Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В уравнении (3.1Л) положим ( О, а«$ и рассмотрим задачу Коши с начальной 75 функцией, являющейся сеточным аналогом функции точечного источника: ие = 1, и~ = 0 при и» ~0. На первом слое значения, отличные от нуля, получим в трех уалах: и'1= — 0,5$(1 — )<), и' = 1 — )<<, и, '= 0,5й(1+ й). Здесь, как обычно, й — число Куранта. При й(1 имеем ы~х(0, т. е. свойство позитивности нарушается. Легко видеть, что нарушение позитивности наиболее выражено при )« = 0,5.
Для й = 0;5 имеем и'1= — 0,125, и»1= 0,750, и1~ = 0,375. Пользуясь схемой «явный уголок» (3.2.1), на- 1 1 ходим ио= 0,5, и1 = 0,5; прочие значения на первом слое — нули. В табл. 3.4 сопоставленьг результаты расчетов по рассматриваемым схемам для я 2 (при й = 0,5). Таблица 3.4 7 Схема 0,562 «Чехарда» 0,015 — 0,187 0,469 0,141 0,500 0,250 <Явный уголок» 0,250 Очевидно, что с качественной точки зрения схема «явный уголок» лучше воспроизводит точное решение (и = 1 при х=«, и=О при хват). Для того же уравнения рассмотрим краевую задачу с условиями 0(я(+, 0(1(Т; и(0, х) О, и(1, 0) 1.
Решение этой задачи есть разрывная функция, равная 1 при х (1 и 0 при я > й Расчет по схеме «прямоугольник» (3.31) с Ь=0,01, т=0,05, что соответствует й=5, дал следующие результаты на десятом слое по времени (для т от 1 до 60), приведенные в табл.
3.5. Таблица 35 1,01 0,95 1,08 1,01 0,92 0,94 1,03 1,10 1,08 1,01 0,92 0,88 0,90 0,96 1,04 1,10 1,14 1,13 1,06 1,01 0,94 0,87 0,83 0,82 0,84 0,88 0,95 1,02 1,10 136 1,21 1,25 1,26 1,26 1,23 1,18 1,13 1,06 0,98 0,89 0,81 0,72 0,65 0,56 0,49 0,42 0,36 0,31 0,26 0,22 0,18 0,15 0,13 0,10 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 Имеются заметные нарушения монотонности. Осцнлляцни на верхнем уровне (и ~ 1) достигают +26$ и — 18~)~,. 3.5.3. Явное сглаживание. Простой пример регуля4внзацни доставляет следующая процедура.
Значения и" на верхнем слое, полученные с помощью той или иной схемы, в+ 1. заменяютсж сглаженными и Здесь а — некоторое положительное число (параметр сглаживания). При сс~0,5 операция (3.5.1) реализует усреднение (взвешиванне) аначений в трех соседних узлах с неотрицательными весовыми коэффициентами. На решениях специального вида, гармонически зависящих от а, сглаживанию по формуле (3.51) соответствует дополнительный множитель Л,„„— 1 — 4со зщ —. (3.5.2) При оо < 0,5 имеем !Л„! ~ 1, т. е. сглаживание не йарушает устойчивости основной схемы.
При оз и4 0,25 с увеличением е от 0 до и/)о модуль Л„, монотонно уменьшается, так что высокие гармоники подавляются сглаживанием сильнее. Влияние параметра сглаживания со на Л„, количественно характеризуется данными табл. 3.6. Таблица 3.6 ола о,ои о.оа 0,01 0,05 0,10 0,25 '0,50 0,986 0,931 0,862 0,655 0,309 0,974 0,964 0;869( 0,819 0,738 0,638 0,345 0,095 — 0,309 — 0,809 0,996 0,981 0,962 0,905 0,809 0,960 0,800 0,600 0,000 — 1,000 Ясно, что параметр сглаживания оо не следует выбиРать слишком большим, чтобы не'подавлять низкочастотные составляющие решения.
С другой стороны, при слишком малом со эффект регуляризации может оказаться недостаточным. Обычно параметр сглаживания а подбиРают опытным путем, сравнивая результаты расчетов при Различных значениях со. Выбор а считают удовлетворительным, если при увеличении или уменьшении сс, ска- 77 жем в 1,5 — 2 рава, численное решение не меняется в пределах требуемой точности. Малое изменение решения свидетельствует, с одной стороны, о достаточно эффективном подавлении высокочастотных помех, которые при недостаточном сглаживании обнаруяили бы себя для меньшего с«, и, с другой стороны, о малом искажающем вли)«нии сглаживания на решение (это влияние, будь оно сильным, обнаружилось бы через заметное «гладкое» различие двух графиков).
Применение сглаживания требует осторожности и некоторого глазомера, что приобретается опытом. Большей опасностью представляется завышение с«; «красивые» гладкие кривые воспринимаются обычно менее критически, чем графики, испещренные осцилляциями. .3.5.4. «Вязкость сглаживания». Сглаживание по формуле (3.5Л) можно интерпретировать как аппроксимацию диссипативного эффекта, связанного с некоторым параболическим уравнением. Положим, в формуле (3.5Л) а , — *т/я* и преобразуем ее к виду ии+« — и" и"+~ — 2ии+~+ «и+~ — (3 5 3) т ь Мы получили схему, аппроксимирующую уравнение теплопроводности и (3.5.4) На основании принципа расщепления (см. п.
2.2.4) можно ожидать, что при последовательной реализации сеточных аналогов уравнений (ЗЛЛ) и (3.5.4) аппроксимируется «составное» уравнение ди ди д«и — х а — =/+Š—, д«дх дх» ~ которое описывает конвективный перенос с диссипацией. Модельные примеры и численные эксперименты подтверж-- дают это предположение. Представление параметра сглаиивания в виде с« ет//«' облегчает выбор для него подходящих значений и выявляет его зависимость от шагов сетки т, /».
По аналогии с «вязкостью ацнроксимации» слагаемое зд»в/дя» в уравнении (3.5.5) можно назвать «вязкостью ск«аживания». 78 3.5.5. Неявное сглаживание. Аппроксимпруя (3.5,4) с помощью неявной четырехточечной схемы (2.4ЛО), получаем формулу неявного сглаживания ай++~, — ($ + 2а) й~' + аи«+', = — и„",+', а = ет/Ь«.
(3.5.6) Уравнение (3.5.6) решается с помощью трехточечной прогонки (см. п. 2.2.5). Легко убедиться в том, что неявное сглаживание устойчиво при любых положительных значениях а. Поэтому оно применяется в тех случаях, когда нужна интенсивная регуляризация (например, при расчете разрывных решений). 3.5.6. «Искусственная внзкость». В качестве исходного пункта принимается уравнение (3.5.5). Добавление к уравнению переноса «исйусстеенной вязкости» зд'и/дх'. делает решение непрерывным и гладким разрывы заменяются переходными вонами, ширина которых зависит от з.
Уравнение (3.5.5) аппроксимируется с помощью той или иной схемы второго порядка точности. В методе «искусственной вязкости» отрицательные свойствй схемы как бы компенсируются улучшением свойств уравнения. Так как профиль решения на последующем слое несколько смещен относительно. профиля на предыдущем слое, то целесообразно сглаживающую добавку записывать на верхнем слое. Прн обособлении этапа сглаживания это делается автоматически. 3.5.7.
Повышение промежуточного слоя. Способы регуляризации, описанию(«е вьппе, непосредственно вводят «вязкость», содержащую вторую производную по пространственной переменной. Для регуляризации можно так-. же испольэовать «еременные «лености», содержащце дифференцирование по временной переменной. При анализе диссипативных свойств «временных вязкостей» дифференцирование по Ф можно заменить дифференцированием по х с помощью уравнения (ЗЛЛ) (см.
п. 3.4.4). Так, для схемы «чехарда» в уравнениях (3.2.7), определяющих значения на промежуточном слое, вместо 0,5т пишут (0,5+ )«)т, где )» — положительйое число (параметр повышения промежуточного слоя). При этом в й«т~* появляется добавка, главная часть которой, как легко видеть, есть )»т ди/д«. Это порождает в значениях й+', вычисляемых по (3.2.8), добавку; главная часть которой равна — то — ~)»т — ) = то — ()»та — ) (для простоты мы положили'/ '0). 79 Повышение промежуточного слоя моделируется доз г аэт бавлением в правую часть (ЗЛЛ) слагаемого еа — ~а — ) - а» ~ а»/. при е )»т, что указывает на диссипативный характер получаемого эффекта. ' Для неявных схем (З.ЗЛ), (3.3.7) коэффициенты 0,5 при выражениях, 'аппроксимирующих а ди/дл на верхнем .
и нижнем слоях, заменяются соответственно на 0,5+)» и 0,5 — )«, где р — положительное число. Легко видеть, что при этом в составе погрешности аппроксимации появляется слагаемое )»т д'в/дг». При / » 0 и а = сове« оно преобразуется к виду е б«и/да»; е )»те». «Временные вязкости» обладают несколько большей «мобильностью» по сравнению с '«пространственными», поскольку они быстрее реагируют на резкие, изменения искомой функции во времени. Глава 4 МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИССИПАЦИИ» КОНВЕКЦИИ И КИНЕТИКИ $ 4Л. Уравнения; краевые задачи; свойства решений 4ЛЛ. Модельные уравнения.
Перенос тепла (вещества) теплопроводностью (диффузной) и конвекцией описывают с помощью диФференциальных уравнений параболического типа. Общее модельное уравнение диссипации, конвенции и кинетики запишем в виде ди д и ди — — — а — '+ Ъи+ 1(о,х). (4ЛЛ) а» лх» ах (4,1.3~ Здесь т, а, Ъ вЂ” постоянные козффициенты, т) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
