Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена (1185910), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Уравнения в пе- ременных вихрь, функция тона (6.2.1), (6.2.2) обладают в атом смысле очевидным преимуществом, в связи с чем существующие разностные схемы для этих уравнений, по крайней мерв в дву- мерном случае, более эффективны, чем для и, Ш р. Можио выделить три подхода к конструированию разностных схем для уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости в переменных ско- рость, давлепие, которые мы кратно рассмотрим. ЗЛ. Использование уравненяя Пуассона для давленяя.
Прн этом способе уравпепия количества движения (6.1.3), (6,1,4) ре- шаются совместно с уравнением для давления (6ЛЛ1). Граничные условия для носледпего, как указывалось в п. 6ЛЛ, определяются из уравнений количества два>кения с учетом грапичных условий для поля скорости. В таном виде подход использовался в работе [52] для решения задач со свободной поверхностью, а также в ра- боте [53] для решении трехмерной задачи. При реализации такого подхода требуется .получить решенно уравнения длн давления (6ЛЛ1) с высокой точностью, что представляет трудности, особен- но если учесть сложный харантер граничных условий (6ЛЛ2).
Для втой цели, по-видимому, целесообразно использование прямого ме- тода, как это сделано в работе [53]. 32. Введение слабой сн«имаемоста. Уравнение неразрывности записывается в этом случае в виде а — +й(чу=О, др дг (3) где р — давление, е — малый параметр. Смысл такой записи за- ключается в том, чтобы получить уравнение, разрешенное отно- сительно первых производных. Реп>ение этого уравнения совмест- но с уравнениями ноличсства движения (6Л.З), (6Л.4) вплоть до установления (др(д> = 0) позволяет получить стационарное ре- п>ение исходной системы.
В таком виде метод использовался во многих работах (см. [54] — [57], а также [8]). В одной из первых работ [54] вместо величины р в уравнении (3) использовалась более сложная конструкция р = р'+ (из+ из)(2. Воамо>дно ташке использование уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа прн параметрах, соответству>ощих слабой сжимаемости, что для задача конвекцйи реализовано, например, в работе [58].
252 3.3. Разпоетпые схемы е проектированием. Идея этого подхода состоит в том, чтобы получить иа первом этапе приближенное значение вектора скорости беэ учета уравнения кераврывпости, а затем его скорректировать, используя его проекцию па подпростравство солепопдалькых функций. Прп реализации этого метода обычно используется метод расщепления «по физическим процессамэ, в связи с чем в ряде работ встречается соответствующая терминология. Методы этого типа использованы в работах [59) — (63].
Оригипальпый вариант этого метода предложен Г. Н. гпмухикым [60), [62). Отметки, что практически все схемы для Рч р-систем требуют болыпой предварительной работы по выбору сеточных и итерационных параметров. ЗА. 'Грехмериые уравнения в перемепиых скорость, давление. Уравпекпя в переменных скорость, давлепие каясутся паиболее привлекательными для трехмерных задач, в связи с чем такая запись попользуется чаще, чем в переменных вектор-вихрь, потенциальный вевтор. К настоящему времени в трехмерном случае реализованы все пз упоминавшихся подходов (3.1 — 3.3).
Методы первой группы примепепы в работах [53), [68), [69) для расчета. трехмерных задач копвекции Рвлея — Бепара, Приближение слабой сжпмаемости (методы второй группы) применено .в работе [55) для аадач конвенции. Б работе [64) одна из схем, приведеввых в [56), использована для течения в подшипнике. Расчеты трехмерпои задачи о конвекции Развя — Бепара выполнены в работе [65).
Методы третьей группы применялись в работах [59), [63) для решеиия вадач обтекания препятствий. Коисервативиая епергетическп нейтральная схема для трехмерных уравнений в переменных скорость, давление построепа в работе [101). 3 4. Другие подходы к численному реглепню уравнений Нлвье — Стокса несжимаемой жидкости С помощью метода конечных разностей исследования ведутся широким фронтом, п пакоплекпый опыт позволяет увидеть пх достоипства и недостатки. )[остоппствами являются упиверсальпость, экономичность, сравпительпая простота реаливацпп.
Недостатками являются пе слишком высокая точность (а также трудности построения и реализации схем высокой точности и оценки точности), 'трудности прп аппроксимации областей с границами сложной формы. Поэтому ведутся поиски других методов. Мы лишь упомяпем здесь пекоторые основные подходы, разделив их па три группы. К первой группе относятся попытки применения прямых методов. Наиболее разработапы к настоящему времени для уравке. кпй Навье — Стокса методы Галеркпка и некоторые пх модпфпч кацпи [70), [7Ц. Эти методы обладают многими преимуществами, к числу которых относятся точность, возможность сокращепия объема информации и эвояомичпость. Одпако сходимость этих методов в апачителькой степени зависит от выбора пробных фупкций, поэтому ускешкая реализация их достигнута лишь в ряде специальных случаев, например в задачах копвекцпи при наличии свободных и периодических границ, где известпо апалитическое решение линейной задачи.
Ко второй группе следует отнести методы более общего характера, связанные с представлением решения в виде рядов или ип- 253 терполяционных многочлонов [72) — [74[. Применительно к численному моделированию аадач гидродинамической устойчивости важное значение имеют так называемые алгоритмы «без насыщения» [72). К третьей группе относится метод конечных елементов, имеющий много общих свойств с методом сеток, но отличающийся специальным выбором аппроксимаций с учетом тех или иных вариационных принципов. Современные варианты метода конечных злементов в прпмененни к уравнениям Навье — Стокса (см., наприыер, [75), [76) ) позволяют расширять класс геометрических объектов, но в настоящее время существенно проигрывают в окономичности расчета. Стремление к использованию лучших свойств из конечно-разностных и упоминавшихся здесь методов, приспособленных к проведению парачлельных вычислений на многопроцессорных ЭВЫ, приводит в последнее время к появлению новых методов численного решения уравнений Навье — Стокса (см., наприиер, так нааываемый обобщенный пнторполяционный метод [102)), детальная практическая проверка которых, одпаяо, является делом будущего.
Более подробное обсуждение различных направлений развитля численных методов для уравнений Навье— Стокса выходит за рамки данного обзора. 5 5. Краткий обзор прикладных проблем Решелие уравнений Навье — Стокса. дает возмоязность изучать сложные гидродинамические течения в замкнутых областях и волах отрыва пограничного своя, следах, течения при малых числах Рейнольдса, где нет явно выраженных пограничных слоев, и при больших числах Рейнольдса, когда пограничный слой и основное течение неустойчивы и содержат вторичные вихри, и т. д. Ранее для расчета таких случаев приходилось строить некоторую прнбшокениую гидродинамяческую схему, разделяя течение на зоны, установление связей между которыми представляет самостоятельную проблему.
Однако сегодня еще не все характерные типы течений, встречающиеся в прилолзепиях, моясно рассчитывать с помощью численных методов на основе уравнений, Навье — Стокса. Иа приведенных результатов следует, что с помощью численных методов практически освоен диапазон чисел Рейнольдса до 10' (в отдельных случаях и выше), но при больших Ве результаты требуют специального подхода и обработние). Это число Ке не слишком велико, если учесть, что многие течения в природе п технике, как упоминалось выше в 5 6.1, характеризуются значениями Ве = 10' — 10' (Ва 10" — 10"), т.
е. осуществляются в раавитых турбулентных режимах. Тем не менее результаты для освоенного практически диапазона чисел Ве (Ка) находят широкие прямые и косвенные применения. Наиболее важнымн являются случаи, когда реальный диапазон чисел Ке (Ка), встречающийся па практике, может быть воспроизведен данным вычислительным методом на ЭВМ. Этн случаи соответствуют следузощии фиаическим характеристикам течения и внешних полей: малые скорости У, малый характерный размер й большая вязкость, ппз- *) В литературе иногда встречаются результаты и при больших числах Ве, вплоть до 10, но к ним следует относиться с осторожностью ввиду влияния есхемной вязкостие.
кая плотность, слабое силовое поле и т. д. Построение в таких случаях математической модели, адекватной реальным условиям, нмсст важнейшее значение длн практики, так как позволяет значятельно сократить материальные затраты по отработке и экспериментальному моделированию (часто в полной мере неосуществимому). укажем некоторые из научко-технических направлений, являющихся перспективными в этом отношении. 1) Тепло- и массообмен прн осуществлении технических и технологических процессов в невесомости. Осуществление ряда проектов космической техники связано с проблемой поддержания теплового режима пизкокипящнх жидкостей в условиях невесовюсти, харантеркзующихся слабыми полями силы тяжести и числами Рэлся до 10' [79] — [81]. В последнее время интенсивно разрабатывается новое научно-техническое направление — космическая технология, целью которой является изучение фиаических процессов, получение веществ и материалов в условиях невесомости при характорпых значениях Ва до 10'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
