Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В следугощей работе [41] Смит и Клаттер прпменплп свой конечно-разностмый метод для расчета сжимаемого пограничного слоя. Вводя переменные Хоуарта — Дородницына и функцию тока, авторы получали систему двух уравнений: одна уравнение третьего порядка, другое — второго. Производные по з аппроксимируются по трем точкам. Авторы проводили эксперименты с записью производной по з по четырем точкам, но не получила при этом существенного повышения точности. Полученные после аамены производных по х обыкновенные уравнения поперек слоя решались методом «пристрелки».
На каждом слое по з проводился следу«ощпй процесс итерации: сначала решалось уравнение движения, далее — уравнение энергии, затем пересчнтывалвсь коэффициенты, вавпсящие от температуры, н снова интегрировалось уравнение энергии; после атого проводилось решение уравнения 235 движения и опять дважды решалось уравнение энергии. Проведено решение трех частных задач. обтекаияе затуплевного 45-градусного клина потоком несжимаемой жидкости, обтекание пластины сжимаемой жидкостью при переменной температуре поверхности и расчет течения в пограничном слое на затупленном теле при наличии диссоциацвп.
Такой же метод был применен Смитом п Джаффом для расчета пограничного слоя в неравповесио реагирующем гааз [42]. Расчеты проводнлмсь для воздуха, который рассматривался как бинарная атомно-молекулярная смесь. В работе В. П. Замураева [43] рассматривается погрэничйый слой в сжимаемом газе около пластины. Предполагается, что теплоперодача осущоствляется не только обычной теплопроводностью, но и ивлучением. Относительно излучения делается ряд упрощающих предположений. Разностный метод, применявшийся при расчетах, сходен в основном с методами, развитыми в гл.
5. Две разностные схемы, существенно отличающиеся от упоминавшихся выше, рассмотрены И. В. Петуховым. В [44] предложена неявная четырехточечная двухслойная по х схема, имеющаи четвертый порядок точности относительно шага в поперечном направлении. Для уравнений второго к третьего порядков схема огроитси следующим образом. Вначале уравнение в частных проиаводпых сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для определения средних арифметигеских значений искомой функции па двух соседних слоях по х. Затем полученное уравнеиие аппроксимируется схемой четвертого порядка относительно Ьу; при этом используются соотношения, вытекающие из дифференциального уравнения.-Для нахождения значений искомой функции на полуцелом слое необходимо вычислить и хранить значения ее первой и второй производных яо у во всех'-узлах сетки. Значения функции пэ следующем целом слое находится.с помощью найденных значений па полуцелом слое.
Такая разпостная схема применяется для решения уравнений сжимаемого пограничного слоя, которые сначала преобразуются путем введения функции тока и преобразования Дородвмцына — Стюартсона к системе двух уравнений, одно из которых третьего порядка, а другое — второго.
Расчеты проводились в обобщенных параболических координатах. В статье приводятсл результаты расчетов по этой схеме двумерных течений сжимаемого гааа в пограничном слое около кругового цилиндра и сферы. Схема, предлои]энная в [44], использовалась в расчетах [45]->[4?]. В работе А. Л. Анкудинова [45] приводятся результаты расчета пограничного слон на сфорически затуплеиных конусах в сверхзвуковом потоке сжимаемого газа нри нулевом угле атаки н постоянной температуре стенки. Отметим, что шаг сетки в поперечном направлении был неравномерный, а в области разрыва кривнвны поверхности шаг согни в -продольном направлении значительно уменьшался.
С> Н. Селиверстов [46] провел расчет сжимаемого ламинарного пограничного слоя на сфере, обтекаемой азотом, с подводом гелин в качестве охладителя. Коэффициенты переноса рассчитывались ио формулам Уилке. Ламппарный погранпчпый слой на эллнпсопдах вращения изучен в работе В. А. Башкина и Н. П. Колина [4?]. В работе выяснено влияние формы тела на теплопередачу.
Применение схемы, описанной в работе [44], приводило к неправильному по деваю решевия в области его резкого иамеиения по в. Объясняется это явление хорошо известиым недостатком симметричных разиостных схем, состоящим в том, что оии плохо егасятэ высокочастотные зоамущеяия. Введение весовых множителей делает схему более устойчивой по отношению к высокочастотным возмущениям, однако из-за снижения порядка точности приходится уменьшать шаг в продольном паправлепии. И. В. Петухов в работе [48] построил двухслойную схему второго порядка точности относительно Лх, обладазощуго хорошими стабилизирующими свойствами. Схема реализуется с помощью итераций. Построенная таким образом схема позволила получить гладкое решепие в области бочьшцх продольных градиентов, ве прибегая к измельчепию шага.
Приводятся результаты расчетов полраяичиого слоя иа сферически притупленном конусе. В работе В, В. Щоииикона [49] для расчета ламииарного пограпичиого слоя в сжимаемом гаае строится разноствая схема, основанная па аакоиах сохраиения. Система уравпеяий двумеряого ламинарпого пограничного слон записывается в диворгептпой форме: Йч фа=0, 5=1,2,... В плоскости (х, у) вводятся неподвижная (в; = Йж у, = =Гйу) и полуподвижиая (лг = (1+э)Лх, у> = (1+112)Лу) сотки. Использование формулы Гаусса для элементарной площадки дает ф ф„„йи ф фщ„(у Ъ ь б(ч фа — Ехай + ЬхЬ + е = О.
Здесь Ь вЂ” контур элементарной площадки; фа„ фээ — проекции вектора ф» иа оси л и у. Интегралы в последвем соотношении замеилются по формуле трапеций, а производные по у — цеятральяьтми раапостями в точках смепшлиой сетки (лы уи). Построенная схема устойчива для 1/2 < ч (1 и кри э =1/2 имеет аппроксимацию второго порядка. Ъта разностпая схема использовалась для интегрирования системы четырех уравнений, описывающих течепие в ламинарном пограничном слое у сублимирующей сферы, состоящей иа твердой углекислоты. Коротко излагается также метод получения .разяостпой схемы с более высокой точвостью аппроксимации, использузощий идеи метода интегральных соотношений.
В работе Фусселя л Хеллумса [50] уравнения пограничного слоя в сжимаемом газе с помощью преобразования Гертлера приводятся к системе двух уравнений, одно иа которых третьего порядка, а другое — второго. В случае несжимаемого газа получается одно уравнение третьего порядка. Для таких уравнений построена двухслойная симметричпая разяоотвая схема. На каждом расчетном слое методом прогонки решается система алгебраических уравнений с пятидиагональной магрицей. В работе Марешаля и Рона [5Ц система уравнений сжимаемого двумериого пограничпого слон путем введения новой перев ие меялои ч = 11 — ' ~ р(у) йу и функции тока ф преобрарыривея П о зуется к системе двух нелинейных уравнений второго порядка относительно неизвестных фуннций У = Г' — 1 и 2 = 8 — 1 (гдэ 1= 1 Н иэ $, Ю = —, Н = 1+ — и штрих означает произ- Н ' 2 р р и з е водную по ц) с граничными условиямн Ч=О У= — 1, г= —" — 1, Н е т] = сю, г" = О, 2 = О.
Заменяя производные по з разностным отношением по двум точкам, авторы получают ренуррентную систему двух обыкновенных уравнений по ть метод решения которой не обсуждается. Вопросы удовлетворения граничных условий на бесконечности пе запрагиваются, хотя приводятся результаты расчетов вплоть до точки огрыза для обтекания цилиндра сжимаемой и несжимаемой жидкостями. Н. В.
Кривцова [52] использовала разностную схему, предложенную в работах [15, 18], для численного исследования еупиверсальных» функций, введенных в рассмотрение Л. Г. Лойцянским. В работе исследуется ламинарный пограничный слой в равновесно-диссоцннрованном газе. В работе Виппермана [53] строится трехслойная по з разностная схема четвертого порядка точности относительно шага з поперечном направлении для уравнений сжимаемого пограничного слоя, к которым предварительно применяются преобразования Стюартсона и Крокко. Исследовано поведение решения в зависимости от числа точек па слое.
Двухслойная неявная шестнточечная разностная схема четвертого порядка точности относительно шага в поперечном направлении и второго порядка точности относительно шага в продольном направлении построена в работе А. В. Гордеева и В. М. Пасконова [64]. В отличие от схемы работы [44], для реализации данной схемы необходимо хранить в памяти голы<о аначеиия самой искомой функции. Метод четвертого порядка точности относительно шага в поперечном направлении построен в работе [65], Длн этого используется интерполяциенный полипом четвертого порядка, аппроксимирующий искомую функцию по ее значениям в трех соседних точках. Разработанный метод применен для расчета пограничного слоя с учетом тепло- и массообмена и химических превращений.
Неявный многоточечный метод высокого порядка точности для расчета двумерного ламинарного сжкыаемого попраничного слоя построен в работе Грудманна [66]. Метод применен для расчета коэффициента трения вдоль лопаток радиального осевого компрессора. В работе С. В. Русакова [67] дан обобщенный подход к посвроеяню целого нласса схем повышенного порядка точности, базирующихся на сплайн-интерполяции. Расчеты проведены на модельной задаче для линейного уравнения Бюргерса. Келлером,п Цебесп в работах [68], [69] предложен метод для решения задач ламннарпого н турбулентного пограничных слоев. В этом методе исходные уравнения для несжимаемого погранич- 238 пото слоя сводятся к системс уравнспкй первого порядка.
Полученная система аппрокснмируется на четырехточечном шаблоне центральными разностями. Рааносгная сетка поперек слоя может выбираться существенно неравномерной. Для решения нелинейной системы рааностных уравнений используются итерация, а линейные системы уравнений решаются с помощью блочного метода. т 2. Применение равиостиых схем для расчета двумерных иестациоиариых течений в пограничном слое Число работ по применению раэностпых методов для расчета постацконарных двумерных течепий в пограничном слое сравнительно невелико. Методика н результаты расчетов работ '[70], [7(] были изложены в э 5.4 и п.
5.5,5. В работе Фариа и Арпачи [72] строится нвная двухслойная по времени разностная схема для системы уравнений пестационарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Производная по времени аппрокскммруется по двум точкам, а пространственные производные — симметричным образом по трем точкам на предыдущем временном слое. Уравнение нераарывности служит для нахоящения поперечной составляющей скорости и аппрокскмпруется обычным образом по четырехточечной схеме. В работе приводится условие устойчивости схемы. В качестве примера рассматривается течение, нестационарный характер которого вызывается колебаниями внешнего потока (гэ = 1 + +Л(7ээ(п мг, где ю = ыр/(Гэ, а ы — беаразмерная частота, Ь(гав безразмерная амплитуда скорости во внешнем потоке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
