Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 19
Текст из файла (страница 19)
У вЂ”.0,332. На рис. 5.2 представлен график безразмерной продольной составляющей скорости в зависимости от автомодельной переменной д. 5Л.З. Струя вязкой несжимаемой жидкости. Основные уравнения и граничные условия. Задача об истечении плоской ламинарной струи а.
несжимаемой жидкости из узкой щели в, безграничное полупространство,' заполненное той же неподвижной жидкостью (рис. 5.3), или зада- е ча об истечении струи в затопленное пространство могут быть сформулированы в , ' Р с 5д рамках теории пограничного слоя. При наличии вязкости истекающая из щели струя, взаимодействуя с окружающей жидкостью, вовлекает ее в движение.
Чем меньше вязкость или, точнее, чем больше число Рейнольдса, тем тоньше слой движущейся. жидкости. При достаточно больших числах Рейнольдса Ща«» Рис. 5.3. по обе стороны от.плоскости симметрии образуется тонкий пограничный слой, который иногда называют «затопленной струей». Во «внешнем потоке», которым в этом случае является неподвижная жидкость, давление Ш повсюду одинаково. Иэ опытов известно, что давление поперек струи меняется незначительно.
Это поэволг[ет сделать предположение, что при установившемся движении давление внутри струи постоянно. Пусть плоскость симметрии совпадает с осью х. Тогда дифференциальные уравнения, описывающие перемешивание плоской струи несжимаемой жидкости с окружающей неподвижной жидкостью, могут быть приведены к виду ди ди ди и — + ее — = т— ди ди д э ' У ди ди — + — = О.
ди дв (5Л.21) Граничные условия для системы (5Л.21) запишутся сле- дующим образом: и='О, — =0 при у=О, ди дэ . (5Л.22) . и = 0 при р-и со. Шлихтингом было показано (см. [20), [22[), что реше- ние задачи (5Л.21), (5.1.22) может быть получено путем ее сведения к краевой задаче для соответствующега~ обыкновенного дифференциального уравнения.
При этом показано,' что ширина струи-возрастает пропорционально хм', а максимальная скорость на оси симметрии убывает обратно пропорционально х'г'. Для осесимметричного случая аналогичная задача формулируется так: ди ди' т д/ ди1 и — +э — = — г — ~, ди дг . г дг ( дг[' (5Л.23) ди ди и — + — )- — = О, дх дг г и граничные условия имеют вид ди о=О, — =0 при г=О, (5Л.24) и = 0 при г-и оо. Известно, что за)(ача (5.1.23), (5Л.24) также имеет авто- .Ф модельное решение (см.
[20), [22)). Ф 5Л 4. Течение несжимаемой вязкой жидкости в канале. Прн изучении ламинарното двюкения вязкой нптдкости в плоском канале встречаются случаи, когда решеН2 ние полной системы уравнений Навье — Стокса можно. заменить решением приближенных уравнений типа уравнений пограничного слоя. В основе этого упрощения, как и в теории пограничного слоя, лежит предположение о малости скорости в поперечном направлении по сравнению со скоростью в продольном направлении и предположение о малости вторых производных в продольном направленйи по сравнению с производными в поперечном направлении. При этих предположениях упрощенная система уравпений может быть записана в виде ди ди ( др д~и и — +у — = — — — +т —,, дх ду р дх дуз ' У=О, (5Л.25р ди ди — + — = О.
дх ду Решение системы (5:1.25) ищется в полуполосе х>О, О ~ у ~ Ь с граничными условиями и=У. при х=О, (5Л.26) и=О, о=О при у=О и у=Ь. В отлйчне от задач пограничного слоя для внешнего обтекания, при движении в каналах заданной величиной является не давление, а расход жидкости через поперечное сечение, давление же определяется в процессе решения, Для введения безразмерных .величин примем в качестве характерного линейного размера ширину канала Ь и в качестве характерной скорость У: % г У и' = —, о' = — х' = — р',=— 0 У' Ь' ' Ь' р' = — ' ((Ве = — ).. (5.1.27у ркез УЬ~ руз ( ч )' Тогда система уравнений (5Л.25) примет вид дх' ду' ) дх' дутх ' ди' ди' —,+ —,=О дх' ду' р = р'(х) 8 в.
и. паскоиов и лу. (5.1.28) и граничные условия (5Л.26) запишутся так! и =1 при х =О, (5123) и' О, э' О при у" =О и у'=,1. Условие, определяющее расход жидкости через попереч. ное сечение канала, представим в форме 1 ~иду = 1, (5Л.ЗО) о где значение правой части определяется условием при х' О. 5Л.5.
Ламинарные течения сжимаемого теплопровод- пого гааа в пограничном слое. В этом случае основные уравнения получаются из уравнений Навье — Стокса для сжимаемого теплопроводного газа, аналогично тому, как это было сделано. для случая несжимаемой жидкости (см. п. 5ЛЛ). Выпишем уравнения в безразмерной форме, предварительно введя безразмерные величины следующим образом: х' = х/Ь, у' =у ~Ве /Ь, и' = и'/7У, в' = г "у'Ве„/У, р' = р/р, р' = р/(р У'), (5Л.31). й'=5(й, р'=р~р„.
Здесь введены обозначения". р — плотность, Ь вЂ” энталь.пия (если с совз$, то Й = с,Т, где су — коэффициент теплоемкости газа при 'постоянном давлении, Т вЂ” абсолютная температура), )у — коэффициент вязкости; остальные обознХчения аналогичны (5.1.2). Значок «» показывает,'что соответствующие величины берутся в какой- нибудь фиксированной точке набегающего потока и число Рейнольдса введено так: Ве= У Ьр„/)х . Уравнения в безразмерной форме для плоского течения будут иметь вид (штрих у безразмерных величин опустим) ди ди др д У ди'1 ри — + ру — = — — + — (р — ), (5Л.32) дх ду дз ду (, ду~' (5Л.ЗЗ) да .
да рй — '+ ру — = да ду =(й-1~~-'~и-дд+ (-д)1+-'-д(р — ") р=рй/(йМ-'), р=/(Ь) И4 (5Л.34) (5Л.35) По сравнению с системой пограничного слоя для несжимаемой жидкости в этом случае к уравнениям движения (5Л.32) и неразрывности (5Л.ЗЗ) добавляется еще уравнение энергии (5.1.34) и уравнение состояния (5Л.З5), а также задается зависимость коэффицйента вязкости )у от энтальпии (температуры). В уравнениях (5Л.32)— (5Л.34) введены следующие обозначения: й су/с.— отношение коэффициентов теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; М„= Г/„/а„— число Маха, характеризующее отношение скорости набегающего'потока Г/ к скорости звука в нем а; Рг= =* рс,/Л вЂ” число Прандтля Й вЂ” коэффициент теплопроводности).
Граничные условия для системы (5.1.32) †(5.1.35) мо- . гут быть, например, такие: и=и=О, /у=я -при у' О,' (5.1.36) и- Г/, й- Н при у- . ' (5Л.37) В случае отсутствия теплопередачи с поверхности условие (5Л.36) заменяется на условие и = и = О, — = О при у = О. (5Л.36') 5.1.6. Течение смеси реагирующих газов в .пограничном слое. Учет неоднородности химического состава, находящегося в пограничном слое, необходим в тех случаях, когда' течение газа сопровождается различными физико-химическими процессами, которые в свою очередь могут оказывать влияние на энергетические и переносные свойства течения.
Примерами таких течений являются течения высокотемпературного воздуха вблизи поверхности обтекаемого тела, входящего в атмосферу Земли с большой скоростью, или течения смеси реагируюп(их газов в различных агрегатах, используемых в химико- технологических процессах. Для смеси газов уравнение неразрывности и уравнение движения остаются такими же, как и для случая'совершенного однородного газа, а именно; дри дри ' — + — =О, дз ду ди - д ду .ри — + ри — = — ()у — )— дз ду ду ( ду ) дх ' . где р, р — соответственно плотность и йоэффициент вязкости смеси. 113 зч Пусть смесь газов состоит из т компонент. Массовую (весовую) концентрацию»ьй компоненты обозначим через с».
° с» р»/р, где р,— плотность»ьй компоненты, р — плотность смеси. Введем обозначения для чисел Прандтля, Шмидта и Льюиса — Рс, — рс»» Рг = — Яс» = — Ье» = Ф,' ь (Яс» 1е» = Рг), (5Л.З9) где со — условный коэффициент теплоемкости при посто- янном давлении: 3 СР = Х С»СР»» » 1 а со» вЂ” коэффициент теплоемкости при постоянном давлении ~-й компоненты. Тогда уравнение неразрывности для »-й компоненты О= $, 2, ...) и уравнение энергии могут быть записаны в виде до» дс» д»» )» до< ) д ~ г Ро» дТ) / ') Г де ду ду ~Бс» ду ~ ду ~ Т ду!»» (5.1.40) дьо ' д~о рп о ) рв дз ду ч + рР» $ (Ь» Ь») + ду ~ ~ »=» )'о», д у т -;- ~о,' у' (»,— »,'» —',"1.
»»».»») г=т о Здесь Ьо —— Ь+ ~, Ь = ~' с»(,Ь» — Ь»), Ь» — энтальпия »=1 1-й компоненты, т» — массовая 'скорость образования»-й компоненты, Ь» — постоянная, характеризующая для»-й компоненты смеси «скрытую» теплоту образования этой ие компоненты (секундное количество выделяемого тепла равно тюк|), Т вЂ” абсолютная температура, Р,— коэффициент массодиффузии (или просто диффузии), Р~ — кот эффициент термодиффузии (в силу того, что давление поперек пограничного слоя постоянно, бародиффузией пренебрегается).
Граничные условия для систем (5Л.38), (5Л.40), (5.1.41) на поверхности тела могут, например, быть заданы условиями прилипания, уравнениями баланса химических компонент и уравнением баланса энергии, в которых могут присутствовать члены, характеризующие источники массы и энергии, определяемые конкретными условиями задачи. На внешней границе пограничного слоя должны быть заданы условия, определяемые из решения соответствующей задачи невязкого обтекания. з 5.2. Разностная схема для системы уравнений стапионаьвного пограничного слоя в несжимаемои жидкости Решение задач пограничного слоя раэностными методами получило в настоящее время широкое распространение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
