Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 15
Текст из файла (страница 15)
'По аналогии со схемами (2.2.9) и (2.214), построим для уравнения (4.1 1) неявную аппроксимацию, имеющую второй порядок точности относительно т и Лч и+1 и 1И И1 ! ии+1 — 2ии+1-'- ии+1 ии — 2ии + ии 4 + и 2 ~ йг й' и и + 1 и + 1 и и и и 1 ь и " "т+1 — ит-1+ ш+1 — и-1 + ( ~-н+ ии ) + )и+пг 2 ) . 2й 2й ~ 21 (4.2.62 Полагая, как и выше, б = О, находим пс . с ИЬ 'с ас )с = (1 — 2 — е(п' — — — — э(п сэЪ) х 2 2.Ь тс .
мй с ас Х (1 + 2 — э(пс — + — — зш сей~, (4,2.7) 2 2 Ь Очевидно, что !2,) ~ 1 для любых т, й, следовательно, схема (4.2.6) беэусловно устойчива. Ошибка аппроксимации схемы (4.2.6) есть 0(т')+0(Ч), поэтому на гладких решениях схема (4.2.6) позволяет вести расчет с ббльшими шагами по времени по сравнению с явной схемой (4.2.1). Прн этом дополнительные эатраты машинного времени, связанные с реалиэацией схемы '(4.2.6), как правило, окупаются. 4.2.4. Явная трехслойная схема «ромб». 'Ограничиваясь модельным уравнением (4.1.4), аапишем трехслойную яв-., ную схему ип+1 ип-1 . ип - Г ип+с+ ии-И+ ип (4.2.8) 2с ьс (В зарубежной литературе (4.2.8) наэывают схемой Дюфорта — Франкела). Можно покаэать, что схема (4.2.8) безусловно устойчива.
Сочетание безусловной устойчивости и явности делает эту схему весьма привлекательной— но только на первый взгляд. Ошибка аппроксимации для этой схемы есть поэтому для аппроксимации необходимо, чтобы т/Ь- О. Пусть, например, 2тт/Ьс я, сопас; тогда главный член аи ди имеет вид — т —. Следовательно при условии й„ 2 дсс' с = сопэ$ схема (4.2.8) дает аппроксимацию первого порядка относительно т. Главный член ошибки при больших значениях параболического числа Куранта может быть сравним по величине с членами уравнения (4.1.4).
4.2.5. Комбинированные схемы. При построении схем для уравнения (4.1.1) можно сояетать различные аппроксимации (явные, неявные, симметричные, односторонние) для отдельных членов уравнения. Так, например, в :,$7 схеме ии+1 и ит "1 ии+1 — 2ии+1-'- и+1 и ии1+1 ит + ит 2 ь ии а ' + Ьй+1+ ~и и и ° и ит+1 хит+ и1и-1 У ив+1 — и" т и а „', (4.2.9у т Ь~ ив+1 ии ии+1 2ии+1 1 ии+1 и1 т ии1+1 "1и ° + ит-1 — У ь2 ии+ 1 ви+ 1 т 1и-1 а (4.2ЛО) э 88 комбинируются неявная симметричная аппроксимация диссппатнвного члена, явная односторонняя аппроксимация конвективного члена и неявная запись кинетического члена. Выбор тех нли иных приближений основывается на имеющейся априорной информации о качественных свойствах решения и роли отдельных слагаемых в уравнении.
4.2.6. Расщепление по физическим процессам. Качественные свойства решения особенно удобно учитывать с помощью принципа расщепления (см. п. 2.2.4). Если на каждом дробном шаге рассматривается уравнение, описывающее один из рассматриваемых процессов (диссипация, копвекция, кинетика), то говорят о расщеплении по физическим процессам. Сеточная аппроксимация для каждого дробного шага выбирается в соответствии с характером рассматриваемого процесса (так, например, если процесс квазистацнонарный, то могут быть применены неявные схемы).
4.2.7. Замечания о качественных свойствах схем. Основные качественные свойства уравнения диссипативноконвективных процессов (позитивность, принцип максимума) присущи только некоторым специальным схемам, имеющим первый порядок точности. Схемы второго порядка точности этими свойствами не обладают, поэтому при расчете негладких решений они могут порождать различные патологические эффекты, как и схемы для уравнения конвективного переноса тепла (см.
п. 3.5.2). Можно показать, что для уравнения (41.3) при а)О обладают свойством позитивности и обеспечивают выполнение принципа максимума следующие две схемы первого порядка точности: (для явной схемы (4.2.9) необходимо ограничить временной шаг т в соответствии с условием устойчивости). Приведем пример, показывающий, что шеститочечная симметричная схема (4.2.6) не обладает свойством позитивности. Положим ) О, а — О, Ь = О, т = 1 и рассмотрим первую краевую задачу с дополнительными условиями — 1(х<1. О~сб1, иИ, — 1) О, и(з, 1) =О, и(О, х) =<р(х). Примем Ь=0,01, т= 0,001, что соответствует йи 20.
В качестве начальной функции возьмем сеточную функцию точечного источника: и,'„= бг, т. е. и,', = 1, и~„= 0 при тте О. На первом слое для и =О, ~1 получим следующие'значения: и, =- 0,227, и, = — 0,687, 1 1 и,' = 0,227. 9 4.3. Малый параметр при старшей производной 4.3Л. Предварительные замечания. В прикладных задачах часто приходится рассматривать дифференциальные уравнения второго порядка с малыми множителями пря старших производных. При атом, как правило, возникают пограничные слои — узкие области, где решение весьма быстро изменяется.
В практических расчетах толщина пограничного слон иногда может быть порядка шага сетки. В этих условиях обычные сеточные аппроксимации, не учитывающие особый характер иаменения решения, могут давать большие погрешности, порождающие не только количественные неточности, но и качественные искажения. Ниже это будет показано на примерах. При этом выяснится, что некоторые специальные схемы могут неплохо воспроизводить решение при сравнительно небольшом числе узлов в пограничном слое.
4.3.2. Модельная нестационарная задача. Рассмотрим первую краевую задачу ди д и , ди — = т — — 'а —, а<0, (4.3Л) дг д.г дх' 0<х<1, 0<с<+ со, (4.3.2) и(0, х) О, (4.3.3) и(г, 0) =О, (4.3.4) и((, 1) =1. (4.3.5) Приведем тепловую интерпретацию задачи (4.3.1)— (43.5): в теплоизолнрованной трубке, левый конец кото- 89 рой соответствует точке х = О, а правый х = 1, течет с постоянной скоростью справа налево жидкий теплоноситель; на концах трубки поддерживаются настоянные значения температуры; в начальный момент температура . жидкости в трубке всюду равна нулю. Представим себе качественную картину явления при малых значенинх т.
Рассмотрим сначала вырожденную задачу, соответствующую т О. Вырожденцев уравнение таково: ди. ди — (4.3.6) Начальное условие (4.3.3) остается неизменным. Так как жидкость втекает в ~рубку справа, то присоединим к (4.3.6) граничное условие на правом конце, т. е. (4.3.5). Левое. граничное условие (4.3.4) для уравнения (4.3.6), является излишним, так как а ~ О; позтому опустим его. Решение вырожденной задачи (4.3.2), (4.3.3), (4.3.5),. (4.3.6) легко найти. При !а((( 1 имеем кусочно-постоянную функцию: и =1, если х) 1+ аг; и О, если х.- 1+ +а( (рис.
4.3 — сплошные жирные линии). При (а(4~1 имеем иии1. Представление решения на плоскости (г, х) дано на рис. 4.4. Рзс, 4.4 Ряс. 4Д При малой теплопрозодности вместо разрыва, изображенного на рис. 4.4, появится узкая переходная зона (ср.
п. 41.8) — подвижный внутренний переходный слой. При (а(() 1 решение вырожденной задачи вблизи точки х = О должно заметно отличаться от решения исходной задачи, так как первое равно 1 при х = О, а второе, согласно условию (4.3.4), обращается в нуль. Можно ожидать, что вблизи точки х=О при !аИ) 1 образуется переходная область — неподвижный пограничный слой 90 (рис.
4.5). Внутренний переходный слой и пограничный слой на рис. 4.4 отмечены штриховкой. 4.3.3. Модельная стационарная задача. Рассмотрим более подробно стационарный аналог задачи (4.3.1)— (4.3.5): ти -аи'=О, а.(0, и(0) = О, и(1) =1. Решение этой задачи легко найти в явном виде. Общее решение уравнения (4.3.7) таково: и = С, + С, ехр ( —.х/е), (4.3.10) где С„С,— произвольные постоянные; е=т/)а(. Под- ставляя (4.3.10) в (4.3.8) и (4.3.9), имеем С, + С, = 0; С, + С, ехр ( — 1/е) = 1. Отсюда С, (1 — ехр ( — 1/з)) ', Сз — (1 = ехр ( — 1/е)) '.
(4.3.11) Решение (4.3.10), (4.3.11) при малых е с большой точностью можно записать в виде и = и, + й„и, = 1, й; — — ехр ( — х/е). (4 3 12) Здесь и, — решение соответствующей вырожденной задачи — аио = О, ио(1) = 1 ' 14.3 13) Функция й0 — позранслойная поправка, назначение которой состоит в том, чтобы обеспечить выполнение левого граничного условия (4.313), не входящего в постановку вырожденной задачи. Погранслойная поправка й, быстро убывает с удалением . от точки х = О.
В качестве условной толщины пограничного слоя можно принять е, т. е. л длину релаксации для й.. Функция р 4- й; может бытв определена как решение уравнения (4.3Л), стремящееся к,О при х — и удовлетворяющее условию и, + й, = 0 при х = О. В дальнейшем мы будем интересоваться величиной ~ = ти'(О) — — т/е = — а, - (4.3.14) 91 характеризующей -кондуктивкый поток тепла через границу х= О. Для упрощения записей впредь будем считать, что а = — 1 и вместо т будем писать с.
При этом () = 1. 4.3.4. Схема с центрально-равностной аппроксимацией конвективного члена. Рассмотрим следующий сеточный аналог краевой задачи (4.3.7) — (4,3.9): т=1,2,...,М вЂ” 1, и~= О, ' (4.3.16) и„1. (4.3.17) Согласно методу Эйлера частное решение обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений с настоянными коэффициентами ищется в виде и = ехр (их), где и — неизвестный параметр. Метод Эйлера можно применять и к решению 'линейных однородных сеточных уравнений. На сетке х та имеем и ехр(итЫ=у", д=ехр(ий). Подставляя это выражение для и„в (4.3.15), получаем характеристическое уравнение для определения д: 2 + — = О. д — 2д+1 д — 1 2Ь Отсюда находим Ч~=1 д, =~1 —.— )(1+ — ) .
(4.3.18) Рвс. 4.6 Общее решение уравнеция (4.3.15) представляется в виде ищ = Ст + Сздз . Частное решение, удовлетворяющее граничным условиям (4.3.16), (4.3.17), представим (приближенно) аналогично (4.3.12): и,„= 1 — д,. (4.3.19) Если о;)О, то сеточная функция (4.3.19) с ростом т монотонно изменяется от О до 1; при д,(О изменение немонотонное (рис. 4.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
