Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Она несколько проще схемы (4.5.6) — (4.5.9) в идейном плане, но уступает ей в эффективности стабилизации. Глава 5 ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ, СТРУЯХ И КАНАЛАХ 3 51. Математические модели 5 1.1. Уравнения Прандтля. Одним из важнейших разделов современной 'аэрогидромеханики является теория пограничного слоя, основанная в 1904 г. Л. Прандтлем и получившая широкое распространение и применение для расчета трения и теплопередачи на телах; движущихся в потоке жидкости и газа.
Методы теории пограничного слоя нашли также применение для анализа течений в аэродинамических следах за телами, для исследования течений в струях и каналах. При определенных физических предположениях указанные течения описываются системамя нелинейных уравнений параболического типа (имеющими много общего), которые в дальнейшем мы будем называть уравнениями типа позраяичного слоя. Теории пограничного слоя посвящено много книг, из которых отметим (17), (18). Все современные учебники по аэрогидродинамике содержат изложение теории пограничного слоя (см., например, (19) — (21)). Основное предположение теории пограничного слоя, сделанное Прандтлем, заключается в том, что при движении тела с достаточно большой скоростью в жидкости (или газе) весь поток может быть приближенно разделен ца две области: 1) область малой толщины вблизи тела, называемой пограничным слоем, где влияние сил вязкости соизмеримо с влиянием инерционных сил, и 2) область так называемого «внешнего» (по отношению к пограничному слою) потока, где влияние сил вязкости пренебрежимо мало, а преобладают инерционные силы (рис.
5.1). Уравнения пограничного слоя обычно получают иа основных уравнений, описывающих движение вязких жидкостей. В случае плоского движения несжимаемой вязкой жидкости с йостоянными свойствами и при отсутствии внешних сил основная система уравнений состоит из двух уравнений количества движения (уравнения ! Навье — Стокса) и уравнения неразрывности: 'ди ди ди 1 др С ди ди'1 — +и — +о — = — — — +т — +— дС дх . дУ Р дх ~ дхз дуз ~ ди ди ди 1 ду ( д~и дзи 1 — +и — +и = — — — +т — '. + —, (5ЛЛ) дс дх ду р ду ~ дхс дух /' ди ди .— + — = О. дх ду Систему уравнений (5.1.1), в которую входит и уравнение неразрывности, часто называют системой уравнений Навье — Стокса.
Соотношения в (5ЛЛ) записаны в неподвижной системе координат, относительно которой движется жидкость (зйлерова система координат). В приведенной системе уравнений использованы следующие Рж 5.1. обозначения: г — время; х и у — независимые ортогональные пространственные переменные; и, и, р — неизвестные функции: и и и — составляющие скорости по х и у соответственно, р — давление; плотность р и кинематический коэффициент вязкости т — характеристики свойств жидкости.
Предположим, что ось х направлена вдоль'обтекаемой поверхности (продольная координата), ось у ортогональна к ней (поперечная координата). Для того чтобы вблизи поверхности (в пограничном слое) сравнить по порядку величины члены, входящие в уравнения (5Л.1), введем безразмерные величины, основанные на характерном продольном линейном размере Ь, масштабе поперечной координаты г' и масштабах продольных и 'поперечных составляющих скорости (( и й' 8=ИЯ7, х=Хх', у Уу', (5Л.2) и = 5Ъ', и Уи', Р рЮр'. (5Л.7) 1ОЭ Штрихом отмечены соответствующие безразмерные величины. Введем безразмерное число Рейнольдса Ве ИУЬ~, (5Л.З) характеризующее отношение сйл инерции к вязким си,лам, и выберем масштабы'поперечных длин и скоростей: У=ЫйЬ, У=~ЧУВе.
(5Л.4) Тогда система уравнений (5ЛЛ) преобразуется к виду ди' ди' , ди' др, '1 дои' дои' ди до' ду' дх' Но дх'о д 'о' — +и —,+о' —,= — —,' + — — +— 1 до', дю', дою') др' 1 д о' 1 дои' Йо дю' дх' ду') ду' и'од 'о йо д 'о' у ди' до' —, + —,=О. дх' ду' Если течение таково, что число Ве достаточно велико, то величину е (ууКе можно считать малой..Представляя искомые функции п', о', р' в виде разложения по степеням этого параметра з: Р Р, о и = из+си, + ..., .о'=уз+сот+... р'=ро+зр(+ ° ° ° (5Л.6) п подставляя (5Л.6) в уравнения системы (5Л.5), для нулевого приближения получаем систему уравнений д"о ' д"о " дио дро д ио ' о+и ю+ " ю ю+ о Н дх ' ду дх 'ц~д дро —,=0 ду' У Р дию дюо ю+ о дх' ду' Если вновь перейти к размерным переменным и опу- стить индекс «О», то получим систему уравнений пло'ского движения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое, носящую имя Л.
Прандтля: ди ди ди 1 др . дои — +и — +о — = — — — +т —, дг дх дУ Р дх дую ! (5Л.8) ди до — + — = О. дх ду Второе уравнение в (5Л.8) показывает, что давление поперек пограничного слоя в каждом поперечном сечении постоянно и является функцией координаты х и вре мени.
Распределение давления на внешней границе пограничногэ слоя совпадает с тем, которое было бы на поверхности тела, если бы отсутствовал пограничный слой. Таким образом, предполагается, что распределение давления берется из решения соответствующей задачи об обтекании тела потоком идеальной жидкости непосредственно на его поверхности. Если обозначить через Ц = Их, у) величину продольной составляющей скорости при обтекании тела идеальной жидкостью .и учесть условие непротекания через поверхность (и = О), то У и р на поверхности тела должны удовлетворять уравнению — + У вЂ” = — — —.
дУ дУ т др д« ' дз р дэ' (5Л.9) Таким образом, градиент давления др/дх на внешней границе пограничного слоя может быть получен из уравнения (5Л.9), если известно распределение скорости У вдоль поверхности при ее обтекании идеальной жидкостью. Граничные условия для системы (5Л;8) обычно записываются следующим образом: и и=О прп у=О, (5ЛЛО) и- У при у- Первое из, этих условий принято называть «условием прилипания», а второе отражает асимптотическое стремление продольной составляющей скорости к скорости на внешней границе пограничного слоя. Кроме граничных условий для системы (5Л.8) должны быть заданы начальные. условия при некотором значении х х,: и йИ, х„у); ' ь у(т; х„у), (5Л.И) а также'начальные условия при » О: и и(х, у), и и(х, у) для х > х„ согласованные при х = х, с (5Л.И). Стационарные течения в пограничном слое характеризуются тем, что искомые функции — продольная и поперечная составляющие скорости, а также давление во внешнем потоке — не зависят от времени.
Таким обра- 107 а граничные условия останутся прежними: и=у=О при у=О, (5ЛЛ4) и- П при у- ии. Если перейти к безразмерным переменным (5Л.2)— (5Л.4), то уравнения (5.1ЛЗ) и граничные условия-(5.1Л4) .запишутся следующим образом: ди ди д и и — +и — = —, ди ду ду~ ' ди ди — + — =О, дх ду и = у = О при у = О, (5ЛЛ6) (5ЛЛ4) и- 1 при уБлазиус показал, что решение аадачи (5Л.13), может быть сведено к решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Если решение еадачи для уравнений в частных проивводных может быть получено путем ее сведения к решению соответ- 108 зом, стационарные течения в пограничном слое описываются уравнениями Прандтля (5.1.8), в которых дп/ду=' О, с граничными услоииямя (5ЛЛО), где скорость внешнего потока У= 5'(х) также не зависит от времени, и с начальными условиями при некотором значении х = х,: и= й(хп, у), в Р(хе у) ° (5ЛЛ2) 5Л.2.
Стационарное ламинарное течение в пограничном слое на пластине. Решение Блазиуса. Пусть ось х направлена вдоль обтекаемой полубесконечной пластины, ось у перпендикулярна к ней, а начало координат совпадает с передней кромкой пластины. При продольном обтекании плоской пластины стационарным равномерным идеальным потоком скорость во всем потоке не меняется, П = сопв$. Таким обрааом, по отношению к пограничному слою во внешнем потоке скорость и, следовательно, давление (см. (5.1.9)) не меняются по х.
Уравнения Прандтля (5.1.8) в етом случае будут иметь вид ди ди ди и — +г —.=т— (5ЛЛЗ) — + — =О, дх ду ствующей задачи для. обыкновенных дифференциальных уравнений, то такое решение обычно навывают аетомоддльнььв. Для получения автомодельного решения задачи (5.1.13), (5.1Л4)' введем функцию тока ф с помощью со- отношений Ы= — Р= —— д~д дй ду ' дх' (5ЛЛ7) Тогда уравнения (5.1ЛЗ) сведутся к следующему уравнению: д$ д ф д9 дтй д~ф — — — — — =ч— ду до ду до дут дуе ' а граничные условия (5ЛЛ4) запишутся так: ту=О, — =0 при у=О и х)0, до — — +-5т~ прн у —.+- оо.
д9 ду Будем искать ~) в виде ф Уча ~р(т)), где фт)) — функция, зависящая от автомодельной пере- менной т) = рУИ(тх). (5ЛЛ8) Тогда задача (5ЛЛЗ), (5ЛЛ4) сведется к следующей аа- даче: 2тро+~рр" =О, (5ЛЛ9) ~у=О, н' 0 при т) О, (5Л.20) <р'- 1 при т)- о. Здесь штрих означает дифференцирование по т). Блазиус нашел решение задачи (5Л.19), (5Л.20) с но- мощью рядов. Впоследствии эта задача 'была численно решена многими авторами. В таблице 5Л даны вначения функции фт)) и первых двух ее производных.
Такие же таблицы можно найти во многих учебниках по гидродинамике (см., например, (17), (18), (20)). Используя приведенную таблицу, можно рассчитать вначения составляющих скорости поперек слоя по формулам 1-Гто н =(7 ~рт (т)), в = — ~( —, (тур' (т)) — Ч (т))) Я ф ~з сд я ~з ~ о о оо о ВО о о о о о о о о о о о о о о о $.Я$уф3$В$ф88~3~ о о о о о о о о о " ." " Г ~ 5 М й й Я й Л Л й й Л й й й ОЗ |РЭ ОЗ СЗ ОЗ ОЗ ОЗ ОЗ ОЗ О ОЗ Сз ОЗ ОЗ с- с- с- с с- с- с- с- с- с с с с- с- 44 С СО СО О ЕЗ 4 СО СО О С4 О 44 СО О О О 4 О 44 НЗ МЗ СО СО ОЗ О и> СО СО С О С З З сО СО О СЗ О сО СО О С4 ~ сО СО СО СО Ф СО О С С С С С СО '40 40 СО СО сО р о сО д с4 с- Оз ' с- д сз р сО О О О О О О О О О О О О О О О о о о о о о о о о о о о о о о ° ~ «44 С'3 44 .С'3 С 3 СО СО ОЗ СО СО Ф О СЗ Ч СО 44 -О СЧ З В СО О ОЗ ~ сО СО СО 44 СО С'З Сб 'Ф О 'О О 4 44 МЗ ВЗ 44 НЗ о о о о о о о о о о о о о о о 3 =.
=-.... -.:-. .-. -. =. -.-.. о о о о о о о о о о о о о СЗ О СО СО О Сз 4С СО 44 О Сз О С;~ СО О О" О О О " " " " СЧ" С4" СЧ" СЧ" ЕЗ с я 'зз о о о о о о Й Й сзз, ~ь сс,. ЯЯЗЛЯ СФ '4С ССЗ 44 СО о о о о о ад 3 ь о о сО 44 Л 2 СО о о и найти местное напряжение трения на поверхности пластины т, используя соотношения =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
