Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Это поясняют следуюшие примеры: > А: = б1гг (у (х), х) *ахп (х) -оцга (у (х), х) -сап (х) *у (х) =5 г А: = ~ — у(х)!з!0(х) -~ — у(х) — (ап(х)у(х) = 5 ) 1дх > сопчегСА1д (А, у (х) ) г [[-(ап(х), яп(х) — 1), 5) > В:= (ОИ2) (у) (х) *соз (х) + (ОИ2] (у) (х) *5*х" 2г В: = (0Я')(у)(х) с(((х) + 5(0'н)(у)(х)х > сопчехСА1д (В, у (х) ]; [[О, О, соз(х) + 5х~[, 0[ Для изменения переменных в системах дифференциальных уравнений используется функция сопчег(вув: сопнехезуз (бедпз, Епйез, чаха, Ечаг, учес, урчес) Здесь бе()пв — одно дифференциальное уравнение или список (множество), представляющие систему дифференциальных уравнений первого порядка, (пйв— множество или список начальных условий, чагв — зависимые переменные, (чаг— независимые переменные, учес — вектор решений и урчес — вектор производных. Глава 7.
Решение диффеРенииальных уравнений Функция 1пб1сьа1ес)(без,Наг,а1рЬа,буаг) обеспечивает полиномиальное представление для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка беа. Параметр а(р)]а намечает точку сингулярности. > Х (2*х"2+5*х" 3) *бьН [у (х], х, х] + (5*х-х" 2) *бгкк (у(х), х) + (1+х) *у (х) =О." > Х:= сопчегГЛ1д( Х, у(х) ); У:=[[1+», 5»-х~, 2х +5»~), 0[ > гпс)усга1ея ( Х, х, -2/5, у (х) ) ю х~- — х =0 32 1О > 1пбгс1а1ес( [ Х, х, О, у (х) ) ' ) 3 1 х + — х+ — =0 2 2 > ькх]гсьа1ес(( Х, х, 1, у(х] ); х -х=О ) Функция гебпсеогбег (без, буаг, рагезо1, зо1пс1опк ого) обеспечивает понижение порядка дифференциального уравнения без (или системы уравнений, представленных списком или множеством) при зависимых переменных бчаг, частном решении ра(1во( (или списке частных решений) и флаге во1цйопропп, показывающем, что решение происходит явным методом (ехр(!с!!!у). Для демонстрации действия этой функции воспользуемся примером из ее справочной страницы: > к)е:= с)1кк (у(х],хбз) — б*озгг (у(х),х$2] + 11*с)1Н(у(х), х) — 6*у(х) р де:= ~ — у(х)!-б~ — у(х)~+11< — у(х) -бу(х) !(д»' ! ([дх' ~ !(,а > зо1:= ехр(х); и]I: = ек > гек)псесгс]ег( г)е, у(х), зо1); < — у(х) — 3~ — у(х) +2 у(х) дх) ~ ~дх > гебпсесгк)ег ( с)е, у(х], зо1, Ьазьз) с Ек Е(кк) Е()к] 1 2 7.4.
Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений !)Е/оо/в 453 Функция геди1агвр (с]ев, 1чаг, с]чаг) вычисляет регулярные особые (сингулярные) точки для дифференциального уравнения второго порядка или системы дифференциальных уравнений (]ев. Следующий пример поясняет применение данной функции: > соегз: [21*(х"2 — х + 1).0,100*х"2*(х-1) "2]: > геоч1агзр (соева, х) с (О, 1) Еше две функции пакета ОЕ[оо1в Ггапв1асе (с)ев, Ьчаг, рг, с[чаг) цоегапв1асе (с]ев, йчаг, рс, с]чаг) выполняют особую операцию трансляции дифференциального уравнения (или списка дифференциальных уравнений) из центрированного относительно О в центрированное относительно ! и наоборот.
С деталями этого специфического процесса заинтересованный читатель может познакомиться в справочнои базе данных. И еще одна полезная функция пакета чаграгав(во1в,ч, йчаг) находит общее решение дифференциального уравнения (или системы уравнений) во]в методом вариации параметров. Параметр ч задает правую часть уравнения; если он равен О, ищется только частичное решение: > чаграгат( [ч1 (х), о2 (х) [00Ч4] ], д(х), х) / [х)(/)=(е СК2+е Кlа+е К2Ь-е К/С <-Аз з (-Аз о 1-х> ) -е а К2-К2е Ь+ К/ С вЂ” СК2%К/ — К21 тМ/) =Ье ) Более подробную информацию об этих функциях читатель найдет в их справочных страницах, а также в информационном документе ОЕ[оо[влп)нв, содержащем систематизированное описание пакета ОЕ[оо[в с многочисленными примерами его применения.
7.4.4. Дифференциальные операторы и их применение Средствами пакета ОЕ[оо[в предусмотрена работа с дифференциальными операторами ОЕ, которые дают компактное представление производных, например (файл с]1[ор): > гезгагг; чьГЬ(оагоо1з): > бе:= х"2*0Г"2 - х*0Г + (х"2 — 1) с /У~.= х) /)Р2 х /)Р+х) 1 Данное выражение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, записанное через дифференциальные операторы.
С помощью функции сН.ггор2с)е это уравнение можно преобразовать в обычное дифференциальное уравнение: > с)1ггор2с)е(сЫ, у[х), [0г,х]); (х — !)у(х) — — у(х) +х — у(х) 2 ~,~„.л Глава 7. Решение дифференциальных уравнений Теперь это уравнение можно решить с помощью функции бао1че.' > аьотче (ъ, у !х) ); у(х) = С)х Веззе)3(~)2,х) + С2х Веззе1у(Л,х) Уравнения с дифференциальными операторами имеет вид степенного много- члена.
Поэтому с ним можно выполнять множество операций, характерных для полиномов. например факторизацию, комплектование по степеням и др. В практике инженерных и научных расчетов дифференциальные операторы применяются довольно редко. Множество примеров с ними дано в файле примеров б)1- (ор.п)ччв. 7.5. Графическая визуализация решений дифференциальных уравнений 7.5.1. Применение функции обер!от пакета р!отв Для обычного графического представления результатов решения дифференциальных уравнений может использоваться функция обер!о! из описанного выше пакета р1о!а. Эта функция используется в следующем виде: обер).ос (а, чаха, х, о) где в — запись (в выходной форме) дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, решаемых численно функцией бво)че, чага — переменные, г — параметр, задающий пределы решения (например, а..Ь) и о — необязательные дополнительные опции.
На рис. 7.11 представлен пример решения одиночного дифференциального уравнения с выводом решения у(х) с помощью функции обер!о1. В этом примере решается дифференциальное уравнение у'(х) = соз(хзу(х)) при у(0) = 2 и х, меняющемся от — 5 до 5. Левая часть уравнения записана с помощью функции вычисления производной б!((. Результатом построения является график решения у(х). В другом примере (рис. 7.12) представлено решение системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь с помощью функции обер1о! строятся графики двух функций — у(х) и г(х).
В этом примере решается система: у(х) = е(х), е'(х) = 3 яп(у(х)) при начальных условиях у(0) = О, ~(0) = 1 и х, меняющемся от -4 до 4 при числе точек решения, равном 25. Иногда решение системы из двух дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения второго порядка) представляется в виде фазового портрета — при этом по осям графика откладываются значения у(х) и е(х) при изменении х в определенных пределах.
Рисунок 7.! 3 демонстрирует построение фазового портрета для системы. представленной выше. 7.5. Графическая визрализация реи(ений дифференциальных уравнений 455 еас а~и ууен )агсл аг(еи ))(аеаю Еир [ Решение одного дифференциального уравнения с емеодом графика решения~ ! нагь (р)оах) хагг.
гс, г аа с саа,оссг гоа ааа гссг. а*г аса > р: аао1хе((г((ГЕ (у (х),х) оох (х"2ау (х) ),у (0) 2),у (х), гура пшпег1о) г оаер1ог [р, [х,у (х) ), -5 .. 5, 1хне1х-[х,у), ог 1ох-Ь1аон) Г )е( «) ~е) х) 45б Глава 7. Решение ди(рференциаланасу уравнений ек В)е Еа[ Уа Реп Ге(пас )тесен ае)р Решение системы из двух дифференциальных уравн(аней с выводом графиков решения > п1СП [р1оге): ауе с с)1ЕЕ (у(х),х) =г (х),сЦЕЕ (» (х), х] 3*п1п [у (х) ): Еопп с= () [х), г(х]): р:= с)ао1пп [(ауе,у (0) О, г (О] 1), Еопа, Су)х:=ппппг1о): осар1ос (р, [у (х), г (х) ), -4 .. 4,п~гтро1ссге 100,оо1ог лапок) с [е) х[ [а] х) 7.5. Графическая визуализация решений дифференциальных уравнений 457 менной, хгапде — область изменения для второй зависимой переменной; ес!пав опция, записываемая в виде Иеучюгокиа1це.
Замена имен переменных другими в данном случае недопустима. Эта функция обеспечивает численное решение дифференциальных уравнений или их систем при одной независимой переменной ! и строит графики решения. Для автономных систем эти графики строятся в виде векторного поля направлений, а для неавтономных систем — только в виде кривых решения. По умолчанию реализуется метод Рунге-Кутта 4-го порядка, что соответствует опции гпе(- Ьос)=с]аввюа([гИ4]. С функцией ОЕр!о! могут использоваться следующие параметры: ° аповв = (уре — тип стрелки векторного поля ('ЗМАИ.', 'МЕ01ОМ', '(.АЙОЕ', 'ОИЧЕ' или '1ЧО!ЧЕ'); ° со!оцг, со1ог = аггоисо1оцг — цвет стрелок (задается 7 способами); ° сйгдгЫ = [1п(едег,)п(едег) — число линий сетки (по умолчанию [20, 20]); йегабопв = 1п!едег — количество итераций, представленное целым числом; Ипесо!ог, Ипесо1ог = Ипе !п(о — цвет линии (задается 5 способами); е гпе(пог)='тк4' — задает метод решения ('ец1ег', 'Ьаскец1ег', '1гпрец1ег' или 'гх4'); ° оЬвгапде = Т[чОЕУАОЗŠ— задает (при ТВОЕ) прерывание вычислении, если кривая решения выходит из области обзора; ° асепе = [пагпе,пате) — задает имена зависимых переменных.
для которых строится график; ° в!ерые = Ь вЂ” шаг решения, по умолчанию равный аЬа((Ь-а))/20, и представленный вещественным значением. У.В.З. Решение системы дифференциальных уравнений модели Лотки-Вольтера Еше одна из моделей динамики популяций, известна как людель Лонм ки — Волынера, описывает изменение популяции в биологической среде хищник — жертва. Эта подель позволяет описать периодическое колебательное изменение числа жертв и поедающих их хищников. На рис. 7.14 показано решение системы дифференциальных уравнений Лотки — Вольтера: х'(г) = х(!)(1 — у(!)), у'(г) = 0,3у(0(х(г) — ! ). Решение представлено в виде векторного поля, стрелки которого являются касательными к кривым решения (сами эти кривые не строятся).
Обратите внимание на функциональную закраску стрелок векторного поля, делающую решение особенно наглядным (правда, лишь на экране цветного дисплея, а не на страницах книги). Еще интересней вариант графиков, представленный на рис. 7.!5. Здесь помимо векторного поля несколько иного стиля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий. Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий: х(0)=у(0)=1,2 и х(0)=! и у(0) = 0,9. Читатель может легко дополнить этот пример выводом графиков временных зависимостей числа хищников и жертв и убедиться в том, что они действительно носят колебательный характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
