Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 64
Текст из файла (страница 64)
При этом процедура имеет особый вид!)в[ргосе()иге и для преобразования списка выходных данных в векторы решения т' и Л используется функция вцЬв. -)б) к[ 4ви ее[ ).к имп гт и Ы пспп Вер (б[ к) Рецмние системы из двук дифференциальных уравнении с выводом графиков искомым зависимостеи > зуз: ОЕЕЕ<у[к),к)-2 г(к) з1п(акк)-у[к)кспз(2 «) — к, гий(к(к) .к)-у(к) ггспз (у(к), к [к) ) г г: бас1ке ((зуа,у (О) =0,*(0) 1), еспз, суре-ппвес1с,ппсяо1-1(зсрсссеопсе): л И ие г= )(к) = 2 Кз) згибз) -)(з) спз()з) — к,— г(з) — )[з) ~Ь.
ак Гскх:,=.„[1(ге[ а;„) ), Глава 7. Решение ди4ференг(валеных уравнений 446 Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию: > гевсвхег > ес) := с)1«Г (у (х], х) + раеоевг ве (х<х"2-3, вхр (х/2) ) *у (х) г е4:=~ — у(х))+ е' х<х'-3 у(х) Ю дх 0 од)ег)с(ве Используя Функцию ()во]че, выполним решение этого дифференциального уравнения: > с)вогое(ес(, у(х))) „.~--"") 1 е -г« ' -гс" .гс' С!е 1 ЛЗ х< — —— 2 2 ,/Гз х< — +— 2 2 у(х) = Дз — + — <х 2 2 Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменения х.
Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией: > ес) с Жсс(у(х), х$2) + х*сггсс(у(х), х) + у(х) = р1есевгве(х > О, 1): ! 0<х е4:= — у(х)!+х~ — у(х)) у(х)+( ' ~а ' ) ~а ) 0 огйелнве > с)во1нв(вс), у(х) ); у(х) = Ы) ( «2) Г) х<0 .(-() „.,~ „„~,.(-() „,.(-;).я .(-( „. ед:= — у(х) = ( )у(х) а ( 0<х ] г ах 1 0 о()]егх(ве) > с)во1ое(( у(0) = 1, ес) ), у(х) ]) 1 х<0 у(х)= 2 О х — 2 г В заключении этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией: > вс) с= с)«1« (у(х], х) =ргвоевьве (х>0, х]*у(х) "2г 7.3. Гнециальные средства решения дифференциальных уравнений 447 В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений.
Ниже показано, как она делается для последнего уравнения: > а1вр11гу) ена1(ьсьь(Ъ, еч))); О х<0 0 х<0 4х 4т 0 х ~ 0 х (х) — 2 ) )(»' -2)' Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эФФективному применению функций этого класса. 7.3.3.
Структура неявного представления дифференциальных уравнений — 0ЕЗо! В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений не- Глава 7. Решение дифференциальных уравнений 7.4. Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений Оооо!в 7.4.1. Средства пакета ОЕ1оо!в Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Мар!е. Пакет ОЕ1оо)в предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями. Для загрузки пакета используется команда: > ч~ гь ( пееоо1в ): Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними.
По сравнению с версией Мар!е ч' К5 число функций данного пакета в Мар!е 9.5 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета ОЕ1оо)в были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть во всех реализациях системы Мар!е: ° ОЕпоппа! — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений; ° ОЕр!о1 — строит графики решения дифференциальных уравнений; ° ОЕр)о13б — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений; ° Осйапдечаг — изменение переменных в дифференциальных уравнениях; ° РОЕсйапдесоогбв — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных; ° РОЕр!о1 — построение графиков решения дифференциальных уравнений в частных производных; ° ац1опогпоцв — тестирует дифференциальные уравнения на автономность; ° сопчег)А!д — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений; ° сопчепвув — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнении; ° ббе)бр)о1 — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля; ° )пб)с)а)ег! — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные; ° рйвверобгай — строит график решения дифференциальных уравнении в форме фазового портрета; ° гебцсеОгбег — понижает порядок дифференциальных уравнений; ° геди)агар — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка; ° 1гапв)а1е — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов; ° цп1гапв!а1е — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения; ° чаграгагп — находит обшее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.
Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Мар!е К5, 6 и 9. 7.4. Инструментальный пакет региения дифференциальных уравнений РЕ(оо(в 449 7.4.2. Консультант по дифференциальным уравнениям Для выявления свойств дифференциальных уравнений в Мар!е 9.5 в составе пакета РЕ(оо!з имеется консультант (адвизор), вводимый следующей функциен: обеабч)аог(ООЕ) обеабч[аог(ООЕ, у(х), [(уре1, (уре2, ...й, )]е)р) Здесь ОРŠ— одиночное дифференциальное уравнение, у(х) — неопределенная (определяемая функция), (уре1, (уре2.... — опционально заданные множество типов, которые классифицируются и 1]е1р — опционально заданное указание на вывод страницы справки по методу решения.
Примеры работы с классификатором представлены ниже: > х1ГЬ (РЕГоо1в) з ОСЕ с = х*с)1гг (у (х), х) +а*у (х) +Ь*х" 2 з ОРЕ>х — у(х) +ау(х)+Ьх > оаеааньвог(ОРЕ)з [ йпеаг) > ОРЕ1 : = х*с)1ге (у(х) "2,х) +а*у(х) +Ь*х"2з ОРЕ): = 2 х у(ха — 1)у(х) + ау(х) + Ьх '1, с(х) > обеабн1вог (ОРЕ1) з [ гаг(опа(, [ АЬей 2пбОре, сlая ВЦ > ОРЕ2 с= с)1гг (у[в),х,х,х)+Р(о) (у(х) ) *с)1гг(у(х),х) "3 + 2*о(у(х] ) *сййсй(у(х), х) *с)1сс (у(х), х, х) + с)1гг (г(х],х) *с)1гг (у(х),х) + г (х] *айЕЕ(у(х), х,х) = Оз ( ,(з г с( ОРЕ2: = — у(х) + Р(д)(у(х))~ — у(х)! + 2 д(у(х))~ — у(х)! —, у(х) ~ (Ь,з 1((х [б )~б з + — ('(х) — у(х) +('(х' — у(х) = О (,б Дб 3 )[б ' > обеабньвог(ОРЕ2,у(х) ) з Ц Згб огбег, ехасг, попйпеаг1, [ Згб огбег, гебис(Ь(е, ти у2)) 7.4.3.
Основные функции пакета ОЕ1оо1в Рассмотрим наиболее важные функции этого пакета. Функция аиеопоаоив(бев,чагв, Ечаг) тестирует дифференциальное уравнение (или систему) беа. Ее параметрами, помимо беа, являются независимая переменная!чаг и зависимая переменная бчаг. Следующие примеры поясняют применение этой функции: > аигопопсоив(взп(г (г) -г [г] "2) * (066с)] (г) (г)-сов(г(г) )-5, г, г) з ггие > РЕ с =с)ьг г (х (в), в) -х (в) *сов (агссап (х (в) ) ) =агссап (в) > аиеопоесоив(РЕ,(х],в)з )а(ве йа заг. (Ео 450 Глава 7. Решение дифференциальных уравнений Ниже описание этой функции будет продолжено. Функция 0с])апдечаг используется для обеспечения замен (подстановок) в дифференциальных уравнениях: Рсьапсечаг (Ггапв, бес[па, с ьчаг, и ьчаг] Рсьапчечаг(сгап1, Ггап2, ..., Ггапн, бег)пв, с 1чаг, и гчаг) В первом случае (гапа — список или множество уравнений, которые подставляются в дифференциальное уравнение, список или множество дифференциальных уравнений ()е((пв.
При этом с (чаг — имя текущей переменной, и гчаг — имя новой переменной (его задавать необязательно). Во второй форме для подстановки используются уравнения (гап1, (гап2, .... Ниже представлены примеры применения функции 0с))апдечаг: (] Преобразование 1-го типа > Рсьапвечаг (з(х) =1(х) *51п (х), п (х) =к [х), (0(з) (х) =и (х), (РИ2) (и) (х) = и (х) "2], х); (О(!)(х)5)п(х)+!(х)с(ж(х) =1(х)5(п(х), (0п))(й)(х) =Цх)-'! > Рсьапяечаг (с=с], е=в1п (Е), (0(с], (0662) (е] ), сьпзъу) г (0(д) (0(2!нв)п(Г))! [) Преобразование 2-го типа > Рспапгзечаг(г=агсгап(еап],с)ггг(х(г),г1=вгп(г1,г,сап)г 0(х)(агс(ап(г)) = 5(п(агс[ап(Г ))) > Рсьапчечаг (в=выл (сов (Г) ), с)1ГГ (у(х), х, х, х), х, Г] г (0 )(у)(5(п(с05(г))) [) Преобразование 3-го типа > Рспапвечаг (х (г]=0*у(рпг), бггг (х(Г), Г53] = сап (г], г,риь) дз — Су(ф) = [ап(ф) дт) 5 Дополнительные примеры > Рсьапяечаг (( Г=Т*рп1,х (Г) 0*у(рп1) 1, б11Г[х (Г], Г53]=Сап(Г),Г,рь1)г > бе:= бдгг(у(х),х52) = у(х) *г]111(у(х),х) /хг Г дт у(х — у(х) д) [,дх де:= — у(х) = дх' х > Рспапвечаг([х=ехр(Г],у(х) =Х(Г) ],бе,х, Г) д д) у'(г) — —, г'(г) д(, дг' Ъ'(г)~ М(г) е' е' (е' )' е' 7.4.
Инетррлгентальный пакет решения дифференциальных уравнений ОЕгооЬ 451 Следует отметить, что подстановки являются мощным средством решения дифференциальных уравнений. Нередки случаи. когда дифференциальное уравнение не решается без их применения. Функция нормализации ОДУ ОЕпоггпа! синтаксически записывается в виде ОЕпохяа1 (без, уча х, бчах) где бев — система дифференциальных уравнений, (чаг — независимая переменная и бчаг — зависимая переменная. Применение этой функции поясняют следуюшие примеры: > ОЕ:= х"3*у(х)+х"2*(х-1) *0(у) (х)+50*х"3*(ОИ2) (у) (х)=х*зю(х]; ВЕ: = х] у(х) +х) (х — 1) 0(у)(х) + 50 х) (0(п)(у)(х) = хзьп(х) > ОЕ2: = сопчегСА1д (ОЕ, у (х) ) г ЮЕ2: = [[хз, хз - х), 50 х'[, хяп(х)) > ОЕпогеа1 (ОЕ, х, у (х) ) х у(х) + (х — 1)| — у(х)! + 50 х~ — у(х) ,(д ) (д 1 яп(х) > ОЕпоппа1(ОЕ2,х)г [х, х — 1, 50х[, — ~ | яп(х)1 х Функция сопчег(А!о(бев,бчаг) возвращает список коэффициентов формы системы дифференциальных уравнений бев с зависимыми переменными бчаг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
