Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Реп(ение дифференциальных уравнений специального вида 467 хождению вычислительного процесса, в ходе которого решение грубо отлично от существующего. Мар!е в большинстве случаев дает верное решение даже без указания метода решения. Это связано с тем, что система дифференциальных уравнений при решении его функцией Жо)че анализируется и в зависимости от результатов анализа выбирается наиболее подходящий метод решения. Кроме того, большинство методов (например, самый распространенный г[(Г45) реализуют алгоритмы контроля погрешности вычислений и дробления шага решения, если погрешность оказывается больше заданной. В связи с указанным решение жестких систем дифференциальных уравнении средствами системы Мар!е не вызывает особых трудностей и может быть осуществлено даже при выборе не вполне удачного метода. Однако при этом возможны следующие ситуации: ° может резко возрасти время вычислений из за чрезмерно сильного уменьшения шага решения; ° может оказаться превышенным число итерации в ходе дробления шага; лля «особо жестких» систем адаптивныи выбор шага может не помочь и погрешность решения будет большой.
Во избежание этого рекомендуется при решении жестких систем дифференциальных уравнений все же пользоваться специально для них созданными методами, например методом Розенброка (опция п)е(Ьо([ = гоаепЬгос)( для функции озо)че). 7.7.2. Примеры решения жестких систем дифференциальных уравнений В качестве первого примера исследуем и решим следующую систему дифференциальных уравнений (файл Ыез): > йед2:= и1ЕГ (и (Е), Е) = -11*и (1) +9*ч (е), с)1ЕГ (ч(1), Е) 9*и (Е) -11*ч(Ф.) ( Нед2:= — и(() =-1! и(()+9ч((), — ч(() = 9 и(()-11чЯ (! д с(( 4( Загрузив пакет!гпа!й вычислим собственные значения матрицы данной системы дифференциальных уравнений: > еьсЬ (11па1д): И: =~паьгьх (2, 2, [-11, 9, 9, -11) ); -11 9 > де."=еьдеача1иеа(И) ее:=-2, -20 Они оказались отрицательными.
Кроме того. очевидно, что значение жесткости данной системы з = ! О. Его трудно назвать очень большим, но в целом условия жесткости лля данной системы выполняются. Теперь решим зту систему методом Розенберга. Решение представлено на рис. 7.22. Обратите внимание на то, что представлены две точки и график решения. К достоинствам реализации примененного метода относится отсутствие необходимости в составлении матрицы Якоби. которую приходится задавать при использовании ряда функций системы Ма(- Ьса([, имеющихся для решения жестких систем дифференциальных уравнений (9!.
Еше один пример задания и решения жесткой системы дифференциальных уравнений представлен на рис. 7.23. Собственные значения матрицы этой системы 7. 7. Решение дифференциальных уравнений еиециальнага вида 4б9 равны — 2 и -1000, а жесткость системы з = 500 (проверьте сами по аналогии с ранее приведенным примером). Таким образом, зта система намного жестче, чем система из первого примера. Обратите внимание на то, что она решается без задания метода решения, но с опцией мИТ= ггве, вынуждаюшей Мар!е выбирать метод для решения жесткю систем дифференциальных уравнений.
7.7.3 Пример решения системы жестких дифференциальных уравнений химической кинетики Жесткие системы дифференциальных уравнений, часто описывают кинетику химических процессов, например, растворение веществ в растворах нли смешивание газов. На рис. 7.24 показано решение жесткой сисгемы из трех дифференциальных уравнений, описывающих один из типовых химических процессов — какой именно в данном случае не важно.
"„;,:"р: „,:.т'...,,. ° .„.„';..а ,"';:",! с л.-', "" °:,.',~,'; ":.'::,':.,д.::;:: 47() Глава 7. Решение ди(7)ференциальных уравнений описываюшие динамику развития колебаний в различных колебательных системах, например, автогенераторах на электронных лал(пах, полевых и биполярных транзисторах. Пример задания и решения дифференциального уравнения Ван-Дер Поля при сравнительно малом п)ц = ! (и при выборе метода решения по умолчанию) представлен на рис. 7.25. Нетрудно заметить, что выбор Мар!е пал на метод г)((45 и что этот метод не очень удачен даже для этого метода с (пц = 1.
Хотя обшая форма колебаний (близкая к синусоидальной, но все же заметно искаженная) в интервале г от 0 до 20 просматривается, уже в данном случае видна нестабилыюсть колебаний. При увеличен максимального значения т до !00 и более, нестабильность колебаний становится весьма заметна (проверьте это сами). Гн ен 1 ) с г с о.- ь, )нь я ь [ Рец)ение дифференциального уравения Ван-Дер Поля при малом параметре п)Ц .г! > теататт) аечз: — а(гг(у(ь),ь,м-ни*()-у(М "2) а)тт(у(ь),т)~у(т) 7.7. Решение дифференциа[ьньп)равнеуюий енециальнага вида 471 МС вес*у с и [ Решение дифференциального уравения Ван-Дер Поля при большом параметре гпо ~ ! > се>С>гС; Оеоа:- О111(у(С),с,С)-о >[1 у[С) "У) *О)[1[у(С),С) «у[С) ЬуЗ =~ „у(г)/ — р([ — у(г) )[--у(г))слг)=о а > ео:-аооо:[оз у- (у[о) -д,о[у) (о)-о); к) = ( у(0) = 1.
[)() ХО) = 0 ) > О>013: о>о1не( (с[етз) 00100 1оз, ош ес[о, гн1ое 0..6000, >СЗГЕ Сгые) г [ свои = р и оно~Мосс) ееа ргос > р)оСе[ое рзоС) [«[еозЗ, [С,у(С) ),оо)о — Ьз .Ш: с; 'э"~,' зн; ;",.;"д",0 сг;; н.>.Г' .л ." '....:. '.
', '": . ', "',::...":,"'у."., .,)рй 472 Глава 7. Решение дифференциа[ьных уравнений е [а [ог Г И С КОРаВ 1 СГ .С ~4 ОСЬ Решение дифференциального уравнения с двумя ираевь[ми условиями > вес] с- 4 О[[1[О[11[к(Г],Г],Х]+х[Х] - Г[ 449 = 4[ х(г) а «(г) = г 2 > бхо1 с — Охо1ое ((Оес[, х (О) — 5, х (5] 151, ооеех1о] с с(ао].= ргос(х аср) гед ргос > с[хо1(0.);с1хо1(5.] г с( Г = 0 . х(Г) = 5 ОООООО КИКККК Х88, — х(Л = 12 701?27872980]914 ' с]г [- с] г = 5, х(с) =! 5, — х(г) = -9 87054432828710482 ~ се > ю[Ю(р1охе] годер1ос[дхо1, [(С,х[Х]], [1,15]],О..б,оо1ог=-ыао[с] еггга о, г огс ь .са г г ха о ссог о сг ог сг о* ш«, с г ь ао)о*с а ;, сг ',, ка 74 *Ф;5:;,сс"„:„; 7.8.
Региение дифференииальных уравнений с частными производнъгми 473 ~ 1цпсь — (опция) множество или список с неопределенными функциями или именами; ° Н!ЙТ вЂ” (опция) равенство в форме Н1)чТ = агяцгпепц где аргумент может быть символом '+', ", любым алгебраическим выражением или строкой 'ыг)р'; ° ПЧТЕОВАТŠ— (опция) задает автоматическое интегрирование для множества ООЕь (если РОЕ решается при разделении переменных; е Ьцй6 — опция, задающая попытку построения явного выражения для неопределенной функции, независимо от общности найденного решения; ° пцгпепс — ключевое слова, задающее решение в численном виде; ° о1пег орйопь — другие опции.
7.8.2. Инструментальный пакет расширения РОЕтоо1 Для решения дифференциальных уравнений с частными производными и его визуализации в Мар!е 9.5 служит специальный инструментальный пакет РОЕгоо1: > пзев(РРВгоо1о1; (РОЕргог, Ьийа', сагезрйл сйатггр, дсйапее, дсоеЯЪ, дес1аге, с(Яогдег. аро!у~опп, дзиЬз, тарсге, зерагаЬгйгу, зр)йвгг1р, зрнувуз, ипаесlаге) Ввиду небольшого числа функций этого пакета приведем их определения: Ьцйб(ьо1) — конструирует улучшенную форму решения, полученного функцией рбьо!че; саьеьрй1(ьуь, о1, 02,...) — преобразует форму дифференциального уравнения; сйагь1пр(РОЕ 1) — находит характеристическую последовательность, дающую дифференциальное уравнение первого порядка; 6спапде(1г,ехрг,о1,02,...) — выполняет замену переменных в математических выражениях или функциях; 6соеП(ехрг,у(х)) — возвращает коэффициенты полиномиала дифференциального уравнения; 6ес(аге(ехрг) и др. — задает функцию для компактного ее отображения; 61Пог6ег(а,х) — возвращает порядок дифференциала в алгебраическом выражении а; 6ро!у(опп(ьуь,по Еп,ор1ь) — возвращает пслиномиальную форму для заданной системы ьуь не полиномиальных дифференциальных уравнений; 6ьцЬь(6епч1=а,...,ехрг) — выполняет дифференциальные подстановки в выражение ехрг; барбе(РОЕ,1п1о,() — создает карту РОЕ в различных форматах 1пго с опциональным заданием имени неизвестной функции Г; ьерагаЬППу(РОЕ, Г(х,у,...), "') — определяет условия разделения для сумм или произведений РОЕ; ьр!йь1пр(РОЕ,() — разделяет характеристическую последовательность на несоединенные поднаборы; ьрй1ьуь(ьуь,(цпсь) — разделяет наборы уравнений (алгебраические и дифференциальные) на несоединенные поднаборы; цп6ес1аге(1(х),...) и др.
— отменяет задание функции для компактного ее отображения. 474 Глава 7. Реигение дифференциальнвгх уравнений 7.8.3. Примеры решения дифференциальных уравнений с частными производными Примеры решения лиффереициальных уравнений и систем с частными производными представлены ниже (файл рг)е): > гевеагГ! чЙГЬ(РОЕГоо1в] ! > РРЕ у= х*сИЙЙ(Й(х, у), у) -сИЙЙ(Й(х, у),х) =Й(х, у) "2*5 [х] IЬ(у) ! РОЕ:= л1 — Г(х,у)~ -< — Г(х,у)~ = ( д ) ( д ) Г(х„у) а(х) [,ду ',) !,ду ' 3 )](у) > аов г= рг)во1че(РПЕ) анв:= Г(х.
у)— < а х )! -=+у+— 2 2 > РРЕ:= 5 [х,у) *гИЙЙ(5[х, у), у,х) + г]гЙЙ (5 (х, у), х) *гИЙЙ (5 (х, у), у] = 1г РОЕ:= Я(х,у' 3(х,у) + — о(х,у) — Б(х,у) = ! [ дудх ~ [,ду Лду > вегас г= рг]во1че(РВЕ,Н1НТ Й(х]*9(у]) в(гас: = (Б(х, у) = Г(х) а(у)) д[ю(]еге с г( с! г( ! ! ( — Г(х) = =', — 5(у) =— с(х Г(х) 4у 2 6(у) с, ~ > Ьог1с](вггчс)! ,]2, + гу,~,у гу $(х, у)— > раво1че (РОЕ, Н1НТ=Р (х, у) " (1/2) ] Б(х,у) = > РОЕ г= с]гЙЙ(Й(хуУуг),х) + гИЙЙ(Й(х,У,г),У) "2 Й(х,У,г)+г; РОЕ:= — Г(л,у,г) + — Г(х,у,Й) =Г(х,у,2)+2 ' <,дх ' ' ~ <.дх > рг]во1че (РОЕ, Нтнт=веглр] ! р( г)= СЗе-*, р,( ю)= С4е-', г( в)= С5, х( в)= в+ Сб, (2 у) у( г)=2 С4е-'+ С2,Г( в)= СЗе-' — С5+е СГ) ), д д агап ( р = — Г(х,у,г), р = — Г(х,у,г)) 7.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
