Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Для выяснения такого поведения разумно построить график функции при малых х и у. Он также представлен на рис. 5.2 (нижний график) и наглядно показывает, что экстремум вблизи точки (0,0) является обычным минимумом, немного смещенным вниз и влево от начала координат. Теперь перейдем к анализу функции г(х). Для поиска нулей функции (точек пересечения оси х) удобно использовать функцию (во1че.
поскольку она позволяет задавать область изменения х, внутри которой находится корень. Как видно из приведенных ниже примеров, анализ корней г(х) не вызвал никаких трудностей, и все корни были угочнены сразу: > Гва1че(Г(х],х,-2...-1); -1.462069476 > Гво1че (Г (х),х, †. 01 .. 0 . 01) с О. > Гво1че(Г(х),х,—.05..0) ю -.02566109292 > Гво1че (Г (х),х, 1 ..
2): 1.7!0986355 > Ево1че(Г(х),х,2.5..3)ю 2.7!4104921 Нетрудно заметить, что функция имеет два очень близких (но различных) корня при х близких к нулю. Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и сингулярных точек реализуется следующим образом: > звоопг(Г(х),х=-4..4); (гие > с)1всопг (Г (х), х) > в1поп1аг(Г(х)) (х = о), (х = о) Этот анализ не выявляет у заданной функции каких-либо особенностей. Однако это не является поводом для благодушия — попытка найти экстремумы Ях) с помощью функции ех(геп)а и минимумы с помощью функции п)(п1гпаье завершаются полным крахом: > ехггева(Г(х), (),х, 'в') (в; > взпзе1ге(Г(х),х=-.1...1) п)(п!п)(ге(.05х + хе(Ч"~) в!п(2 х), х = -.1 ..
1) > вьп1езге (Г (х), х -2. 5 .. -2) и)!п(п)12е(.05х+хе( ("1) ейп(2х), х =-2.5 .. -2) 310 Глава 5. Анализ функциональных зависимостей и обработка Данных Приходится признать, что в данном случае система Мар[е ведет себя далеко не самым лучшим способом. Чтобы довести анализ г[х) до конца, придется вновь вспомнить, что у функции без особенностей максимумы и минимумы набпюдаются в точках, где производная меняет знак и проходит через нулевое значение. Таким образом. мы можем найти минимумы и максимумы по критерию равенства производной нулю.
В данном случае это приводит к успеху: > Епо)че(с)1ЕЕ(Г(х),х) =О,х,-.5...5); -.01274428224 > хзпс и) хт:= -.0003165288799 > [Г(хв), Г(хе+. 001), Г(хоп-. 001) ) Р 1-.00001562612637, .000035!0718293, -.00006236451216 ) > Ево1че (с)пЕЕ (Г (х), х) =О, х, -2. 5 .. -2) -2.2712! 2360 > Епо1че(с)1ЕЕ(Г(х),х) =О,х,2..2.5); 2.175344371 Для случая поиска максимумов: > еахзспъхе<Г(х),х=-1.. †.5); п)ахнп!хе!.05х+хе( [")) йп[2х), х =-1 ..
-.5) > Еео1че(с)1ЕЕ(Г(х),х), х,-1..—.5) г -.8094838517 > Еео1че <с)1 ЕЕ (Г (х), х), х, . 5 .. 2); .8602002115 > Епо1че(с)пЕЕ(Г(х), х),х,-4..-3); -3.629879137 > Еео1че (аЕЕЕ (Г(х),х),х, 3.. Я); 3.899664536 Итак, все основные особые точки данной функции [нули, минимумы и максимумы) найдены, хотя и не без трудностей и не всегда с применением специально предназначенных для такого поиска функций. 8.1.13.
Мар1ет-инструмент по анализу функциональных зависимостей Для анализа функциональных зависимостей Мар[е 9.5 имеет специальный Мар[е<-Инструмент. Он вызывается командой Тоо[з -+ Тц(огз -+ Са[сц[цз-8!п8[е ЧапаЫе -+ Сцгче Апа[уз[в... Она открывает окно инстумента, показанное на рис.
5.4 5.2. Работа с функциями из отдельных кусков бс:,$,,- а-~т с.~е аюс с 8 с асса г а„г а Г Рса ю~ з с" асс е 489 Г .сасс ° а РССЮЬ'ЗР 84ыесасаес с! се ееезе сс е 4сз а ° есе с: -9-68, 9.48! 5 , <-9.49, З.З91 о 868, . 964] Р6.44, 6.363 -за Па.. -8.99) 3!2 Глава 5. Анализ функциональньп эавиеилнктпей и обработка Данных 5.2.2. Простые примеры применения функции р)есе(й)ве Рис. 5.5 показывает задание функции Дх), содержащей три характерных участка. По определенной через функцию пользователя зависимости Г(х) можно, как обычно.
построить ее график. (в) х( (В) х) (йе 1Ш х Хсхс Хч ~ ' " ЮЕЙ Вхх > 1. х р» сео(хе(х 2 4,х 2.— 2 х'2) 2 2 2 У=х — ~(хсссхле(4 сх х — 2х ) 4сх 2 ос/гег хе ) р1о1(1(х),х= — 5 .. 5,оо1ох Ь1лоХ) 5.2. Работа с фуикцилми из отдельиых куслоа Для выявления характера функции воспользуемся функцией сопчег) и создадим обьект д в виде кусочной функции: > с := сопчесс(Г, рлесееьее); х — 1 Выполним дифференцирование и интегрирование функции: > Грхьее: Й1ГГ(Г, х) ) ~Г5 ! х<- — +— 2 2 2х ~Г5 1 х=- — +— 2 2 илье/те0 Г5 ! х< — +— 2 2 /рпте: = ,Г5 х= — +— 2 2 ипате/те() ~Г5 1 — + — <х 2 2 2х > 1пк [с, х) ьпс (д, х) з -х -2х 3 х — 2 з 1 5 7 — х -х+ — )Г5— 2 12 12 х — 1 1 5 — х) — 2х+-45 3 б х — 2 Как нетрудно заметить, результаты получены также в виде кусочных функций. Можно продолжить работу с функцией 1 и выполнить ее разложение в степенной ряд: > еехьее( Й, х ); ! О(~6) Чтобы убрать член с остаточной погрешностью, можно выполнить зту операцию следующим образом: > еесьее(я, х) ,Г5 1 х< — +- 2 2 ~Г5 1 х< — +- (!х= 2 2 ,Г5 1 — +-<х 2 2 ~Г5 1 х< — — +- 2 2 ~Г5 ! х< — +— 2 2 ~Г5 1 — + — <х 2 2 „Г5 1 ха — — +- 2 2 ,')5 1 х< — +- 2 2 ~/5 ! — +- <х 2 2 314 Глава 5.
Анализ функцианальньгх зависимостей и обработка данных Обратите внимание на то, что поскольку разложение в ряд ищется (по умолчанию) в окрестности точки х = О, то при этом используется только тот кусок функции, в котором расположена эта точка. 5.3. Операции с полиномами 5.3.1. Определение полиномов К числу наиболее известных и изученных аналитических функций относятся степенные многочлены — нолиномы. Графики полиномов описывают огромное разнообразие кривых на плоскости.
Кроме того, возможны рациональные полиномиальные выражения в виде отношения полиномов. Таким образом, круг объектов, которые могуг быть представлены полиномами, достаточно обширен, и полиномиальные преобразования широко используются на практике, в частности, лля приближенного представления других функций. Под полиномом в СКМ сумма выражений с целыми степенями. Многочлен для ряда переменных — многомерный полином. К одномерным полиномам относятся степенной многочлен а(х) = а„х" + а ~ х ' + ... а~х + ао, а также отдельная переменная х и константа.
большое достоинство полиномов состоит в том, что они дают единообразное представление многих зависимостей и для своего вычисления требуют только арифметических операций (их число значительно сокращается при использовании хорошо известной схемы Горнера). Производные от полиномов и интегралы с подынтегральными функциями-полиномами легко вычисляются и имеют простой вид. Есть и достаточно простые алгоритмы для вычисления всех (в том числе комплексных) корней полиномов на заданном промежутке. 5.3.2. Выделение коэффициентов полиномов Для выделения коэффициентов полиномов в Мар1е служат следующие функции: сов6(р, х) — возвращает коэффициент при х полинома р; сов(1(р,х,п) — возвращает коэффициент для члена со степенью и полинома р; сов(1(р,х"и) — возвращает коэффициенты при х"и полинома р; сое1(в(р, х, 1') — возвращает коэффициенты полинома нескольких переменных, относящиеся к переменной х (или списку переменных) с опцией '1', задающей имя переменной; со11ес1(р,х) — возвращает полином, объединяя коэффициенты при степенях переменной х.
Ниже даны примеры применения этих функций (файл сое(сой): > р:=ао*х"О+аз*х"3+а2*х"2+а1*х+аог р:= а4х +аЗх +а2х +а1х+аО > соегг (р, х) г а) 315 5.3. Оиерации с ламии(виами > соевв (р,х"3); аЗ > соеет(р,х,4); а4 > соеГГв (р,х) аб, а4, а1, аЗ, а2 > с):=х"2+2*у"2+3"их+4"У+3) а)=х +2у +Зх+4у+5 > соеГвв (Ч) ) 5, 2, 3, 4, ! > сое1йв(Ч, У) ' х)+Зх+5, 2, 4 > соевГв(с(,х,у)ю 5+2у~+4у 3 ! > со11есс (Ч,х! х +2(),х~,х)~+Зх+(4,4х~,4х)+5 > со11есс (Ч, х, у); у(!)хз+у(3)х+у(5+2у +4у) Дополнительные примеры на применение функции со!!ес( можно найти в файле сойес1.
5.3.3. Оценка коэффициентов полиномв по степеням Полином может быть неполным, то есть не содержать членов со степенями ниже некоторой. Функция !сое!( возвращает старший, а функция !сое(( — младший коэффициент полинома нескольких переменных. Зти функции задаются в виде: Соседей(р) Ссое1й(р, х) ссоехт(р, х, 'с') 1соетт(р) 1соейй(р, х) 1соей1'(р, х, 'с') Функции )сое(( и 1сое(( возвращают старший (младший) коэффициент поли- нома р относительно переменной х или ряда переменных при многомерном поли- номе. Если х не определено, (сое(( ((соей) вычисляет старший (младший) коэффициент относительно всех переменных полинома р.
Если третий аргумент 1 определен, то это имя назначено старшему (младшему) члену р. Если х — единственное неизвестное, и () — степень р по х, то )сое(((р, х) эквивалентно сое(((р, х, ()). Если х — список или множество неизвестных, !сое(( (1сое(() вычисляет старший (младший) коэффициент р, причем р рассматривается как полином многих переменных. Имейте в виду, что р должен быть разложен по степеням неизвестного х до вызова функций !сое(( или (сое((.
316 Глава 5. Анализ (руннцивнальных зависимостей и обработка данных Приведем примеры применения функций [сое([, 1соет[ и сое([в (файл ро[ап): > с)с=1/х"2+2/х+3+4*х+5*х"2г ():= — + — +3+4х+5х 1 2 хз х > 1соеВГ(с(,х); > 1соегг(я,х,'Г')) х > соегга(п,х,'г') 3, 1, 4, 2, 5 1 1 1 [,—,х,—,х хз х 5.3.4. Оценка степеней полинома Функция бедгее возвращает высшую степень полинома, а 1бедгее — низшую степень.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
