Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 39
Текст из файла (страница 39)
4.38. 4.10. Векторные вычисления и функции теории поля 4.10.1. Пакет векторных вычислений Честогсв1сц!цв В Мар!е 8 были существенно расширены возможности вычислений над векторами (пространственными объектами) и поверхностями. Для этого введен пакет Чес(о(Са1сц(цз, который, при вызове, открывает доступ ко многим командам и функция векторного анализа, теории поля и приложений дифференциальною исчисления 167, 68) (файл чс): > гавгасег чъсь(Часаосоа1оо1ов(г ЯпеесГаса(вповаввопва=01; иаспьпд, <па аввьдпе<( палев <,> апо <(> пои паче а д1оъа1 ььпдьпд Нагпзпд, СЬеве ргоСесСе<( павев паче Ьееп гес(еГъпе<( апс( цпрсоСессес(: *, +, , ЧесСос, <(ъяя, зпС, 1(явъС, весяев ! В», '", +,, <,>, <1>, АЫСоопйпагея, Агс)елрК Воя(яроттаг, Втотпш1, СгояяРтог3исг, Сиг1, Сигчагиге, Ое1, 0сгестшлаЮЯ; О(чег8елсе, Во(Рпн1исг, Р1их, Ое(Соогг11пагеРагатегегя, ОегСоот(йпагея, Опи)1епг, Неяяшп, яасоЬшл, Еар1асгап, 1япе1пц МарТоВая(я.
1чаЬ(а, Раг((!лг, Рт(лс(райдогпш), Ка(йияОРСишагите, Яса(агРогепгш1, Бе(Соог(((пагеРагатегетя, Яе(Соопйлагея, Яигуасе1т, ТНВГгате, Тапвелг, Тал8елг7лле, Тапвеп(Р1але, Тал8елгУесгот, Тотягол, Уесгог, Уестогр(еЫ, УесгогРогепгш1, %говядо, Й3', еча1УГ, )лг, йт(г, зенея] Нетрудно заметить, что данный пакет после загрузки видоизменяет многие операторы, команды и функции, встроенные в ядро системы. При этом меняется их математический и физический смысл. Поэтому пользоваться пакетом надо с известной осторожностью.
Для восстановления роли функций можно использовать команду геэ!аг!. Пакет Чес(о(Са!сц1ця ориентирован в первую очередь на решение задач математической физики, использующих методы теории поля и приложения дифференциального исчисления. Он оперирует такими привычными для физиков (разумеется, и для математиков) понятиями, как поток векторного поля, градиент, торсион, векторный потенциал и др. Приведенный ниже материал поясняет применение большинства функций этого пакета. Полезно просмотреть и файл Чес(о(Са!сц!ця.ппчя, содержащий примеры его применения. В Интернете можно найти целую серию уроков по векторному анализу и теории поля в виде пакета Са1сц!цв 1Ч или Ч (разработчик проф.
5. %айпег). л лава 4. Практика математического анализа 4.10.2. Объекты векторных вычислений Вектор в геометрическом представлении в данном пакете по умолчанию задается в прямоугольной системе координат: > ч:= чесгог( [х,у, г] ); ч:=хе„+уе„+ее, Здесь е„, е„и е, — проекции единичного вектора е на оси координат х, у и г. Тип координатной системы (по умолчанию — прямоугольная) можно определить следующим образом: > аггг1Ъогеа (ч); сооп(з = сопел]ап Для создания векторного поля служит функция Чессоггзе1<)(ч, с) где ч — вектор и с — опционально заданный параметр в форме пап)в[па(пе, пате, ...), задаюший тип координатной системы.
Можно изменить систему координат, например, задав (с помошью функции установки координат Зе(Соогс]]па(ев) полярную систему координат: > зегсоогд1оасеа( ро1аг ); ро1аг > ч:= <г, Гьега>г в:=ге, +8еа > аггг1Ьогеа (и) ) сооп(з = ро!ог Аналогично можно задать вектор в сферической системе координат: > яегсоог<)ьоагеа( арьегьса1[г,рьз,гьега] )) зряепса!г,ка > Г := ЧессогГзе1б( <г,О,О> > ассгзЬосеа(Г): )есго)у]еЫ, сооп(з = зр](ег[со1, аа Можно также сменить формат представления вектора и выполнить с ним некоторые простейшие векторные операции: > ВааьаГОППаГ(га1аЕ)( ггие > ч:= <а,Ь,с>; ги 4.
10. Нектарные аычисеении и функции теории наля > Вавьвуогвас[сгпе)) ае, +Ьеа+сез > Зегсоогбупагев( ро1аг ) г ра1аг > ИарТоВав1в( <г,свеса>, 'сагсез1ап' ) г соз(6) е„+ г 5]п(8) е„ > Зессоогоьпасев( врвегьса1 ); врдепса1 > иартоВавув ( <г, рьь, гпега>, ' саггезьап ' ); гяп(ф)сов(В)е„+гяп(ф) яп(6)е„+гсов(ф)е, > зегсоогбьпасев[ врпегуса1[г,ры,гпега] ) ( вряепса1, > ИарТоВавьв [ Чессогвуе1б [ <г, О, О> ) . "сагсезуап ' (х, у, г] ) г хе„+уе„+ее, Пакет Чесго(СВ]сц]цз предусматривает возможность задания новой системы координат с помощью команды: АббСоогдупасез (пеевуз, еппв, оег1ге) где печчзуз — спецификация новой системы координат в виде Зуп)Ьо([пап)е, пате, .); е(]пз — соотношения между координатами новой системы и прямоугольной системы координат, представленные в виде ]]5[(а]9еЬгв]с); о)нп(е — заданное опционапьно равенство. 4.10.3.
Основные операции с векторами В данном пакете переопределены некоторые основные операции над векторами. Прежде всего, это операции сложения (+) и скалярного умножения (*), которые поясняются следующими примерами (файл чор): > 5еГСоогд1пасев( сагсевьап ) ( саг(еяан > <х,у,г> + в*<х1,у1,Й1>с (х + и х1)е„+ (у + т у1)е„+ (е + т 11)е, > (<г(а+п),в(а+й) ° Г(а+в)> — <г(а),в(а],г(а)>) / Ь) г(а+ Ь) -г(а) 5(а+ Ь)-з(а) ((а+Ь) -((а) е„+ е„+ е, х 1 У > 11в1Г(Ъ,П-0) г 0(г)(а)е„+ 0(з)(а)е„+ 0(г)(а)е, Б(аеа 4.
Практика математического аиаеиза Обратите внимание на вычисление предела в конце этих примеров. Далее можно отметить операцию точечного умножения, которая иллюстрируется следующими вполне очевидными примерами: > <а.Ь> . <с,о>г ас+Ьс( > яегсоогоьоагев( ро1аг ] ро1аг > <а,Ь> . <с,<)>( асоь(Ь) ссоь((1) + аып(Ь)ся[п(Н) > соиььсе(в, ггьч) ) а с соь(Ь вЂ” с() > Зессоогоьпагев ( саггев1ап (х,у, в) ) саггеьгаи„г г > Ое1 .
Чессогуье1с( <х"2,у"2,г"2> )( 2х+2у+22 > Юе1 . Ве1) Уес(огСа1си(ик-1.ар(аыап > (пе1 . ое1) ( г(х,у,г) )) — Г(х,у,е) + — Г(х,у,г) + — Г(х,у,<) > Ь:= Чессоггье1с)( <х,у, г> ) . Пе1; 1.: = е -+ уесгогСа1си(иь>'.'(Чес(ог[со[цп)п[(3,[... [,([а(а(уре = апу(Ь[п 1 д, яогаае = гес(апаи)аг, оп)ег = Еопгап огдег, а((г[Ьи(еь = [вес(огГ е)д, соог((ь = сапеяап[х, у, гЦ, Фаре = Ц, )УесгогСа1си(ик-Юе((е)) > Ь[ г[х,у,г) ) — Г(х,у,е) + — Г(х,у <) + — Г(х У 2) Определена также операция кросс-умножения: > <а,Ь,с> ьх «),е,г>) (Ь1 — се)е„+(сд-а Г)е„+(ае-Ь(Г)ег > ЯеГСоогаьпасев( су1гпагьса1 ); суйа(пса1 > <а,Ъ,с> ьх <о,е, Е>( (сг(соь(е) -асов(Ь)1) +(аяп(Ь)1 — с(1ып(е)) е, + агс(ап( с И соь(е) - а соь(Ь) Х, а ы[п(Ь)1' - с (1 ып(е))ев + ( а соь(Ь) (( ып(е) — а ып(Ь) (1соь(е)) е, гю7 4.
1О. Векторные вычисления и функции теории иоея > Веесоогавпагев( оагсевгап[х,у,г) ) саггез1ая„г г > Ое1 вх Чеосогтге16( <у,-х,г> )г (-2)е, > Ь := ЧеоеогРЬе16( <х,у,г> ) Вх Ое1; 1.: = е -> чесгогСа1си1ик-'с2х'(Чес(ог[со[шпп[(З.[... [, да(а(уре = апу( )))па, вгогаде = гес(апр)[аг, огдег = гопгап огдег, а((пЬО(ев = [чес( огйе[д, соогдв = сапев[ап[х, у, х[[, в))аре = [[), УесгогСа[си1ив:-Сгад(епг(е) ) > 1,( Г(х,у,г) )г — Г(х,у, в) — — Г(х,у, е) е„+ е — Г(х,у, е) — — Г(х,у, е) „+ — Г(х,у,е) -у — Г(х,у,е) е, > Ь:= Ое1 вх Ое1; Е: = (УесгогСа!си1ия:-Сиг1)е)(УесгогСа[си!ив>Сгабгепг) > Ь( Г(х,у,х) ); Ое„ 4.10.4. Операции о кривыми В пакете векторных операций определен ряд типовых операций с кривыми.
Ниже представлено задание эллиптической кривой и вычисление в аналитической форме нормали и радиуса кривизны (файл чорспгчев): > Вегооогбвпасев( оагееввап ); саг(ез(ап > аввове( с::геа1 )г > е11:= <2*сов(г],вЬп(Г)>; е11: = 2 сов(г) е„+ в! п(г) е„ > пч : вЬвр11Гу( Ргвпо1ра1погиа1(е11, М ); 2 сов(г) е„+ 4 в[п(1) е„ (Зсов(г)г 4) -Зсов(г)г +4 Глава 4. Практака математического анализа > 1еп := вувр11еу( Ьгпеагй1деЪга(-Нога(( пч, 2 ) ) [еп: =— 2 Зсов(() -4 > г := в1л(р11гу( Ва<]зивогсигчасиге (е11] ) г:=--(Зсов(с) -4 -Зс(ж(() +4 ! 2 2 Теперь можно представить саму кривую (эллипс) и ее эволюту (рис.
4.39): > еч : в1ар11еу( е11 + г * пч / 1еп ); еч:= — сов(() е„+Зсйп(()(-)+сов(() ~„ > р1ОГ( [ [Е11[1), Е11[2), с=0..2*Р1), [ЕЧ[1), ЕЧ[2), с=0..2*Р1! ! )( Рис. 4.39. Графики кривой — зллипса и се эвола(ты Нетрудно заметить, что для эллипса эволю а представляет собой удлиненную астроиду. Для вычисления кривизны кривой С используется функция Сц(ча(иге(С, !) в которой параметр ( может и отсутствовать: > Сигчагиге ( <сов (Г], Г, вуп (Г] >, Г ) ] ! — Г2 Р)' ° 2 ( (~(' Г2 4 > с:= Сигчагиге( г -> <г,г"2,г"4> ): > Вза(р11гу( С(Г) ) аааиаулч Г::ГЕа1; 2 [М! 36! ° ( (! + 4 (] + ! б (ь )(](з] > аессоогс(1пасев( 'ро1аг' ); (воlог > Сигчасиге ( <ехр (-Г" 2) . с> ): > взл(р1ггу((() аввиаупд г(:геа1; (4(з+3)е" ' (! +4,з)(]л] 289 4.10. Вектариые еычиглеиии и фуик((ии теории и(ия 4.10.5.
Интегрирование в пакете ЧестогСа]сц]цв В аспекте практических приложений векторною анализа и теории поля особый интерес представляют приложения интегрирования пакете Чес(о(Са[сц]це. Так, видоизмененная функция [п1(г, (]оп)) задает вычисление интеграла от функции / по области (]оп). например (файл чес[п(): > гевсагс ГЕЕГЬ (Чессогса1сп1ив): > Епг( х"2+у"2, [х,у] Сагс1е( <0,1>, г ) ); лг > 1пг( в1п(х) *сов(у) *сап(г), [х,у,г] = Рага11е1ер1ре<) ( О..Р1, О..РР/3, О..Р1/4 ) ); — /3!п(2) 2 Функция Ра!))]п!(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
