Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 63
Текст из файла (страница 63)
7.2.2. Полет тела, брошенного вверх Из приведенных выше примеров видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция с]]1[. С помощью символа 3 в ней можно задать производную более высокого порядка. В соответствии со вторым законом Ньютона многие физические явления, связанные с движением объектов, описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Ниже дан пример задания и решения такого уравнения (файл 439 7.2.
Примеры реи(ения дифференциальных ) равнений ()еп)), описывающего движение тела, брошенного вверх на, высоте йв со скоростью на при ускорении свободного падения я: > гевсагс; ея2с с)зг1()с(Г),С$2) = -О; да ед2:= — ))(г) = -л с[(~ > саво1ссе ( [ес)2,?1(0) =)с [О], Р()т) (0) с е[0] ), Ь(г) ) саввгсЗп (в2) ' "(() = — — +)в(+с)о я() 2 Итак, получено общее уравнение для временной зависимости высоты тела ЫО. Разумеется, ее можно конкретизировать, например, для случая, когда я= 9,8, Ьа — — [О и ),) = [00: > д:=8.8: > в2:=с)во1ое([ес)2,Л(0) 10,0()с) (0)=100),'п(г) );аввгоп(в2) с 42:=Ц() =- — ('+[ОО( ь)О 49 [О > р1ос ()т(Г), Г 0..20,со1ог=)>1ас)с) с Зависимость высоты тела от времени Ь(() представлена на рис. 7.5.
Нетрудно заметить, что высота полета тела вначале растет и достигнув максимума начинает снижаться. Оговоримся, что сопротивление воздуха в данном примере не учитывается, что позволяет считать задачу линейной. Полученное с помощью Мар[е 9.5 для этого случая решение совпадает с полученным вручную в примере, описанном в разделе 7.!.3. 2 4 Б 8 10 12 14 18 )8 а) Рис. 7.5.
Зависимость высоты полета тела от времени Л[О 7.2.3. Поведение идеального гармонического осциллятора Еше одним классическим применением дифференциальиых уравнений второ- го порядка является решение уравнение идеального гармонического осциллятора (файл с[е[о): > гевгаггсечз:=с)1гг(у(г),с$2) †ове"2~у(г)с /2 АЗ: = — у(т) = -со~ у(() Й 440 Глава 7. Решение дифференциальных уравнении > ово1че (ес)3, у ( Г) ) у(г) = С15[п(свг) + С2сов(свг) > в с=с)во1че((ес[з,у(0) =-1,0[у) [О) =1), у(г) ): у(г) Б!п(шг) ( г) > авв1оо(в) готедас=2) > р1ог (у (г), с=0 ..
20, со1ог=Ь1ас)с) г внения ис. 7.6) представляет хорошо известную График решения этого уравнения (рис. б й в общем случае ю н ию. Интересно, что амплитуда коле анин в (О) — 0 на равна ! (в нашем слу отлична от а ! и зависит от значения у(0) — при у = о (О) =-!). Подобным осциллятором может синусоида начинается со значение у( ) = — ). од быть 1.С-контур или механическии маятник бе р . чае б з поте ь. 05 05 Рис. 7.6. Решение лиц рере фф ниивльного уравнения идеального осииллятора 7.Х'.4. Дополнительные примеры решени д ния иф еренциальных уравнений второго порядка х и~~ енциальных уравнений второго Ниже представлено решение еще двух ди„, р порядка в аналитическом виде (с)е а): 2а: > гевгагг: с)во1че 1 у (с)' Е1 [ (х),х$2)-с[гей (у(х), х) =вхо (х), у (х) ) ' у(х) = — — в[п(х) + — сов(х) + е' С/+ С2 2 2 > с[е: сл" с)гсс (у(х),х52) -Х*с[1Г1(у(х), х) ) с[е:= г)[~ — у(х) -lс~ — у(х) — )- ~ж 441 7.3.
Примеры решения дифференциальных уравнений > ухос=у<о)=о,у(т)=т; ух0:= у(0) =О, у(!) =1 > с)аотхе((с)е,ухО),у(х) ); Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11.
7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений фчнкдиЯ„((%Р!уд п(дипхч9ет такжР, ое!Я(ать,с((ГГПУ(с ли())(1)ейень(ьсальнь(х„ура))ща...х, Глава 7. Реи(еиие диффереициальиых уравиеиий льзованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным.
Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа. Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Мар(е в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде. Практически полезные примеры решения дифференциальных уравнений, в том числе с постоянными граничными условиями, вы найдете в Главе ! !.
7.2.6. Модель Стритера-Фелпса для динамики кислорода в воде В качестве еше одного примера решении системы из двух дифференциальных уравнений рассмотрим модель Стритера-Фелпса, предложенную для описания динамики содержания растворенного в воде кислорода. Описание этой модели можно найти в [4! !.
Ниже представлено задание этой модели в виде системы из двух дифференциальных уравнений и их аналитическое решение (файл ()е]пр): > вув: оуее (х1 (С), Е) = К1* (С-х1 (С) ) -К2*х2 (Е), отГГ (х2 (Е), С) -К2*х2(Е]) кув: = — х )(1) = К1(С вЂ” х )(1)) — К2 х2(1), — х2(1) = -К2 х2(() (( (1 дг д( > ово1:= о]во1че((вуврх1(0) =а,х2 (О) =)>), (х1(о],х2 (е) ]] Ико1:= х2(г) = Ь е, х](О= г-ха о К2 е ~-кю ~] (-К1 + К2 ) ( С К2 + К1 а + К2 Ь вЂ” К1 С вЂ” а К2 ) е К1 — К2 (К1 — К2) -К1 С+СК2 К1-К2 > вхвр1>ту(аво1); (х!(()=(е СК2+е К1а+е К2Ь-е К1 С (-к(п ( — кз0 4-К?ю] — е аК2 — К2е Ь+К1С-СК2У(К1-К2),х3()=Ье ) Здесь: х!(1) — концентрация в воде растворенного кислорода в момент времени 1, х2(1) — концентрация биохимического потребления кислорода (БПК), С— концентрация насышения воды кислородом, К! — постоянная скорости аэрации, К2 — постоянная скорости уменьшения (БПК), а — начальное значение х)(1) и Ь вЂ” начальное значение х2(г) при (= О.
В данном случае получены два варианта аналитического решения — основное и упрощенное с помощью функции в)п]р])(у. Читатель может самостоятельно построить графики зависимостей х((1) и х2(1). 7.3. Специальные средства решения диф(реренциальных уравнений 443 7.3. Специальные средства решения дифференциальных уравнений 7.3.1. Численное решение дифференциальных уравнений К сожалению, аналитического решения в общем случае нелинейные дифференциальные уравнения не имеют.
Поэтому их приходится решать численными методами. Они удобны и в том случае, когда решение надо представить числами или, к примеру, построить график решения. Поясним принципы численного решения. Для этого вернемся к дифференциальному уравнению (7.1). Заменим приращение дх на малое, но конечное приращение дх= й. Тогда приращение Ну будет равно Ьу= Л.Дх,у). Если, к примеру, известно начальное значение у = уь, то новое значение у будет равно у! = уо + Ьу = уо + й . Дх, у). Распространяя этот подход на последующие шаги решения получим конечно-разносортную формулу для решение приведенного уравнения в виде: у,+ ! = у, + Ь 7(хь у,). Эта формула известна как формула простого метода Эйлера первого порядка для решения дифференциального уравнения (7.1). Можно предположить (так оно и есть), что столь простой подход дает большую ошибку — отбрасываемыи член порядка 0(н').
Тем не менее, физическая и математическая прозрачность данного метода привела к тому, что он широко применяется на практике. Существует множество более совершенных методов решения дифференциальных уравнений, например„усовершенствованный метод Эйлера, метод трапеций, метод Рунге-Кутта, метод Рунге-Кутта-Фельберга и др.
Ряд таких методов реализован в системе Мар(е и может использоваться при численном решении дифференциальных уравнений и систем с ними. Зля решения дифференциальных уравнений в численном виде в Мар)е используется та же функция ово1чв с параметром пцглвпс или 1уре=пцгпепс. При этом решение возвращается в виде специальнои процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге — Кутта — Фельберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения).
Эта процедура называется гк(45 и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 7.8. Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (или решений). Для графического отображения Мар!е 9.5 предлагает ряд возможностей и одна из них представлена на рис. 7.8 — см. последнюю строку ввода. При этом используется функция р1о1[ооер)о1) из пакета осер!о1, предназначенного лля визуализации решений дифференциальных уравнений. Можно воспользоваться и функцией р!о1, выделив тем или иным способом (примеры уже приводились) нужное решение.
В список параметров функции дво1че можно явным образом включить указание на метод решения, например опция гпе(йсх)=с1чегк78 задает решение непрерыв- Глава 7. Решение диффеРенциальнь<х уаавнений (а) х( )в] х) (Ч Н е 664 У еи Рве< Геоее] Увоз>а еир Ре<а ем ие системы из двух дифференциальных уравнений численным методо<4 зуз: - О>ЕЕ (у (х], х] -2 х (х) -у <х) -х, о1ЕЕ <х (х), х) у <х) 3 Еспз (у(х), х<х) 3: Г: Лзо1ое((зуз,у(01=.0,х(0) 11, Еспз,пыеее1с) 3 еее:= ]Ех) = 2 е(х) — 5(х') -х] е(х) =](х) Г:= ргее(е е<745] ... ееа разе > Г(2) ( х = 2., 7(х) = 2 947755 61254128014, т(х) = 1 72064РР7248 44600) > р1оез (озер1оз) (Г, (х.
х <х] 1,0 .. 2. 5, 1апе1з.-(х, х], со1ог=Ыась) . 7.3. Специальные среден(ба рея[ения дифференциальныт уравнений 44.з автоматически уменьшается. Более того, система Мар(е способна автоматически выбирать наиболее подходящий для решаемои задачи метод решения. Бц[е один пример решения системы диф())еренциальных уравнений представлен на рис. 7.9. Здесь на одном графике представлены зависимости у(х) и е(х). представляющие полное решение заданной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
