Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Новые средства Мар(е 10 В левом верхнем углу окна имеется список классов задач оптнмизаци. Справа расположены панели для ввода оптимизируемого выражения и ограничивающих условий. Кнопки Ес!!! позволяют вызывать простые окна для редактирования их, а кнопка Зо!че запускает вычисления, результат которых появляется в окошке Бо!цг!оп. Остальные элел1енты интерфейса Мар1е1-окна в особых пояснениях не нуждаются.
6.7. Новые средства Мар1е 10 6.7.1. Нелинейное программирование с ограничениями в Мар!е 10 Мар!е 1О позволяет решать задачи нелинейного программирования с ограничениями с помощью функции АР5о1ие из пакета оптил1изации Ор!!гпиа!юп. Наглядный пример из самоучителя по Мар!е 10 представлен на рис. 6 8. 42б Глава б. Реи)ение задач линейной алгебры, оптимизации и регрессии хопа а«с* еса СЮ с а» ~ поп х () (ЗВ с б) с ())~а -.. С Т (а . о., Ре ] .)(]аО ~Я0(05 [ф (~]( %ЕЕЕч И Ор(па)за]]оп( Хоп-].]иеаг ].еаь] Б(]аагез 14ар)с и аЫс со со(се «оп-Ьпеах 1сап сооассс рсоаеспл оса)апсаес)с сбс ьлайеа апб с сап папа (се'с д олове бас бхкоопа)Р) оп а ас::р1с сха~пр! е > с)пеп =]1779, 558, 272, 17б 103 099.
0ЯЯ, 072,01,0092] а л +Ь л+с 7 э '. Н ла+ ) лса лпп)5 = (сер( баса(с] — с 'и!(пх м)л~) а=) лора(сосо))] б.7. Новые еведетаа Мир!е 10 1 сп сос сс ° п.ос ы С) (> (Х Е)2 ((2,' СЬ (С2 . С' т 1 о ьа 2 (2 ~ са '(елд сь 'А (Ро Ф ФЕ23 т( !о!)э! О!)(()нио((оо Ьдеоееа1 дх Мар)» срсппсапоп а\доле)~с бп))оса с Месс со орьопаь е1 рсооспп Тх 1р Рвоу с . пппапд|с дао аые 6пд фоьа\ по1оьооп со псппзласс рось(опс охь *сор)с сосаьашь Ь осдсс со Есд 2)оьа\ ссдхюи сс 1хее-пса\с, п1оьюапаь орепппаьс» р~ойепю, уоп и" Бадане С1оЬа) Орсппьаьсп Тоо)ьох пссьд Т)х соо)ьох о сад .
ар ьхс1у Есеп Мар)с спд спасе хдссппаьса и асадайс сп сьс осСЬ222 А пьр1е ехьсрЬ ь сьосл1Ьс)о и > оь) =ьл (2» +х22)+ьл (х — 122>+де) 2 ? 2 2 ес . > соЮспслссл((е(ха р1)+8 ал(п2 — 2) < Оысу — пха-х ° ае> 42В Глава б. Ретеиие задач лииейиой алгебры, оптимизаиии и регрессии вид окно имеет после ввода оптимизируемой функции с помошью кнопки Еои в области ОЬ~есйче Ецпсйоп.
Выбор метода и прочие установки осушествлены по умолчанию (за исключением задания поиска максимума опцией Мах~вше). 02 ао l ~( тв '-кем '" л Глава? Решение дифференциальных уравнений ТЛ. Введение в решение дифференциальных уравнений 7.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения (ДУ) это уравнения, связывающие неизвестную функцию с какими либо ее производными и, возможно, с независимыми переменными. Если неизвестная функция зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, а если от двух и более многих независимых переменных — дифференциальным уравнением в частных нроизводных.
Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка у' = — =/(х,у). ду дх (7.1) в общем случае имеет множество решений в виде зависимостей у(х). Однако можно получить единственное решение, если задать начальные условия в виде начальных значений хь и уь = у(х,). Это решение может быть аналитическим, конечно-разностным или численным.
г.1.2. Решение дифференциального уравнения радиоактивного распада В качестве примера аналитического решения дифференциального уравнения первого порядка (файл бег) запишем дифференциальное уравнение радиоактивного распада атомов ((Ч вЂ” число атомов в момент времени г, е = 1/с): > гевеаге: аес(:=а~ге(и (е), е) =-а*)((е); деа: = — (Ч(г) = -е )ч(г).
д д( Используя функцию бво1че. которая более подробно будет описана чуть позже, получим его общее аналитическое решение: > аво1че(аеч,и(е)); )ч(г) = С/е( "' Дифференциальные уравнения лежат в основе математического моделирования различных, в том числе физических, систем и устройств (1, 38, 4б1. Решению таких уравнений посвящена эта глава. В ней рассмотрено как аналитическое, так и численное решение дифференциальных уравнений различного вида — линейных и нелинейных, классических и специальных, например, в частных производных и с учетом двухсторонних граничных условий. Описание сопровождается множеством наглядных примеров, реализованных в СКМ Мар!е 9.5/1О.
430 Глава 7. Решение дифференциальных уравнений В решении присутствует произвольная постоянная С1. Но ее можно заметить на постоянную <ч(0) = !У,, означаюшую начальное число атомов в момент ~0: > с]во1че ( ( с)ес), Н (0] =Но ), И ( С) ) с И(г) = ]тое( "" Если конкретно )Ув — — 100 и е = 4, то получим: > Но := 100;о:=Зс 1уо:= !00 е:=3 Хотя <)во)че выдает решение Ю(() в символьном виде, оно пока недоступно для построения графика этого решения или просто вычисления в любои точке.
Однако, используя функции авв!дп или вцЬв можно сделать это решение доступным. Например, используем такую конструкцию: > вс=с)во1че((с)ес(,И(0) < ио),Н(С] ) саввзоо (в); в:= )ч(г) = !Обе' )и Теперь мы можем воспользоваться полученной зависимостью И(Г) и построить график ее: > р1ос (И (Е), Е-0 .. 3, со1ог=о1аок); Этот график, который читатель может просмотреть сам, описывает хорошо известныи апериодический экспоненциальный закон уменьшения числа атомов вещества в ходе его радиоактивного распада. Подобные зависимости, кстати. характерны для напряжения на конденсаторе С при его разряде через резистор Я, для тока в АЯ-цепи и для многих простых физических явлении, описываюшихся дифференциальным уравнением первого порядка.
7.1.3. Модели популяций Мальтуса и Ферхюльса-Пирла Еше одним классическим примером применения дифференциального уравнения первого порядка является давно известная и довольно грубая модель популяции Мальтуса. Не вдаваясь в хорошо известное описание этой модели, отметим, что она описывает численность особей или их биомассу х(г) в любой момент времени (для момента времени х(0) = (т). Эта зависимость характеризуется коэффициентами рождаемости а и смертности 13. При этом вводится их разность й = а — 1!. Представим задание дифференциального уравнения динамики популяций по модели Мальтуса и его решение в аналитическом виде: > севвасе:аея ."= с(11с (х(С), 1) — Х*х(С) =0; с<е(): = ~ — х(() — /с х(г) = О с! -~4( > с]во11:= с]во1се <(с]ес), х(О) < и) ) с)ю(/:= х(г) = !)(е'"" Нетрудно заметить, что решение этого уравнения аналогично решению дифференциального уравнения радиоактивного распада и описывается также экспоненциальной функций.
Однако, в зависимости от того, каков фактор (рождае- 431 7. 1'. Введение в решение дифферен((иальньп уравнений' ность или смертность) преоблалает наблюлаезся либо экспоненциальныи рост, либо экспоненциальный спал биомассы популяций. Более правлоподобную модель популяций преллох или Ферхюльст и Пирл. Эта модель учитывает (коэффициентом е) внутривидовую конкуренцию и позволяет учесть приближение популяций к некоторому состоянию равновесия.
На рис. 7.! представлено дифференциальное уравнение динамики популяции Ферчюльста-Пирла. Решения приведены в общем виде, а также л;и )( =- л = А/д = 1 и разных х10) = 1, 05 и 2. ет(ь еас н р ~ г но [ Модепь поп)спнцнн Есерхсопьсса-Онрпа ! > Песонен.-асей (х (М, О-1с* (1) о*а[1) 21 с(со(р — ОО =-1 с(Π— Е с( )1 > с(хо12с )>о1 ((П.пер,х(Ю) Н),х(Ы) сы 1 с)с 1с ; ":" с)1 'з и из Глава 7. Решение дигргггеренг(вольных уравнений 7.1.4.
Сведение ДУ высокого порядка к системам ОДУ первого порядка Часто встречаются ДУ высокого (и-го) порядка: угм =ях, у, у, у, ..., Уг" П), где У(хо) = Уо У(хо) = Уо,г. У "(хо) = Жг, ", Уг" 'г(хо) = Уо. -г- Обозначив уг(х) = у(х), уг(х) = у'(х), ..., У»(х) = уг» '>(х) Уо о = У(хо). Уол = У(хо)* -.» Уо,»-г = У~" гг(хо). Теперь решение этого уравнения можно свести к решению системы ОДУ: У~ = Уг Уг УЗ У~(хо) = Уо,о Уг(хо) = Уог У,-~ =У» у„' = Г(х,уиуг,...,у,,).
У»(ха) = Уо. -~ В таком виде ДУ и-го порядка может решаться стандартными средствами решения систем ОДУ, входящими в большинство математических систем. 7.1.5. Решение задачи на полет камня В качестве примера аналитического решения системы дифференциальных уравнений рассмотрим постановку типичной физической задачи моделирования «Бросок камня», позволяющую описать полет камня, брошенного под углом к горизонту. Модель должна ггозволятгс Вычислять положение камня в любой момент времени. Исходные данные: Масса камня, начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
