ь: Ь(2е. Таким образом, монотонный сеточный пограничный слой может быть получен только в том случае, если шаг сетки меньше удвоенной условной толщины пограничного слоя для исходной задачи. В противном случае возникают осцилляции, искажающие решение. 4.3.5. Схема с односторонней аппроксимацией конвективного члена. Изучим теперь таким же образом схему, в которой конвективный член аппронсимируется односторонним разностным отношением, и — 2и и и — и е +', ' + .+' — О. (4.3.20) .Ь' Ь Имеем 12 2 и = 1 — (), . ', (4.3.22) Функция (4.3.22) всегда монотонная.
При изменении е зта Функция качественно ведет себя так же, как и решение (4.3.12): чем меньше е, тем быстрее затухает погранслойная поправка. 4.3.6. Схема Самарского. Схема (4.3.20) имеет первый порядок точности. Главный член ошибки аппроксимации. есть 0,5 Ьд'и/дх', он имеет диссипативный характер. Для того чтобы компенсировать дополнительную «вязкостьз-, можно было бы соответственно уменьшить е, т.
е. заменить з на з — Ы2. Легко видеть, что зто приводит к схеме (4.3.15) с центрально-разностной аппроксимацией конвективного члена. А. А. Самарский предложил другой способ уменьшения аппроксимационной вязкости: з заменяется на е', где- (4.3.23) з' = е(1+0,5Ые) '. Схема с односторонней аппроксимацией конвективного.
члена при указанной компенсации имеет «Рормально второй порядок точности, так как при Ь - 0 и конечном з имеем з(1+ 0,5Ыз) ' = е(1 — 0,5Ыз) + 0(Ь') = е — Ы2+ 0(Ь'). Поскольку схема Самарского отличается от (4.3.20) только заменой з иа е', все качественные суждения, высказанные в предыдущем пункте, сохраняют силу: пограничный слой всегда монотонный; с уменьшением з скоРость затухания погранслойной поправки увеличивается.
93. 4.3.7. Сравнение схем по величине «потока». При определении введенного в п. 4.3.3 «потока» () по численным решениям, заданным только в узлах сетки, возникает следующее затруднение. На функциях, имеющих характер пограничного слоя, погрешность формул численного дифференцирования может быть весьма большой, поэтому при сопоставлении различных схем следует стандартизовать метод вычисления с). Для всех трех рассмотренных выше 'схем решение имеет вид и = 1 —. д, . Производная первого слагаемого равна нулю.
Заменив второе слагаемое экспонентой, имеющей в узлах сетки те же значения, будем иметь д, ехр( — „1ц, дх). При определении производной в точке л =0 обычным 'образом продифференцируем экспоненту. Получим () = — 1п дх. з )х Введем еще в качестве характеристики густоты сетки отношение г= з/)1.
Для различных значений г в табл. 4Л приведены значения (), вычисленные указанным выше стандартным способом с помощью трех рассмотренных в предыдущих пунктах схем. Таблица 43 Схеме (5.3.20) Схема (4.3.15) Схема Схмхрехохо х е(Ь Обе схемы второго порядка точности выходят иа относительные погрешности порядка процента при 2 — 3 интервалах на условной толщине пограничного слоя. При такой разрешающей способности сетки различия между схемой Самарского и схемой с центрально-раэностной аппроксимацией конвективного члена несущественны. Это относится также к г-1, когда для обеих схем погрешность порядка 10)х), При дальнейшем уменьшении г, т.
е. при увеличении шага 'сетки, положение меняется. При г=0,5 центрально-разностная.аппроксимация перестает служить (напомним, что г 0,5 есть граница моно- 94 тонности для этой аппроксимации). Схема Самарского для т 0,5 дает значение- Д с погрешностью 20Ъ. Как видно из второго столбца таблицы, схема первого порядка точности с односторонней аппроксимацией конвектнвного члена порождает заметные погрешности в (,т (14»~ при т=.З и 45% прн-с= 0,5).
4 '4.4. Околоравновееная кинетика 4.4Л. Предварительные замечания. Расчет быстропротекающих химико-физических превращений часто вызывает значительные вычислительные трудности. При общем рассмотрении 'атого вопроса целесообразно выделить истинно нсстационарные и нвазцстаццонарные режимы, В первом случае интересующие нас величины (концентрации компонент, температура) существенно изменяются за характерные промежутки времени; при этом обычно требуется детально проследить их эволюцию.
Последнее требование, как правило, вызывает необходимость вести расчет с достаточно малым временным шагом. Во втором случае за характерные времена рассматриваемые величины меняются мал<г, детальное представление их хода обычно не требуется. В этих условиях хотелось бы вести расчет с большими временными шагами. Оказывается, однако,.что для схем, не обладающих некоторыми специальными свойствами, на квазистационар:- ных режимах действуют суровые ограничения временного шага, не соответствующие требованиям точности. Это обусловлено присутствием больших параметров в правых частях кинетических уравнений (или, что то же самое, малых параметров прн производных по Г). Рассмотрим модельное уравнение околоравновесной кипетики в характеристической фЬрме ~" = — Сц+ 1, С = сопя», С)0.
(4.4Лу Решение этого. уравнения, принимающее при »= 0 значение ц', может быть записано в виде ц,~ (цо ц ) ехр ( С() (4.4.2) ' При г- решение' весьма быстро. стремится к предельному («равновесному») значению ц" (рис. 4.7). Цифрами 1 и П на рис. 4.7 обозначены соответственно стадии существенно нестационарного и квазистационарного изменений' величины ц. (Разделение решимов до некоторой степени условно; оно определяется кон- эб 1 б а иретным критерием малости изменении и, например, в пределах 10 илп 20% от и". Однако, нак видно из и рис.
4.7, положение границы при больших С слабо зависит от выбора критерия разделения режимов). Введем в качестве новой искомой функции и =. и — и", т. е. отклонение иа и от предельного значения и". Для и имеем однородное уравнение Рвс. 4.7. — = — Сг. (4.4.3) ви 4.4.2. Явная схема. Рассмотрим следующую простую схему для (4.4.3): ,ч~-1 „и — = Сй т и о"+' = (1 — Ст) и". (4.4.4) Очевидно, что и — 0 при п- только тогда, когда выполнено условие стабилизации !1 — Ст~ <1, ' Ст< 2. (4.4.5) Отметим, что если 1 <Ст< 2, то стремление и" к нулю имеет немонотонный, колебательный.характер.
Условие монотонной стабилизации Ст < 1, как и условие стабилизацйи (4.4.5), означает, что допустимый временной шаг должен по порядку не превьппать время релаксации т„„ 1/С. На квазистационарных режимах (при больших С) подобные ограничения могут быть чрезмерно стеснительными. 4.4.3. Неявная симметричная схема. Желая снять ограничение. вида (4.4.5), обратимся к неявным схемам. Начнем с симметричной аппроксимации, имеющей второй порядок точности: = — (0,5Сг"+г + 0,5Св"), и"+~= гг", (4.4.6) в = (1 — 0,5Ст) (1 + 0,5Ст) '. Очевидно, что схема (4.4.6) является стабилизирующей, т. е.
о"- 0 при и- ° для всякого Ст) О. Однако, если Ст) 2, то стабилизацйя ыемонотонная. Для больших Стмножйтель перехода близок к — 1, поэтому и" стремится к нулю очень медленно и колебательным образом. '.96 где  †. произвольная постоянная, значение которой определяется начальными условиями; для больших п последнее слагаемое несущественно.
Мы видим, что решение колеблется около и", причем относительная амплитуда колебаний равна 0,5Сте, т. е. в 0,5Ст раз больше, чем для «источника». (При 'Ст 20 имеем 10-кратное увеличение относительной амплитуды колебаний.) 4.4.4. Неявная несимметричная схема.
При больших значениях Ст гораздо лучшими качественными свойствами обладает неявная схема первого порядка точности „»+» а = — Со"+', г" ~' = зо", г = —. (4.4.9) Схема стабилизирует при любых Ст и притом монотонным образом. С ростом Ст сходимость ускоряется, что находится в качественном согласии с поведением решения дифференциального уравнения (4.4.3) (для него з= = ехр ( — Ст)). 4.4.5. Неявная схема с «весамн».
В условиях «истинной нестационарности», когда необходимо аккуратно воспроизвести временной ход решения, применение схемы первого порядка точности может повлечь нежелательное уменьшение временного шага. Поэтому в практических расчетах часто применяют схему с «упреждением промежуточного значения»: = — (аСз"~» + рСс"), »-»» и 1 — ()Ст 1+ аС«' (4.4ЛО) 97 В. М, пас»онов и »Р. В практических расчетах при наличии внешних возмущений такие колебательные свойства схемы могут привести к серьезным последствиям (явления типа резонанса).
Покажем это на примере уравнения з»+» з» = — 0,5С(йе~+ й) + 1+ е( — 1)". (4.4.7) Здесь свободный член («внешний источник») возмущен колебаниями с относительной амплитудой з. Частное решение будем искать в виде и" =А(-1)" +и", и" =1/С; А — неизвестный постоянный коэффициент. Подставив это выражение в (4.4.7), найдем А =, 0,5ет. Общее решение (4.4.7) имеет вид и" = 1/С+ 0,5ет( — 1)" +Во", (4.4.8) Здесь а, (1 — весовые коэффиценты, связанные соотношениями а+(» =1, с«~0, р>0, а> р. На «этапах нестационарности» полагают, в интересах точности, с«0,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
