Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 22
Текст из файла (страница 22)
5.3.5. Итерации.г(озффнциенты аи Ьи сь йи е~ в системе (5.3.1), (5.3.2), как было указано выше, могут зависеть от р, ~, и различных комбинаций их производных. Они находятся в точках вспомогательной сетки с помощью линейной интерполяции по значениям и и ~, в узлах основной сетки. Таким образом, необходимо вычислять коэффициенты аи Ь„си 4, е, на (и+ 1)-м слое как функции от неизвестных функций. Для этого, как обычно, применяются итерации. В первом приближении в качестве аначеннй функций на (и+ 1)-м слое берутся значения функций на п-м слое в соответствующих точках.
5.3.6. Применение основной разноетиой схемы для расчета стационарных течений однородною сжимаемою газа в пограничном слое.. Описание применения основной разностной схемы для расчета стационарных течений сжимаемого однородного совершенного газа проведем для системы уравнений в случае плоского стационарного течения, записанной в безразмерной форме (см. п. 5.1.5): ди ди д г ди~ др ри — + ри — = — ( р — ~ — —, (5.3.13) ди ду дд ( ду ~ ди ' Уравнения (5.3.13), (5.3.14) могут быть записаны в виде (5.3.1), если обозначить а,=а,=ри, б, Ь,=ри, с, с,=Р, е, е,=О, Конечно-разностную аппроксимацию уравнений движения и энергии в соответствии с формулой (5.3.6) запишем в следующем виде: а+т а )я+1/г т ~та „+г/г г(и"+/.~/ — а,"„~]) + (1 —.г) (й+ — и" ) 2ау = —, (((1 — г) (и„"./., — и") + г (й+Д' — и" +г]] Р"„+",/г, Лу — ](1 — г) (ищ = и~ г) + г (й+г — и"+г)] ф+Я) — а„~, (5.3.20) би+т / я + (ро)пь з+з/г г(ат+т "~ г)+(1 — г)(Ь,"„+ — Ья ) р (](1 г)(б + Ь ) + г(й~+ — й + )] Р ++г//г рг.луг — 1(1 — ') (б-" — б-"--.) + (й"." — й."",)] Р"",",,) + и + т и / и ~ ~ + г / г и т ~ + г М г 2ау .
~ * (5.3.21) В (5.3.20) и (5.3.21) все выражения, взятые на полуцелом слое, зависят от искомых функций на (и+1)-м слое, так как (ри)щ — — — 1(ри)т + (ри)т] ~ (р )"."" =-,' Ь )""'+ ( )."], и+г/г 1 / п-~-1 и+г т Р +т/г — 4 (Р + Рт+т+ Рт + Рт+г/ 129 9 в. м. пагкоиов а гу. (5.3.22) В случае невыполнения этого условия прибавляются точки на (в+1)-м слое до тех пор, пока оно не будет выполнено. При вычислении прогоночных коэффициентов в новых добавляемых точках используются предельные .значения (1 и Ь для (и+1)-го слоя. Вычисление значений и, Ь па (и+1)-м слое проводится обратной прогонкой. Уравнение неразрывности (5.3Л5) аппроксимируется по формуле (5.3.12) и из него находятся значения поперечной составляющей.
скорости ио'+'~'. Для этого уравнение (5.3.12) раарешается относительно вы+~~', из нижнего граничного условия находятся го~'~' = О, а аагем находятся значения и во всех целых точках на полуцелом слое. В силу того, что коэффициенты уравнений (5.3.22) выражаются через искомые функции и, и, Ь на (и+1)-и слое, для нахождения окончательных значений этих функций необходимо применить итерации. В первой итерации в формулах (5.3.22) значения искомых функций на (и+1)-м слое полагаются равными значениям соответствующих функций в соответствующих 'по номеру на слое точках. Итерации заканчиваются, когда выполняются условия сходимости итераций с заданной точностью для функций и и Ь: Ьва = Шал ( Лооао ( ( Згао ао ЛЬи = шах(ЛЬ )(з12.
а+По 1 1 и и и+1 и+11 )от-1/2 = 4 ()оа-1+ )о~и+ рп1-1+ )ота )> а+По о / п+1 а 1 и+122 2 Г и.О1 и и,„+, — — ~(и +1+и +1),иао 1 = В~и 1+и~ 1). Значения начальных прогоночных коэффициентов находятся из нижнего граничного условия при у = О на стенке: Ао,о Ао,о=О, Во,о=О Во,о Ьа. Толщина температурного . слоя может быть больше толщины динамического пограничного слоя.
Поэтому после того, как будут вычислены прогоночные коэффициенты Ао „и Во,а для всех точек динамического слон (т. е. во всех М точках, где было уже вычислено Ь), необходимо проверить условие гладкого сопряжения для Ь: ° ~ Ь вЂ” — Ь"-~ ~ ( еа. 130 Только после этого можно перейти к расчету следующего по х слоя. Для решения системы уравнений (5.3,13) — (5,3Л6), помимо граничных условий'(5.3Л7), (5.3Л8), необходимо также задавать профили искомых функций и, и, Ь для некоторого х = х,, 5.3.7. Разностная схема, обладающая свойством.
сильной стабилизации высокочастотных возмущений. Симмет'ричная шеститочечная схема, использованная в основном методе, плохо «гасит» высокочастотные возмущения< В областях, где велики градиенты искомых функций или нарушается гладкость начальных либо граничных условий, появляются медленно затухающие .колебания..'Разностная схема, описанная в настоящем пункте, совсем не требует итераций, обладает точностью, второго порядка и при этом хорошо «гасит» высокочастотные возмущения. Заметим сразу, что поперечная составляющая скорости и находятс<ь из уравнения неразрывности так же, как в п. 5.3.4.
Искомые функции, для которых определя<бщими являются уравнения второго порядка, находятся следующим образом. Сначала находятся предварительные значения /<-+ +1 на (и + 1)-и слое, так же как и в основной раэностной схеме, из (5.3.6) при г< = 1, с той лишь разницей, что коэффи-. циенты а, (/, с, <(, е вычисляются на я-и слое: "а+1 <а <а+1 <а+1 1 а+1 +1 а а+1 а+1 а /<у 1 [[/<,<а+1 /«,<а ] с<ха+1/1 [/<,<а /< а< 1] е< а< 1/«] + + <1< + е< 7'+'.
После этого из уравнения неразрывности определяется о" '". Вторые предварительные значения /<~~, на (и+ 1)-м слое находятся в два этапа. Сначала находятся значения /<~+'/'-на полуцелом слое (и+ 1/2) с шагом йх/2 из уравнений < +1/«<а <а+1/1 <а-<-1/1 1 ][/«,а+1 /<,<а ] Е<,<а+1/» [/<,<а /<,а<-1] Е<,<а-</1) + су + <<«,а< + Е<,<а/«,<а 131 а затем вычисляются Д ' из соотношений »и+1»и+1~1 тп+1»п+1 +1!1 'т 1"" дпп и 1 (Ь,т+1 Уп»,т 1 с1 тУ1/1 [Л,т У1,т-»[ с»' т-1!1) + ау' с»п»»1~1, и+1/пзп+1 + 1,т + С»,т У1,»п ° Окончательные значения Д+' получим в виде линейной комбинации двух предварительных значений: Д+' = =и+1 и+1 = 2~1 — ~1, используя которые, пересчитываются значения р +'".
Таким образом, нахождение всех искомых функций на (и+1)-м слое заканчивается и можно переходить к расчету следующего слоя. Легко убедиться в том, что по требуемому объему памяти описанная в этом разделе схема не хуже основной разностной схемы, а по чис лу операций на слое равноценна трем итерациям по основной схеме. з 5.4» Разностная схема для решения иестацноиариьгх уравнений пограничного слоя Нестационарные течения в пограничном слое возника.
ют потому, что либо время с начала эксперимента мало, либо условия на стенке меняются во времени (нестационарный вдув, непостоянная температура тела), либо иаменяются условия во внешнем потоке, например скорость и температура. Впервые задача о нестационарном пограничном слое для несжимаемой жидкости сформулирована основоположником теории пограничного слоя Л. Прандтлем в 1904 г. Первые результаты были получены через четыре года Блаэиусом, который исследовал задачу о внезапном приведении покоящегося тела в равномерное движение.
Система уравнений, описывающая нестационарвое течение сжимаемого газа в пограничном слое, в плоском случае имеет вид +э+э=О(541) др д (ри) 'д (рп) ди ди ' ди др д / ди1 р — + ри — + ру — = — — + — ~р — ), (5.4.2) д1 дх ду дх ду [, ду»)» дз дЬ дь др 1 д 1 дй1 р — + ри — + ру — = — + — — ()1 — )+ дг дх ду д1 Рг ду [ ду! + (1г 1) Мо [и д + )1( д ) 1» (5.4.3) р = й(й — $)-'рй-'. 132 ~та система записана для безразмерных величин, которые введены следующим образом: о „з ')/Ке и "о )ио х= — у= — и= — Ь=— )1 ."= ~ 1 = ~ =э э о о )о= р = — у=в (5.4.4) )"о ро о Здесь Ь вЂ” энтальпия, Т вЂ” время, о — характерная длина, р — динамический коэффициент вязкости, Ке = и,)р/)о— число Рейнольдса, р — плотность, й и У вЂ” составляющие скорости соответственно по х и у; величины с чертой— размерные, с индексом «0» — соответствующие величины во внешнем потоке в начальный момент времени.
В уравнении (5.4.3) Рг = росро/Хо — число Прандтля, Мо — число Маха в набегающем потоке, Ь со/с, — показатель адвабаты. Граничные условия для системы (5.4Л) — (5.4.3) в общем случае можно записать так: и=О, и= У(о, х), Ь=ЪИ, х) при у= О, (5.4.5) и = йод, х); Ь = Бой, х) при у — °, (5.4.6) гДе У(о, х), Ь(о, Х), йо(о, х), ЬоИ, х)' — некОтоРые заДанные функции. Решение системы (бе4.1) — (5.4.3) с граничными условиями (5.4.5), (5.4.6) мы ищем для 0 < $ < Т и х, < х ~ Х, предполагая, что функции и, и, Ь известны в начальный момент времени г = 0 и при х х, для всех ~ ~ (О, Т). Прн ~ = 0 функции и, и, Ь могут быть заданы из различных соображений.
Если предположить, например, что лри (=0 тело обтекается установившимся потоком газа, то и, и, Ь можно задать из решения соответствующей стационарной задачи. Задание и, и,, Ь при х = х, для 0 к 8 ( Т зависит от характера задачи. Если рассматривается нестационарное обтекание затупленного тела, то и, и, Ь могут быть получены при х, = 0 из решения системы уравнений, описывающей нестационарное течение в пограничном слое в критической точке. Нестационарные эффекты в пограничном слое обусловливаются не только заданием условий при х = х„ но и заданием граничных условий на теле и на внешней границе пограничного слоя, зависящих от времени.
Именно эти Условия в основном и определяют нестационарность тече- 133 ния в пограничном слое. Рассмотрение задач с граничными условиями, нестацнонарнымн на стенке и не зависящими от времени на внешней границе пограничного слоя, нам представляется более простым. Задание таких граничных условий, на наш взгляд, не должно вызывать особых трудностей. Выясним, каким уравнениям должны удовлетворять нестационарные граничные условия на внешней границе пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
