Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Разработанные методы оказались легко применимыми к решению различных задач этого класса и достаточно эффективными с точки зрения скорости расчета и загрузки оперативной памяти ЭВМ, что позволяет применять их и на машинах малой и средней мощности. Описание наиболее распространенной и простой разностной схемы, которую в дальнейшем будем называть основной равнастной схемой, приведем сначала для стационарной системы уравнений Прандтля в безразмерной форме: ди ди др д~и и — +г — = — — + —, де дд да дв , дс — + — =О дх ду с граничными условиями и с=О при у=О, и- Г7 при у- и начальными условиями и =. й(х„у), и = у(х„у).
Я7 Уравнение движения этой системы будем аппроксимировать с помощью двухслойной неявной шеститочечной схемы. Заметим, что применение явных схем для решения задач пограничного слоя крайне нерационально в связи с существенным ограничением на соотношение шагов сетки по х н у в силу условной устойчивости таких схем. 5.2 1. Конечно-рааностная аппроксимация уравнения движения. Для аппроксимации системы уравнеций, приведенной в начале этого параграфа, на плоскости (х, у) введем основную прямоугольную сетку х х,+пбх, у тйу, т, и О, 4, 2, ..., (5.2Л) и вспомогательную «полуцелую» сетку х = х, + пйх, у = (т + д/2)дду, (5.2.2) х = х, + (и+ 1/2)бх, у = тЬу. Конечно-разностяую аппроксимацию уравнения движения запишем в следующем виде: ца+д ца вв аед иа+д а«д(» ищ — ищ «+д~»«1итад иш-д)+(1 — в)(ищ+д — ищ-д) и +дд и 2ау 1 а+д а+д ь» = —, (г(и +д — 2й+'+ и"+~д) + (1 — з)(й, д — 2и~ + а Р + — Р <.,1) —, 1, д,...
(5.2.3~ Здесь г — параметр усреднения, р"+' и р" — значения давления на (и+1)-м и и-м слоях (поперек слоя р постоян= но, поэтому в разностной записи отсутствует нижний индекс). Если заморозить коэффициенты разностного уравнения (5.2.3), т. е. считать и и в постоянными величи- и+д з «+»1» нами, равными некоторым их средним значениям, то исследование схемы (5.2.3) на устойчивость методом Фурье (см. $2.4) показывает, что эта схема абсолютно устойчива при 1/2 < г ~ 1.
При з 1/2 можно показать аналогично п. 2Л.5, что разностная схема (5.2.3) имеет второй порядок точности относительно шагов сетки /дх и дду (О(бхв) + О(йу*)). 5.2.2. Прогонна. Заметим, что соотношение (5.2.3) может быть приведено к виДу а+д а+д а+» - ' ащищ д -(- рщиш + уши+» = бщ~ (5 2 4) где а = — з(и"+'~' + 2/Лу)/(2Лу), оу ланг/Л + 2 /Л -~г~г 2/Л„У(2Л„) 03 2ау — (1 — г) 2/Лу') и" — — (о"+и' — 2/Лу) й+г— — (р +г — р )/Лх. Система уравнений (5.2.4) совместно с граничными усцо- виями иг =О при у=О, с+ 1 ' (5.2.5) и"+г = 1 при ум = МЛу (5.2.6) по следующим формулам: тт А,„= —.
а„,А„,=г+()„, ' В ст ~~~ ~т А +Р Значения А, и В, находятся иэ первого условия (5.2.5): А, = В, = О. (5.2.7) т = 1,2,...,М-1. (у„— значение у, при котором уже выполняется с определенной точностью верхнее граничное асимптотическое условие при у - ) является системой алгебраических уравнений относительно искомых' й ' — значений скорости и на (и+ 1)-м слое (т = О, 1, 2;..., М). При этом мы пока предполагаем, что значения коэффициентов йм, о известны во всех необходимых точках.
Так как эти коэффициенты выражаются через искомые функции, то они должны. также вычисляться в процессе расчета. К описанию процедуры их вычисления мы вернемся ниже. Система алгебраических уравнений (5.2.4), (5.2.5) имеет трехдиагональную матрицу, поэтому может быть решена с помощью прогонки (см. п. 2.2.5). Для нахождения и на (и+1)-м слоэ сначала вычисляются прогоночные коэффициенты в рекуррентном соотношении я+1 %+1 и =А и+г+В Процесс нахождения прогоночных коэффициентов иногда называют прямой прогонкой.
Зная прогоночные коэффициенты А и В„для то= О, 1, 2, , М вЂ” 1 и используя граничное условие йм+' = 1 на внешней границе пограничного слоя, можно ,найти значения и,"„+' для т = М вЂ” 1, М вЂ” 2, ..., 2, 1 по реиуррентному соотношению (5.2.6). 5.2.3. Реализация асимптотичесиого верхнего граничного условия. Второе граничное условие в (5.1.10) отражает тот факт, что толщина пограничного слоя около обтекаемой поверхности может изменяться. Критерием выполнения верхнего асимптотичвсного условия с заданной точностью з будем считать удовлетворение неравенства ~ им+' — им-'1 ! ~ з. (5.2.8) Условие (5.2.8) будем называть условием гладкого сопряжения. Если толщина слоя уменьшается, то в случае, ногда условие (5.2.8) выполнялось на и-и слое, оно будет выполняться и на (и+ 1)-м слое при том же значении у .
Если толщина слоя увеличивается, то условие ' гладкого сопряжения (5.2.8) может быть не выполнено при переходе с и-го на (и+ 1)-й слой. Поэтому, прежде чем вычислять значения и во всех точках сетки на (и+1)-м слов, необходимо вычислить значение им, по формуле о+1 (5.2.6), положив им~~ =1, и затем проверить условие гладкого сопряжения (5.2.8). В случае, когда условие (5.2.8) выполнено, значения продольной составляющей скорости и , пг =М вЂ” 2, М вЂ” 3, ..., 2, 1, могут быть найдены о+1 обратной прогонкой. В случае невыполнения условия (5.2.8) на (и+1)-и слое добавляется точка с шагом Ьу (и номером М+1) и находятся прогоночные коэффициенты А, В .
При вычислении зтих коэффициентов значения составляющих скорости в недостающей точке М+ 1 на и-м слов берутся равными значениям в точке М на пм слое. Положив им+г = 1 и зная Аи и В, можно снова про- и+1 верить выполнение условия гладкого сопряжения и, если необходимо, добавить еще одну точку на (и'+1)-м-слое. Таким образом, на (и+1)-м слое может прибавляться нужное количество точек, пока для двух последних точек (и+1)-го слоя не будет выполнено условие гладкого сопряя1ения.
Прибавление большого числа точек на (п+ 1)-м слое обычно говорит о том, что шаг Лх велик. После того нак будет выполнено условие (5.2.8), значения и"+~ находятся по формуле (5.2.6). 120 5.2.4. Нахождение поперечной составляющей скорости р нз уравнения неразрывности. Уравнение неразрывности аппрокснмируется разностным уравнением ((Ищ И22)/ДХ + (Ищ~-1 И22-~.1)/ДХ1 = = (р"".Д' — р"+'~')/Ду,' (5.2.9) которое служит для нахождения значении р — попе-' и-~- Пз речной компоненты скорости р на полуцелом слое и+ 1/2 И»1 после того, как были наидены значения и , л2 = =О, 1, 2, ... Уравнение (5.2.9) разрешается относительно и»112 р„,+,, значение рэ находится из нижнего граничи~-1!2 ного условия (рэ+"" = О). 5.2.5.
Итерации «по нелинейности». Как уже отмечалось, коэффппиенты а, рии т, б в формуле (5.2.4) выражаются через искомые функции в точках сетки на полу- и, 1И и»П2 целом слое, т. е. через ри,' ', и~ . Если значения пои»И2 перечной составляющеи скорости р вычисляются по формуле (5.2,9) на полуцелом слое, то значения продольной составляющей скорости и вычисляются прогонкой в целых узлах сетки и в точках полуцелой сетки могу* быть найдены только с помощью интерполяции: и" '~' = (и" + и"~')/2. (5.2.10) Таким образом, при решении системы (5.2.4) для нахождения значений и в точках целой сетки на (и+ 1)-м слое коэффициенты рии 6 зависит от искомой функции на том жс (и+1)-м слое.
Для решения такой задачи, как обычно, применяются итерации. В первом приближении в качестве значений на (и+ 1)-м слое берутсн значения искомой функции на и-м слое, т. е. в формуле (5.2.10) значеи-1-1 и ння и полагаются равными значениям и . В целом итерационный процесс строится следующим образом. На первой итерации при получении прогоночных коэффициентов в прямой прогонке значения и ' ' и и-~-1!2 НЕОбХОДИМЫЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ а2И Ри» т, б, в формуле (5.2.4) полагаются равными значениям и ",и и-1!2 и р соответственно. На первой же итерации находится значение поперечной координаты (толшяны слоя), при котором выполнено условие гладкого сопряжения, и только тогда вычисляются значения и""' в обратной прогонке. Заканчивается первая итерация (как и все последую- щие) вычислением и .
Вторая и все последующие итси+ив рации начинаются с получения прогоночных коэффициентов, при вычислении которых используются значения и Я+1 и и"+пз, полученные в предыдущей итерации. Толщина 'слоя, найденная в первой итерации, в последующих итерациях не изменяется и, следовательно, не провернется условие гладкого сопряжения. После нахождения прогоночных коэффициентов находятся новые значения и,"„+" и одновременно вычисляется -максимум модуля.
разности значений и ' на данной и предыдущей итерациях: Ли' = шах ~ Ли м=пю. характеризующий сходимость итераций для и. Затем из уравнения (5.2.9) вычисляются и"~'~' по явной формуле во всех точках промежуточного слоя т = 1, 2, ... Итерации заканчиваются, тогда Ли* становится меньше заданного малого положительного числа з*. 5,2.6. Выбор начального профиля. Для решения системы уравнений Прандтля (5 1.8) наряду с граничными условиями на стенке и ва внешнем потоке (5.1.10) необходимо задавать профили искомых функций и и и для некоторого х=х,.
При исследовании неавтомодельных решений системы .уравнений. пограничного слоя на пластине (например, при вдуве газа с поверхности пластины) начальные профили для и и и при х =х, могут быть взяты из автомодельного решения Блазиуса. Начальные профили могут подбираться иэ некоторых физических соображений, но обязательно удовлетворяющими граничным условиям при у-О и у- . В связи с этим в начале расчета пограничного слоя может существовать такой интервал х, (х ( х, + пЛх, где происходит резкая перестройка решения. Величина этого интервала во многом зависит от стабилизирующих свойств разностной схемы. Результаты экспериментальных исследований, выполняемых с помощью основной разностной схемы на примере решения Блазиуса, свидетельствуют о том, что величина интервала перестройки решения существенно зависнт,и от вида начального профиля скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
