Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Решение дифференциальных уравнений с частными лрвизводными 475 > вуРРЕзуззев с = 1-у*с]асс (с (х, у, х, Е], х] + х" 2*с]тсй (Г (х, у, х, Е], х] + 3*Е*з*с]хте (Г [х, у, х, Е], С] — 3*с" 2- 4*с(х~у 2 Т]*х = О -у*с]хгс(г(х,у,х,е],у] - г*с]хгг(г(х,у,х,е],з] с*с]ьйй(Г(х,у,х,х],Е] + й(хрупа,з] = О, -х*41ГГ (Г (х, у, з, Е], у] — с]1ГГ (Г (х, у, з, Е], з] = О] с сох ея уп вуРОЕзуззев с]о ес] ' осц -у — ((х,у,х, г) +г — Г(х.у,оО +3(а — ((х,у,г„с) — 3 г — 4 Г(х,у, о г) с=Π— у г(х, у, о () — х — г(х, у, а г) — ю — г(х, у, х, () + 1(х, у, с, () = — х — Г(х,у,х, г) — — Г(х,у,с. г) =О ~ду ' ' ' ! (дг > зо1 := рс]зо1че(вуРОЕзузхев] ю(:= ('(х,У,2,() =— С1(-х 2 + у) г(]л] — 3 г] х~/-х 2 + у (-хе+У)(]"] Обратите внимание на то, что в последнем примере из справки решена система дифференциальных уравнений в частных производных.
7.8.4. Функция РЮЕр!о1 пакета 0Етоо!в Одна из важнейших функций пакета 0Е!оо1в — 0Е!оо]в(Р0Ер(о!) — служит для построения графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных. Эта функция используется в следуюшем виде: РВЕр1ос (рс]11'наес(, чах, 1 сохче, агапке, о) Р(]Ер1ое (рс]Ыйес], час, 1 сцхче, зсапс]е, ххапс3е, ухапс3е, охапс(е, о] Здесь помимо упоминавшихся ранее параметров используются следуюшие: р(]1((ес] — квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка (РОЕ), чагв — независимая переменная и 1 сцгче — начальные условия для параметрических кривых трехмерной поверхности.
Помимо опций, указанных для функции 0Ер1о(, здесь могут использоваться следующие опции: ° ап]п]а!е = (гце, (а]ве — включение (!гце) или выключение ((а!ве) режима анимации графиков; ° Ьавеспаг = (гце, (а!ве, О]с]] 'г' — устанавливает показ начального условия на плоскости (х,у); ° Ьавесо(ог = Ь со!ог — устанавливает цвет базовых характеристик; ° ]с аввцп]р!]опв — задание (в виде равенств или неравенств) ограничений на начальные условия для первых производных; Глава 7. Решение дифферегщиальных уравнений ° !и!1со1ог = ! со1ог — инициализация цвета кривой начальных условий; ° пцгпснаг = ~п!епег — задает число отрезков кривых, которое не должно быть меньше 4 (по умолчанию 20); ° пцгпв1ерв = [!п!ерег1,>п(едег2[ — задаст число шагов интегрирования (по умолчанию [10.10[); ° обвгапое = 1гце, 1а!ве — прекрашение интегрирования (1гце) при выходе отображаемой переменной за заданные пределы или продолжение интегрирования ((а!зе) в любом случае; ° всепе=[х,у,ц(х,у)] — вывод обозначений координатных осей.
С помошыо параметров и опций можно запать множество возможностей для наглядной визуализации довольно сложных решений систем дифференциальных уравнений с частными производными. Следует отметить, что неправильное задание параметров ведет просто к выводу функции в строке вывода без построения графиков и нередко без сообщений об ошибках. Поэтому полезно внимательно просмотреть примеры применения этой функции — как приведенные ниже. так и в,справке. 477 7.9. Сложные колебания а нелинейных системах и средах Другой пример использования функпии РОЕр[о! показан на рис. 7.29.
Он иллюстрирует комбинированное построение графиков решения разного типа с применением функннональной закраски, реализуемой по заданной формуле с помощью опнии ]пйсо!ог. [а<к[ а< с<с вы ~Чее ]пасе Еаота< Вгае Ве<Р <а] х[ Грил<ер построения колхбинированного графика с по)аощьк) функции РОЕр[о< > е1сь(РОе\оо1а):Роер1ос([у 2+с(х,у) 2+х 2) со<и(х(х.у],х)-2 х*уаоси(с(х,у), у)-г с<х,у) х-О,. <х,у),<С,С,асп(Р1 СГО.ц Г]О),«-О .О.), хх опа -аО. оссеплалсоп-[-]Ее,ЕО].пааеоиас-лспо,илхлера-[га,га],плере<се- ]в, 1пссоо1опс-сох(с)сс,альпасе-га]хспасу1е-ратовосютоок]г 478 Глава 7.
Решение диффеуенциальньи уРавнений с) е1:= — с( с) — г с(С) — с (с) — х( г) с(с) св п с) = — с(с)п с(!) ](с] — ьс[с) сь > асОпас 9:Ьс-13/уссгс-Збс > ас-дао1не((е1.е2,еЗ,х(О] 1,у(0]=1,х(0)-1], (х(Ц,у(с],х(с) ),Суре пп»ег(о) с > ос]ер1ос [а, ( (с.х (с] -10], [с.у(с) ], [с, х (ц ) ), О.. 50,ассар>1зсса 500, со1ог-ыаои) ( < си )В) х) ас Е(а ии уа и [исеп Г-опта[ ' у)пас Кар )В) х) > геасагс пхсь(р]оса) се]с-д(11[х(с],с]-ащ~аа(у(с]-х(с]]; > е2с д1(1[у(С],С] г*х(Ц-у(С]-х(С)*х(Ц с еЗс —.д11((г(С], С)-х(Ц*у(С]-Ь*х(С]:~ Н е.' = — «(с] = О (]1с) — х(с)) ис 479 7.9. Слажнь(е колебания а нелинейных системах и средах Р~ (н( н(с ее( ие нх с ес(ссв( .
» ьпвс нс(р > ос(ер1оп(е, (х[ц,у (Ч 1,0..50,пп ро1псе 500.оо1ог П1ао(с( с ".'Е(ФХ Р((5,;.-';,С~!. Е Е (П= ЕС,УЕ( "„- о;.„с1~!~~о..,~х -...,,,..., ...—....,,, (, „(в( х( (В( х( а 7.1Р. Интерактивное решение дифференциальных уравнений 4В1 ЕОЕ Еба ЧКП )ЛЛСП Гл(ЛЕГ Елим ОВР [ Решение нелинейного волнового уравнения Бюргерса ! > геа1агсгрбег а1ЕГ(п(х,с),Г!+п(х,а) 41[1[о(х,1),х); с ( ( с ябс = ~ с(н «) ) + а(с, г) ) «[и г) 1 сн; .сг [ > 1пхг [а,0,0.5+0.5>ахп(а()( ~л~ = [и 0,05 а 05 сп(л)) > РОЕ1оо1а[РОЕР1ог) (рве, х 0..20, (п1,» 0..6*Р1, 1 -0..4,асу1е Нхбаеп, ог[епга11оп-[-22,14), оо1ог Ьхаоа,пппоьаг-бо,поп>гера-[25.25))г [в) х[ )в) х[ г."%':ае.'"' ' ~~~ х~ Ги Сне гас вел члено хсзр у~ х~ » гге!югегагггтеОВЕ \юаЛгегхаппноо ЬсрЬаайм оросгнгспгпг~аесраа - В~Ос с Фз) еагнюопг сргЪе с ггсп1 .
Ьнн-' ог Ьонглег. сопсроопс юг не гг рспп . 5г гсоп рхаписгс гнпрссегп сопаагаа 'ее оегю ~гц х гн» с '„.„':;...,и,;".»,;.";";".,'.„'"""", 55 ~, '-.';;:„";"„"г „':", рй ~, г.г' „,'~!р,г":...'-':,;",:;;-,,',, р..' г, """ вг' гар ..' Н. ао ""„:;- ', ';;:,":. '"~г.:*«с. ' х~' '"Ч ..: ", ".' " "', сиг".''.,'," "; В~"„'...
Лг ,г„„!Х~,,„,г" "ю!...„"-'-.„:";„.",~',"'-";, ' аВ~„ '"'Ц серп!;.::*': ~~ г хе-","ф',',,'аа,~..*~". -, '","~,*еР',,: р;:"р 'р:,,";1:;,";;.;=="':;:;:„';:„-,.-;,",,;:,7 П„"""„»,'' 'аВ„" гее '„'5 Глава 7. Решение дифференииалвных уравнений Е'.! "!:,ЕР'!"'5'!:,! Р Ю,юв! '!,""„:;:;.!ар ''Е'Е РГ "'5 "Г:,":5 Н,юв! -,~".;!.,::":~Х: ",г и!:-::". 5юе,. В,г'' '"'"'„',„','',,' г Е „, "хее Глава 7. Решение дифференциальных уравнений лось в подокне, но если решение слишком громоздко, то активизировав кнопку 1адге 0)яр1ау можно вывести решение в отдельное большое окно. Для изменения параметров графиков служит отдельное окно.
С его работой и другими деталями интерактивного решения можно познакомиться по справке. 7.11. Анализ линейных функциональных систем Завершим главу описанием пакета [.[пеагРцпс([опа18уя(еп)я. Он содержит специальные средства для решения дифференциальных уравнений, описывающих линейные функциональные системы.
T.11.1. Назначение пакета Ез[пеагрцпст!опа!8увтегпв Пакет Ыпеагрцпс([опа!Буя(еп)я содержит набор функций для решения задач, связанных с анализом линейных функциональных систем. Обычно такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеющими то или иное решение. Пакет [.)пеагрцпс()опа)8уя(епы позволяет провести тестирование подготовленной системы, оценить ряд ее параметров и получить решение одним из ряда методов.
Вызов всех функций пакета осуществляется командой: > и~еп(цьпеаггппсе1спа1яуяеетя); [Аге5ате5о!и!/оп, Салоп/са!5уя!ет, Ех!епй5ег/ея, Нотойепеоы5угает, /я5о!иг/оп, Ма!пхТг!апйи!оп~а!/оп, Ро!упот!а!5о!ийоп, Ргорег6ея, Каг!опа!5о!иг/оп, 5епеаЫи!!оп, Е/и!юегяа!/)енот!пагог) 7.11.2. Тестовые функции пакета Опеагрцпст)опа18увтегпв Прежде чем рассматривать основные функции пакета, рассмотрим две тестовые функции. Они представлены следующими формами записи: 1яЯо1ссьоп(яо1, яуя, чаха) 1яЯс1псьсп(яо1, А, Ь, х, саяе) 1яЯо1псьсп(яо1, А, х, саяе) АхеЯатеЯо1сс1сп(яс1, яо11) В них: яо! — тестируемое решение, яуя — система функциональных уравнений, х — независимая переменная решения, А и Ь вЂ” матрица и вектор с рациональными элементами, саяе — имя метода решения ('с)1((егеп()аГ, '()1((егепсе' или '()()11- [егепсе') Ч.11.3.
Функции решения линейных функциональных систем Группа основных функций пакета Бпеагрцпсбопа)8уя1епзя имеет идентичный синтаксис и записывается в виде: пате (яуя, уагя, [тесисс)1) или пате (А [, Ь1, х, саяе, [тесисс)) ) Здесь пате — одно из следующих имен: ° Ро1упо)п)а18о(ц(юп — решение в форме полинома; ° йа1юпа18о(ц()оп — решение в форме рационального выражения; ° 8епея8о)ц(юп — решение в виде ряда; ° Оп1чегяа10епоп))па(ог — решение с универсальным знаменателем (и числителем, равным !).
7. 12. Новые возможности Мар!е 10 в регаеиии диффврвициальимх >равивиий 485 Система функциональных уравнений задается либо в виде полной системы зуз со списком переменных чагз, либо в матричном виде с заданием матрицы коэффициентов системы А и вектора свободных членов Ь (может отсутствовать) с указанием независимой переменной х и параметра сазе, имеющего значения 'б!Г(е- гепбаГ, 'б[Г(егепсе' или 'с б)Г(егепсе'. Параметр гле!Ьоб, задающий метод ЕС-исключения может иметь значения 'г)цазлпобц!аг' или 'огб1пагу'. Ч.11.4. Вспомогательные функции Несколько вспомогательных функций пакета (>пеагЕцпсбопа!8уз1евз представлено ниже: ° Ма(пхтпапдц1апха1юп(!па1, гп, и, х, й) — триангуляция матрицы !па1 размера гпхп с указанием типа й ('!еаб' или '1га)Г); ° Салоп!са18уз1еп~(зп!(1, зуз, чагз) или Сапоп!са!8уз1ею(ай!11, А[, Ь), х, саве)— возвращает систему в каноническом виде (параметр зп!й задается как 'б!Г(егепсе' или 'г)-б1((егепсе', назначение других параметров соответствует указанным выше для других функций); ° Ех1епб8епез(зо1, бед) — расширяет ряд решения зо1 до расширенного ряда степени бед; ° Нопюдепеоцз8уз1егл(попю, зуз, чагз) или Нопюдепеоцз8уз!егп(полю, А[, Ь), х, саве) — преобразует исходную систему в гомогенную с именем Ьопю.
° Ргорег11ез(зуз, чагз) или Ргореп!ез(А[, Ь), х, сазе) — возвращает основные свойства системы. Ряд примеров применения пакета ЫпеагЕцпсг)опа18узгегпз представлен в фаиле 1Гз и в справке по данному пакету. 7.12. Новые возможности Мар[е 10 в решении дифференциальных уравнений У.12.1. Средства Мар)е 10 для аналитического решения дифференциальных уравнений Возможности Мар!е 10 в решении дифференциальных уравнений существенно расширены. Это прежде всего касается решения ряда таких уравнений в аналитическом виде. В частности введен ряд новых опций для функции бзо)че, представляющих решения дифференциальных уравнений, например Абеля, Риккати и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
