Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 62
Текст из файла (страница 62)
На основе содержательной модели разрабатывается концептуальная формулировка задачи моделирования. Применительно к нашей задаче движение камня может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона. Гипотезы, принятые для модели: ° камень будем считать материальной точкой массой пг, положение которой совпадает с центром масс камня; ° движение происходит в псле силы тяжести с постоянным ускорением свободного падения я и описывается уравнениями классической механики Ньютона; ° движение камня происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли; ° сопротивлением воздуха на первых порах пренебрегаем.
В качестве параметров движения будем использовать координаты (х, у) и скорость у(у„, г,,) центра масс камня. 433 7.1. Введение в решение дифференциаггьныт уравнений Концеггтуальнал постановка задачи на основе принятых гипотез заключается в определении закона движения материальной точки массой т под деиствием силы тяжести, если известны начальные координаты точки х, и ум ее начальная ско- рость «о и угол броска его.
Таким образом, модель является простой — объект, как лгатериальная точка, не имеет внугренней структуры. Учитывая типичные скорости и высоту броска камня, можно считать постоянным ускорение свободного падения. Переход от трехмерных координат к плоскости значительно упрощает решение задачи. Он вполне допустим, если камень не подкручивается при броске. Пренебрежение со- противлением воздуха, как будет показано далее, приводит к значительной систе- матической ошибке результатов моделирования. Теперь перейдем к составлению матеманшческой лгодегги объекта — совокуп- ности математических соотношении. описывающих его поведение и свойства.
Из законов и определяющих выражений предметной дисциплины формируются урав- нения модели. По оси х на камень не действуют никакие силы, по оси у — действует сила тяжести. Согласно законам Ньютона имеем уравнения движения по оси х и оси у: т.— =О. и — = — т я, «„. = —, дгх дгу дх ду (7.2) дгг ' дгг ' л д « при следующих начальных условиях х(0) = хм у(0) =ум «,(О) = «О.совам «г,(0) = «гг.згпао.
Надо найти зависимости х(г), У(г), «„(г), гх(г). Математическая постановка решения задачи в нашем случае соответствует решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с зшганными начальными условиями. Известно, что решение задачи Коши существует и что оно единственное. Количество искомых переменных равно количеству дифференциальных уравнений. Таким образом, математическая модель корректна. Решение этой задачи есть в любом учебнике физики.
Тем не менее, выполним его средствами системы Мар!е. Из (7.2) запишем систему ОДУ первого порядка: д«„. д«г, дх ду дг ф " дг У дг (7.3) После интегрирования получим: д «„.(г) = Сг, «(г) = Сг — д.г, х(г) = Сг +Сг г, у(г) = С4 +Сг .г — ~ . (7.4) Определив константы интегрирования из начальных условий, окончательно запишем: у(г) = уо + "о згпсго 'г 8'г 2 х(г) = хо + «о ' созгг« ' г Из аналитического решения вытекает, что полет камня при отсутствии сопротивления воздуха происходит строго по параболической траектории, причем она на участках полета камня вверх и вниз симметрична.
Необходимые для расчета уравнения заданы в параметрической форме — как зависимости от времени, что. кстати говоря, облегчает моделирование по ним полета камня. Немного позже мы решим эту задачу, используя средства Мар)е 9.5 для решения систем дифференциальных уравнений. 434 Глава 7. Решение дифференциальных уравнений У.1.6 Классификация дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения могут быть самого разного вида.
На рис. 7.2 представлен раздел справки Мар!е 9.5 с классификацией дифференциальных уравнений. В ней предсгавлено: ° 20 дифференциальных уравнений первого порядка; ° 25 дифференциальных уравнений второго порядка; ° б типов дифференциальных уравнений высшего порядка; ° основные функции решения дифференциальных уравнений. ! в~ «! звз «! 'ан* ем и ад неь е г,« -] г««««вч « - ° А«пм««~ С «.~ ОН М Ь «ОСЕ 1« С««в ив! одеаг!т1вог С!авв!Вся!!ов Туров Ч - п«1«невою 7.1. Введение в решение диффереициидьных уравнений 'ф' ~ сок Хг Ь ' Едь Ьо!)(по ВегпопИ('В ОРЕВ - Т)еьсь(рноьь ° ТЬе дспсга) Еопп оЕ Вегпопьл с9оааоп х Вссп Ьу д(ЕЕ(у(х),х) У(х)*у(х) 9(х)ау(х) а 1'д а Ес лоп((г Ые =1( — )Ек) )+ 1ьк)У(к)-Ьд(к) У(к) п(хье Гх) апдд(х) ага агЬьпхудгпспоьх.
апд а ха ь)ьпЬсдс ромео Вес()госгспаа)дЬьгЬьквсп,Ьу Е Капдьс, р 19 ВаькаЩ де гпебхд ссоьыь сдьпархьд а сЬхвс а хапд( ь )еадхд го а Ьпеаг е9паасп ~ ЬьсЬ сап Ьс ьо1 ед аь депсга) «ьаппег ТЬе ьгапь(ссьпапоп ьь Еь сп Ьу д е Ес4опкд -"'„:,"-';,;.:;:.,','ь',:.„":,гхпд-.-,н;"",,'„."',;::::.;,:": -Е"*':ьпгд"'".:,,-,;":;;-""',*."'*,""~УПВ, ',В.;.""' е...хь,:;аг Е .ад'-...,"„'*-'д»"',"..!, „.*.,Вьгьд" ".'*;.".(Ьр-.г;;.":,';*")г 1:"";е 436 Глава 7.
Решение ди4ференциальныг уравнений стоинству оценят пользователи, заинтересованные в знакомстве с такими уравнениями и в их использовании. В Мар!е 9.5 средства решения дифференциальных уравнений подверглись значительной переработке. Введены новые методы решения для дифференциальных уравнений Абеля, Риккати и Матье, новые методы инициализации и решения уравнений с кусочными функциями, улучшены алгоритмы решения численными методами.
Детальное описание этих новинок можно найти в справке по разделу %Ьайв Хеи.... Это относится и к версии Мар)е 1О. 7Л Л. Функция решения дифференциальных уравнений 6во1че Мар)е позволяет решать одиночные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде. Разработчиками системы объявлено о существенном расширении средств решения дифференциальных уравнений и о повышении их надежности в смысле нахождения решений лля большинства классов дифференциальных уравнений. Для решения системы простых дифференциальных уравнений (задача Коши) используется функция 6во1че в разных формах записи: 6во1че(ООЕ) 6во1че(ООЕ, у(х), ехгга агав) 6во1че((ООЕ, 1Св1, у(х), ехГга агав) 6во1че((вувООЕ, 1Св), (гцпсв), ехега агав) Здесь ООŠ— одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система из дифференциальных уравнений первого порядка с указанием начальных условий, у(х) — функция одной переменной, !св — выражение, задающее начальные условия, (вувООЕ) — множество дифференциальных уравнений, ((цпсв) — множество неопределенных функций, ех!га аг9цгпеп( — опция, задающая тип решения.
Параметр ех(га агдцгпеп( задает класс решаемых уравнений. Отметим основные значения этого параметра: ° ехас! — аналитическое решение (принято по умолчанию); ° ехр1(сй — решение в явном виде; ° вув(е(п — решение системы дифференциальных уравнений; ° (Св — решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями; ° (оппа! вепев — решение в форме степенного многочлена; ° )п(епгв! !гвпв(огп( — решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.; ° вепев — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Огбег; ° пцтепс — решение в численном виде.
Возможны и другие опции, подробное описание которых выходит за рамки данной книги. Его можно найти в справке по этой функции, вызываемой командой ?6во(че. Для решения задачи Коши в параметры 6во(че надо включать начальные условия, а при решении краевых задач — краевые условия. Если Мар)е способна найти решение при числе начальных или краевых условий меньше порядка системы, то в решении будут появляться неопределенные константы вида С(, С2 и т.
д. Они же могут быть при аналитическом решении системы, когда начальные условия не заданы. Если решение найдено в неявном виде, то в нем появится параметр Т. По умолчанию функция 6во1че автоматически выбирает наиболее под- 437 7.2. Примеры решения ди((в[[зеренциальных уравнений ходяший метод решения дифференциальных уравнений.
Однако в параметрах функции с[во[че в квадратных скобках можно указать предпочтительный метод решения дифференциальных уравнений. Допустимы следующие методы: > 'с]во1че/взес]зос)в' [1] з (с)иа4гагиге, 1теаг, Вегззои11[, верагаЫе, зпнег>е 1теаг, Ьотояеззеоив, СЬин, Вп вут, ехаст, АЬе1, рог вут) Более полную информацию о каждом методе можно получить, используя команду?с[во]че,п)е[])ос[ и указав в ней конкретный метод. Например, команда?(]ао(- че,йпеаг вызовет появление страницы справочной системы с подробным описанием линейного метода решения дифференциальных уравнении.
7.1.8. Уровни решения дифференциальных уравнений Решение дифференциальных уравнений может сопровождаться различными комментариями. Команда ьлто1ече1[аво1че! := лз где и — целое число от О до 5 управляет уровнями детальности вывода. По умолчанию задано и = О. Значение и = 5 дает максимально детальныи вывод.
Производные при записи дифференциальных уравнений могут задаваться функцией с[][[ или оператором дифференцирования О. Выражение вуаООЕ должно иметь структуру множества и содержать помимо самой системы уравнений их начальные условия. Читателю, всерьез интересующемуся проблематикой решения линейных дифференциальных уравнений, стоит внимательно просмотреть разделы справки по ним и ознакомиться с демонстрационным файлом [[пеагоас[е.пз))за, содержащим примеры решения таких уравнений в закрытой форме. 7.2.
Примеры решения дифференциальных уравнений 7.2.1. Примеры аналитического решение ОДУ первого порядка Отвлекшись от физики, приведем несколько примеров на составление и решение дифференциальных уравнений первого порядка в аналитическом виде (файл с[еа): > с]во1че [с)з.сс (у (х], х) -а*к=О, у (х) ) з о ох] у(х) = — + С1 2 > с)во1че (сцсс (у(х], х] -у(х) =ех[з(-х), у[х) ]; у(х) =Е- — е' '"'+ С1]в" 2 > с)во1че (о1сс (у (х], х) -у (х) =вз л (х) *х, у (х) ]; у(х) = — — сов(х)х — — сов(х) — — ейп(х)х + е" С1 ! ! ! 2 2 2 Глава 7.
Решение дифференциальных уравнений > 1пго1ече1[г(во1че] := 3: > Йво1че (П1гг (у (х),х) -у (х) =в1п (х) *х, у (х) ) ) Неейоов Гог Гагве ог<)ег ОРЕв: — тгулпо о1авв1г1оаг1оп вегпоов— Ггугпи а <)иайгаеиге ггуипд 1вг огоег 11пеаг <- 1вГ огоег 11пеаг виосеввги1 у(х) = — — соя(х)х — — соя(х) — — яп(х)х + е" С1 ] ] 1 2 2 2 Обратите внимание на вывод в последнем примере. Он дан при уровне вывода п=3. Следующие примеры иллюстрируют возможность решения одного и того же дифференциального уравнения о([е [. разными методами: > гевеаге: оое Ь ."= вап (х) *с)5 гг (у (х), х) -сов (х) *у(х) =О; о([е Е:= в[п(ха — у(л) -сов(х)у(х) = О .Гд ](.д > с)во1че(оое Ь, [11пеаг], иве1пе) у(х) = С]е~ ""'"' ' > ча1ие(%): у(х) = С1яп(х) > с)во1че(оое Ь, [верагао1е], иве1пг) — ах — ~ — ~1 а+ С1=0 сов(х), х(г) ! яп(х) -а > ча1ие(Ъ); ! п(яп(х)) — ]п(у(л))+ С1 = О > еи : 1пегаоеог(о<)е Ы и:= [п(Гас(о я[п(х)~ — у(х) -соя(х)у(х) = О .[ д 1дх > <)во1че( ни*ойе Ь, [ехаоГ], иве1пГ) у(х) =- С1яп(х) Разумеется, приведенными примерами далеко не исчерпываются возможности аналитического решения дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
