Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 66
Текст из файла (страница 66)
При этом отличие фазовых портретов от эллиптической формы говорит о том, что форма колебаний заметно отличается от синусоидальной. Глава 7. Решение диффеГ)енциальнык РРавнений е,'-"слг КС Н е Ых чее Кесл гс(еи )Эггглое Сага Построение решения систеглы иэ деук дифференциальных уравнении [модель детки-Бопьтерра) с поглощью функции С)Ер(о! пакета ОЕ(оо(е > ескн(ОЕСоо1х) ОЕр1ок((с)1СС[х(С), С)-х(С)*(1-У[С) >,61СС[У(С),С) .3*у(С) г (хрк) — 1) ), [х(г) У(С ) ),с -2..2,х — 1..2,у- -1..2,ассоих=Власе,ссс1е иолель яоехи-Волееерра', сотов !.3*у[С) [х(С)-1),х(С)*(1-У[С)),.1!) г (в) х! )в! х! ЪЪЪЪЪ Ъ4(4 с екне л т г-с т т е ч Ъ Ъ Ъ Ъ Ъ Ъ 4 гГ велич-[-е т е е т~~ ЪЪЪЪЪЪ ЪЪЪЪЪ „~г~гЕ ° «гктч Е «ЕалА е-к-,е е ~гцЛ е е е гх '3 3С 1 1 С Ъьчллл' ях.к".лк ЪЪхи ~ г с ел ел еее Щ11 еЪ.хге в~~н е е е Ъ х! 3! + ~К"-н-г-в-л.-у 'г',;:*.
и") ь",г '"."' "*..ь",г::!!!!'*! !!!,*;:)! * . ' г:.е,,'-..-'.*-' * ., ',';, гг. г '!.' '-*'" . 'г, *"), ы „; 7.5. Графическая визуализация решений дифференциальных уравнений 459 Следует отметить, что функция ОЕр1о! может обращаться к другим функциям пакета ВЕ!оо1в для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения. В файле г)ер)о!.п)чгв можно найти множество дополнительных примеров на применение функции 1)ер!о!.
7.5.4. Функция ОЕр!отЗг) из пакета ОЕтоо1в В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде проппрансшвенных кривых — например, линий равного уровня, или просто в виде кривых в пространстве. Лля этого служит функция ОЕр!о!3!). еер1огзг) иег)па, чага, ггапде, !оьгаег, о) 0Ер1огЗг)(г)ег)п*, чага, Сгапце, угапое, хгапое, ьпьсаес, о) Назначение параметров этой функции аналогично указанному для функции Глава 7. Решение днфферен[(иальных уравнений ]В] х[ ]В] х[ Я Еь ЕО( Ц Иее Гсов емеен Ш[р '[Построение ЗО фазового портререта с помощью функции ОЕр)о[За > н1ЕЬ (ос~х 1е);ОЕР1ЕЕЗВ((ВЕЕЕ(х(Е), Е) =У(Е), 01 ЕЕ (у (Е), Е) — нее (х (1) ) -у (Е) /10), (х (Е),у (1) ), 1.=-10 .. 20, етере[хе . 1, [ (х(0) о,у (О) =1]], 11песе1ех-Е/3) ) 05 7 5.
Графическая визуализация решений дифференциальных уравнений 46) )в) «[ )в) «) !ь Еде Еа( Ми«[пни коппи . * )Чк«)рп не)р [ Построение фазового портрета с помощью функции б())ер(о( пакета ОЕ[оо(а > 1»Ь(ОЬ»оо1»): ОС1е1др1ос([о1ЕЕ(х(с),ь] «(ь)*(1-у(т)),о(11((у(Ь),Ь) .З*у(Ь) (х(ь)-1)), [х(Ь) ,у(с) ), ь -2 .. 2,х — 1 ..2,у -1 .. 2,»клон« Власе, с[11о 'иолель лотки-Вольтера оо1от-[ .3«у (т) «(х (с) -1), х (с) ь (1 — у (с) ), . 1) ) ( 4 Е)е»~а в в-в-в в ° в (ь 4,Е ~ю»-(-в-в-в-в в в в Х и Г»» В-+-в в в в в в 4ФЕ~В-в(-вввввс ,ф,Е ~»~+ в в в и вь(~з~ 4 в (~а ( и в рцхь)~ ~ 41»л ~Ъ~~Ъ~ З,Ь в~гнмг«З' р.'ил 4б2 Глава 7. Реи(ение ди4(реренциальнь(х уравнений [е) х] ф 0]е саа и 1 мс г .«пег „«= уееи ье10 [е) х] '[ построение простого фазового портрета с помощью функции рпааероп]з(1 пакета ее[со!з > е)СЬ ГОЕГ с] а]: риахерсгьга11 [[О(х) (С] у [С] — г (т),О(у) (Ь)=г(С) -х(т) .0(г) [С) -х(Ь]-у (С] ~2), [х ( т) .у[С),г(С) ],С=" 2..2, ([х(0) 1,у[0] О, и (О) =2 ) ], а Сера)ге= .
05, асепе= [г (С), х (с] ), 11песс1спг-а ге (сарг/2], хесисд=с1ааа[са1 [Сеген 1ег] ]; 1 463 7.6. Уалуйленный анализ ди(р(реренциальиых уравнений 7.6. Углубленный анализ дифференциальных уравнений 7.6.1. Задачи углубленного анализа ДУ Мар!е 9.5 существенно доработан по части решения дифференциальных уравнений (ДУ) и систем с ДУ. Эта доработка, прежде всего, направлена на получение верных решений как можно большего числа ДУ разных классов и систем с ДУ.
В частности расширен круг нелинейных дифференциальных уравнений, для которых система Мар!е 9.5 способна дать аналитические решения. Весь арсенал средств решения ДУ и методика их применения вполне заслуживают отражения в отдельной большой книге. Мы ограничимся описанием только трех средств системы Мар!е — проверки ДУ на автономность, углубленным анализом решения с помощью контроля уровня выхода и получением приближенного полиномиального аналитического решения. Т.б.2. Проверка ДУ на автономность Одиночное дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнении называется автономной. если их правая часть явно не зависит от независимой переменной.
Для автономных дифференциальных уравнений или систем при построении графиков решений функцией ОЕр)о! не обязательно задавать начальные условия, но нужно указывать диапазон изменении искомых переменных. Для проверки уравнений (или систем) на автономность используется функция аосопоспопв (с)ев,чаха, 1чаг) где с)ев — заданное дифференциальное уравнение или (в виде списка) система дифференциальных уравнений, чагв — зависимые переменные и гчаг — независимая переменная.
Если система автономна, то эта функция возвращает !гце, в противном случае (а1ве. Примеры: > с)1Е1с=с)зсс(х(С),е) =х(С) *(1-у(С) ) г с)1Е2 с =с)1ЕЕ (у(С), С) =. 3*у(С) * (х(С) -1) с й71:= — х(г) =х(г)(! -у(г)) д дх й72: = — у(г) = 3 у(г) (х(г) — 1) д дх > апеопопсопв((с)1с1,с)112), (х(с),у(с) 1 1) ' (гие > аоеоповопв(с)хгс(х(С),с) =выл(с),х, С) В первом случае система дифференциальных уравнений (модель Лотки — Вольтерра) автономна, а во втором случае дифференциальное уравнение не автономно.
/лава /. / еи(ение аифференциальных уравнении 7.6.3. Контроль уровня вывода решения ду Для углубленного анализа аналитического решения ДУ (или системы ДУ) можно использовать специальную возможность управления уровнем вывода решения с помощью системной переменной ]пб(!ече](с[во[те):е]ече]. Значение 1ече]=а11 дает обычный вывод решения без комментариев, уровень 1 зарезервирован для информации, которую может сообщить пользователь, уровень 2 или 3 дает более детальный вывод (включая сообщения об использованном алгоритме и технике решении) и, наконец, уровни 4 и 5 дают наиболее детальную информацию (если таковая есть в дополнение к той информации, которую дает уровень 2 или 3).
Приведем пример аналитического решения ДУ третьего порядка с контролем уровня вывода решения (файл с]е]1): > туВЕ: = х" 2*с]ЬГЕ (у (х), х, х, х)— 2* (и+1) *х*с)хгг (у(х), х, х) + (а*х" 2+6*о) *с[1гг (у (х), х]— 2*а*х*у(х]=0; ( ,/з пзу0Е:=хз у(х) -2(п+1)х — у(х) +(ах +бп)~ — у(х) [[' ~ (ь' ~ [[ — 2аху(х) =О > гпго1ече1[аво1че) с= а11: с]зо1че(туРЕ]з у(х) = С/х("'из) Веяве!3[ — и- —, (ах 2 + С2х'" сн Веяяе]т'1-и- —, ~(ах + СЗ(4п — 2+ах ) 2' > гпсо1ече1[с]во1че] := 1саво1че(туоЕ)з <- Но Ьуоич1111ап во1игуопз ехЬзгз у(х) = С! х("'Уз) Веяве]з -и - —, Га х 1 2 + С2х("'[и) Вегас[У -п- —, ~Гах + СЗ(4п — 2+ах ) 2 > Ьпго1ече1 [с]во1че]:= 3 ссззо1че (туРЕ); Иегпос]з Еог С]зьгс) огс]ег ООЕз: — Тгугпо с1аззгггсаСЬоп теС)зос)з— Сгугпс а с]иас]гагиге с]зескгпсз гг С]зе ЬООЕ ]заз сопзгапС соеггЬс1епсз сиесХЬпд ЬГ С)зе ЬООЕ зв ог Еи1ег Суре Сгугпс агой огс)ег ехасС 11пеаг ги11у 1пгесгаЫе Сгугпс Со сопчегС Со а 1гпеаг ООЕ еЬС]з сопзгапС соегтгсгепгз ЕЧиасгоп Ьз С]зе ЬСЬм ог -2*х/(2*(2*п-1)/а+х"2)*у(х)+с)ггг(у(х),х], а*у(х) -6КОО 2*п/х*с)ггг [у(х), х)+с]згг [а111(у(х), х), х) с]зескгпо Ьг С)зе ЬООЕ Ьз ог Еи1ег суре -> йССетсргпв а с]1ггегепсга1 гассогхгагуоп СгуупсЗ ехропепСЬа1 зо1иггопз с]зес)сзпсз Сг С]зе ЬООЕ Ьз ог Еи1ег Суре 1, ехропепгга1 во1иггопв гоипс] ехропепСЬа1 зо1игзопз виссеввги1 с- с)ьггегепсга1 гасгогхгаггоп виссевзги1 7.6.
Уелубленный пнплиз диффлреицналы)ых урпннений -> Таск11пд Гпе 1гпеаг ООЕ "ав ддчеп": ггугпд а диас)гаеиге сьесхгпд Тг гпе ьоое пая сопвгапг соегг1с1епгз сьесквпд ТТ Гпе ЬООЕ 1я оТ Еи1ег Гуре ггу1пд а зуяхяеегу оТ гпе гоге [х1=0, ееа=г(х)! сйеск1пд Ьг Гпе ЬООЕ гв егввгпд 'у' -> тгуьпд а ьгоич111гап яо1игуоп ивгпд кочасгс'в а1доггг)хя <- Ио Ьуоич1111ап яо1иегопя ехгяез -> тгу>пд а яо1иг1оп 1п гегвв от зресга1 гипсггопя: -> Везве1 <- Веззе1 яиссеязги1 <- зрес(а1 Гипсвгоп яо1иггоп зиссезвги1 <- яиссеяяти1 во1чгпд ое Гпе 11пеаг ООЕ "ая дьчеп" <- зо1ч>пд Гпе ЬСЬМ осе виссеязеи1 у(х) = С)х["мп) Веяяе[У(-н — †.
~Га х 2 + С2х'" ч) ВеяяеИ(-п- —, чпх~ + СЗ(4п-2+ах~) 2 В данном случае повышение уровня вывода до 4 или 5 бесполезно, поскольку вся информация о решении сообшается уже при уровне 2 (или 3). 7.6.4. Приближенное полиномиальное решение дифференциальных уравнений Во многих случаях аналитические решения даже простыл ДУ оказываются весьма сложными, например. содержат специальные математические функции. При этом нередко полезна подмена такого решения другим, тоже аналитическим, но приближенным решением. Наиболее распространенным приближенным решением в этом случае может быть полиномиальное решение, то есть замена реального решения полиномом той или иной степени.
При этом порядок полинома задается значением системной переменной Оп)ег, а для получения такого решения функция <[во!че должна иметь параметр аепев. На рис. 7.2 ! представлено решение ДУ третьего порядка различными методами: точное аналитическое и приближенное в виде полинома с максимальным заданным порядком [О и 60. График дает сравнение этих решений для зависимости у(г). Дадим небольшой комментарий. Нетрудно заметить, что точное аналитическое решение весьма сложно и содержит специальные функции Бесселя и гамма-функции. При порядке полинома 8 (он несколько меньше заданного максимального) решение практически совпадает с точным до значении г < 2, а при максимальном заданном порядке 60 область совпадения расширяется до значений г < 5,5.
Затем приближенное решение резко отходит от точного. Этот пример с одной стороны иллюстрирует хорошо известныи факт — быстрое нарастание погрешности полиномиального приближения за пределами области хорошего совпадений решений. С другой стороны он показывает, что степень полинома более 60 (и даже выше) вовсе не так уж бесполезна, как это утверждается во многих статьях и книгах по полиномиальному приближению. Точность полиномиальных вычислений Мар[е достаточно высока, чтобы обеспечить получение приближенных полиномиальных выражений со степенью порядка десятков и воь Злава 3. й'ешение аиФференциальнБ(Х уравнении не Бег шеи )песо сс<х е Шап)с с 1х(П > )пво1ене)[бео1не) : а11с *с<ес-(0< (1 <у <1), ггг) †"г*у (Г) /г,у(0) -1,0<у) [01 =0); !сг 1- сос = ~ — ни — — -с )сс<,3<01=! ю с(03= 0 ,3) > с)ао1не(ьс<е.у[о) ) су1 с-где ($) с 3< 3,3 > огйссгс-10сс)оо1не(еде,у[с),епсеее] сугсс о пнегг<г)се(%),ро1упсе) с с':=1 — — с — — с с( '038 [> Огс) сгс босс)ео1не(ес)е,у<Ц,еегсее) суЗс сопнегС(г<се(В),ро1упое) > р1ог[[у)„уг,уз),1-0..0,-0.0..1,11пеегу1е-((,г,с), о1 Бы уа юа ОБ 7.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
