Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Поэтому успех в применении этого метода ааэнснт от правильного выбора итерационного параметра о. Близкий по форме итерационный процесс предложен в работе [33], где оптимальное значение найдено в реаультате анализа модельного уравнения (см. также [30], [31]). Модификация метода, более подробный анализ сходнмости и определение о в ряде задач выполнены Э. Н. Сарминым [39]. В недавней работе [40] предложена двух- параметрическая формула для апярокспмацйи граничного условия вихря и показана эквивалентность итерационных процедур [31], [37[.
[40]. В работах К. И. Бабенко и Н. Д. Введенской [41] предложен подход к решению уравнений Навье — Стокса в переменных вихрь, функция тока, при котором решение «лпиеаризовапной» разностной схемы для основной задачи (6ЛЛ5), (6ЛЛ6) сводится к решению задачи Днряхле с некоторым интегральным граничным условием. В.работе [31] указана связь этого метода с другими методами расчета граничных условий при наличии внутренних итераций.. 2.2. Неявные схемы для уравнений в переменных вихрь, функция тока. Способ аппроксимации граничных условий для вихря имеет существенноо значение лишь для схем, в которых уравнения вихря и функции тока решаются раздельно.
Воаникающие при этом ограничения на устойчивость могут приводить к спижеия«о эффективности рассмотрешизх выше схем при расчете модлоппо изменяющихся во времени процессов. Поэтому поиски абсолютно устойчивых схем (аяалогичных неявным схемам длн уравпения теплопроводности или диффузии) актуальны. Одна««о в реализации таких схем имеютсл трудности, свяаанные с увеличен«пнем объема оперативной памяти, увеличением числа операций на слое и др. Одна из первых попыток использования неявных схем для уравнения четвертого порядка (6Л.21) предпринята в [42].
Построена неявная схема, для решения которой использовался метод матричной прогонки; при этом необходимо обращать матрицы с числом элементов, соответствующим числу узлов рааностной сетки, так как коаффициенты А, В, С в формулах, аналогичных формулам (6.3.5) — (6.3 7), явля«отея матрицами.
Реализация такого подхода в работе [42] для задачи о течении несжимаемой жидкости в канале под действием магнитного поля не дала преимуществ в сравнении со схемами па основе метода переменных направлений со скалярными прогонка»ш. Болев перспективной представляется неявная конструкция схемы (6.2.9), (6.2ЛО), в которой ищется ректор ~р = (о», «р). Это приводит для случая однородной изотермической жидкости к векторным прогонкам с матрицами второго порядка. Такая схема в сочетании с методом переменных направлений применена в работе [16] для решенил стационарной аадачи о течении на начальном участко плоского капала.
Полученный результат не был обнадеживающим, несмотря на абсолютную устойчивость схемы; для решения стационарной аадачи 249 (сетка 21 Х 21) требовалось довольно большое число (около 120) итераций системы уравнений вихрь, функция тока, что не давало преимуществ по сравнению со схемами, в которых осуществляются раадельные итерации уравнений для вихря и функции тока.
Возможно, что это связано с трудностями выбора итерационных параметров (ааметнм, что теория оптимизации итерационных параметров для решения методом переменных направлений подобной нелинейной векторной системы не разработана). В работе О. С.,Мажоровой и Ю. П. Попова [43] предпринята новая попытка реалпаовать идею матричного алгоритма для уравнений несжимаемой жидкости в переменных вихрь, функция тока. В отличие от [16], для решения системы матричных двумерных уравнений применялся ие метод переменных направлений, а другой итерационный метод, предложенный в [44] и, по-видимому, более эффективный длн систем такого типа.
Разностная схема [43]отличалась от [16] и [42] также рядом других особенностей, в частностк, нспольаовались специальный сеточный шаблон и метод Ньютона для решения лкнеарпзованяых уравнений на слое. Авторам удалось не только получить абоолютно устойчивузо схему, но к существенно сократить число итераций па слое. Однако для применения этого метода требуется использование ЭВМ с большой оперативной памнтыо для храпения промежуточной информации.
Недостатком является также большов число арифметических операций на слое. Тем не менее этот класс схем представляет интерес в связи с перспективами испольаовання многопроцессорных ЭВМ с болыпой оперативной памятью. 2.3. 11вные схемы и схемы повышенной точности. Консервативные схемы. Благодаря простоте реалиаацни, минимальным затратам оперативной памяти и минимальному числу операций па слое явные схемы, как указывалось выше, были исторически первым классом схем, которые применялись для решении уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости [1] — [4]. Более подробный обзор использования явных схем дап в [5], [10]. Мы остановимся иа некоторых схемах, применявшихся в последние годы.
Явные схемы первого порядка точности длн стационарных уравнений, построенные па законах сохранения, изложены в книге [7]. Опыт их использования показал, что при больших числах 1'ейнольдса (Рэлея) точноств недостаточна: существенную роль приобретают эффекты схемной вязкости. С другой стороны, существенны ограничения, связанные с предположением о стационар- ности процесса. Явные схемы второго порядка точности применялись в ряде работ Е. Л. Тарунина [10], [35] длн задач конвенции нри не слишком больших числах Рэлея, включая нестацконарные вадачи.
Эффективность этих схем существенно повышрна автоматическим вйбором временного шага в соответствии с условием устойчивости схемы, Следует заметить, что по временным затратам явные схемы упомянутого класса на сетках й — 0,05 соответствуют схемаы иа основе метода переменных направлений при использовании приближенных граничных условий для вихря типа (6.5.6), (6.5.7). Усовершенствование расчета граничных условий для вихря, использование подробных и.неравномерных сеток, оптимизация решения уравнения Пуассона привели к вытеснению явных схем.
Анализ явных и неявных схем, проводившийся в работе [20], показал, что явные схемы по аатратам времени ЭВМ приближаются к неявным схемам того же порядка точности лишь 250 е тех случаях, когда разностпое число Рейнольдса велико [Вез .ъ ~ 1), т. е. когда качество описания вязкости низкое. Последнее не означает, однако, что испольвование явных схем вообще бесперспективно для задач механики вязкой жидкости. Наиболее эффективно явные схемы могут применяться, по-видимому, в сочетании с аппроксимациями высокого порядка, реалиаация которых с помощью неявных схем представляет большие трудности. В последнее время вновь возродился интерес к явным схемам также в связи с использованием многопроцессорных ЗВМ.
И работе [46] реализована явная ревностная схема четвертого порядка точности, построенная на минимальном сеточном шаблоне и обладающая свойством консервативности и монотонности. Реализация ее осуществляется итерационным методом Зейделя при наличии нескольких релаксационных параметров. Тесты стационарных задач конвекции, выполненные в [46], показывают вначительные возможности этих схем в случаях, когда известны оптимальные параметры релаксации.
Ограничением является предположение о стациопариости задачи. Явные разиостные схемы высокого порядка точности успешно использовались также в работах [47], [48]. Для явных схем вопрос об аппроксимации граничных условий длн вихря не является столь актуальным, как для основной схемы.
В работе [49] схемы повышенной точности применяются в сочетании с методом переменных направлений. Среди явных схем отметим такзке [97], где используется специальная монотонная аппроксимация конвективных членов, в соответствии с которой в области больших значений раэпостного числа Рейнольдса физической вязкостью пренебрегается. В последние годы для двумерных уравнений в переменных вихрь, функция тока разработаны так называемые «энергетически нейтральные» схемы, в которых аппроксимации нелинейных членов не дает вклада в баланс энергии, а также схемы, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям [98]. Схемы, я которых выполнены различные балапсиые соотношения, рассматривались также в работах [99], [100].
Достоинством их являются возможности получения численного решения на сравнительно грубых' сетках при больших разпостиых числах Рейнольдса, а также при расчетах длительных нестациоиарных процессов. 2.4. Трехмеряые уравнения в переменных вектор-вихрь, потенциальный вектор. Для решения трехмерных задач в принципе могут применяться те же общие подходы, что и для рассматривавшихся выше двумерных уравнений. До недавнего времени считалось, что наиболее эффективным путем решения трехмерных задач является использование исходной системы в переменных скорость, давление [6.1Л) [см. также ниже, п.
3 этого дополнения). Однако в работах [50], [61], [66] для решения трехмерных задач использованы уравнепйя в переменных вектор-вихрь, потенциальный вектор. Рассматриваются стационарные задачи нонвекции в аамкпутых объемах. Применяются схемы на основе метода расщепления. Таннм обрааом, в переменных вектор-вихрь, потенциальный вектор возможно обобщение основной схемы и на случай трехмерных уравнений.
Явная схема использована в работе [67]. в 3. Схемы для уравнений в переменных скорость, давление Схемы в переыенных )>, р (скорость, давление), как и схемы в переменных ы, >р (внхрь, функция тока), широко применяются на практике. Исследования йоследних лет показыва>от, что труд- ности решения уравнений Навье — Стокса, связанные с малым параметром при старшей производной, в некотором смысле «ин- вариантный относительно аапнси исходных уравнений. Имеется, однако, ряд различпй, заставляющих авторов в тех или иных слу- чаях прибегать к записи исходных уравнений в переменных У, р.
Основным преимуществом является простота и естественность реа- лизации граничных условий для поля скорости, в особенности в случае многосвязных областей, где функция тока известна лишь с точнсстью до постоянной, а также при изучении течений со свободными поверхностями й пространственных течений. Существенной трудностью в построении разностных схем для уравнений в переменных скорость, давление является аппрокси- мация уравнения неразрывности в форме (6Л.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
