Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Функции отличаются характером сортировки. Функция Япог(ег определяет полином ! как более короткий, чем д. по следующим признакам: меньшая длина, меньшее имя независимой переменной х, не дробный и меньшая степень других переменных. Функция Яог( сортирует лист полиномов х по признакам, определяемым Япог(ег. Функция ЯЬог(еп использует пре- ЗЗО Глава 5. Амализ фумкциомальныг зависимостей и обработка данных образования Мебиуса. Многочисленные детали ее применения можно найти в справке по данной функции. Примеры применения функций сортировки: > ВЛогеео(х" 24х+1, х) 4 хз +3 > ЯЛогеео(З*х" 3+18*х+14,х] > ВЛогеео(х"4+32); Х4 + > ЯЛоггег (х" 3, х+5, х); )о[за > Яогг( [х" З,х"2,х+1,х+5] ] г Еггог, (Ео хогг ро1у) хогг ро1у оаеа а 2ог) агоовеог, х, еи[сЛ 1В вйяайпд > Воге ( [х" 3, х" 2, х+1, х+5], х] г [1 + х, х + 5, х~, х]] 5.5.4.
Функции преобразования попиномов в РОЕ и обратно Функция Ро[упоп])а]тоР[)Е(ро[уа, чагЯ, ([ерчагв) преобразует полиномы ро[уВ по независимым переменным чагя в дифференциальные уравнения с частными производными (РЕ]Е). Другая функция РОЕТоро[упогп[а[(рс]ея, чагя, г)ерчагя) осуществляет обратное преобразование. Следуюшие примеры иллюстрируют применение этих функций: > В:= Ро1уоов1а1тоРОЕ(1(х"2 - 2*х + 1]*о + х"3 ч], [х1, [о,ч]) ' Ю:ю — зв(х) -2 — ц(х) +ц(х)+ — ч(х) > РоетоРо1уоов1а1(В, [х], [о,ч]]) [(хз -2х+!)и+х] ч) 5.6. Введение в интерполяцию и аппроксимацию 5.6.1.
Основные понятия Если некоторая зависимость у(х) представлена рядом табличных отсчетов у,(х), то интерполяцией принято называть вычисление значений у(х) при заданном х, расположенном в интервале между отсчетами. За пределами обшего интервала определения функции [а, Ь), то есть при х < а и х > Ь вычисление у(х) называют экстраполяцией (или, иногда, предсказанием значений функции).
В данном случае речь идет об одномерной интерполяции, но возможны двумерная интерполяция функций двух переменных 2(х, у) и даже многомерная интерполяция для функций многих переменных. 5.6. Ввеоение в интерполяцию и аппроксимацию 5.6.2. Полиномиальиая аппроксимация и интерполяция аналитических зависимостей Расслютрил» основы полиномиальной аппроксимации (приближения) функциональных зависимостей. Пусть приближаемая функция д (х) должна совпадать с исходной функцией 2(х) в (и+ 1)-точке, то есть должно выполняться равенство: »р(х) =2(х) =2л» = О, ..., и.
В качестве приближающей функции прил»ел» алгебраический полинолк »р(х) и Р„(х) = ~" а»х" ~. (5.1) Выбор конкретного значения и во многол» определяется свойствами приближающей функции, требуемой точностью, а также выбором узлов интерполяции. В случае аналитической функциональной зависилюсти выбор степени полинома л»ожет быть любым и чаще всего определяется кол»промиссол» между сложностью полинол»а, скоростью его вычисления и погрешностью. В качестве критерия согласия принимается условия совпадения функций2 и а в узловых точках: » (х,) = Р„(х,), (» = О, 1, ..., и).
(5.2) Полинол» Р„(х) удовлетворяющий данному условию будет интерполяционныл» полиномол». Для задачи интерполирования в интервале [а, Ц выбираются значения аргул»ентов а<хл<х,« ... х„<Ь, которые соответствуют значениял» 2",=2(х) (»= О, 1, ..., и) функции 2". Для этой функции будет существовать и притом единственный полином степени не выше и, который принимает в узлах х; заданные значения 2",.
Для нахождения этого полинома решается систел»а алгебраических уравнений аох" +а,х" '+ ... +а„= Я, (» = О, 1, ..., и). Интерполяция и экстраполяция часто выполняются по некоторой скрытой, но подразул»еваемой, зависимости. Например, если узловые точки функшш соединить отрезкал»и прямых, то будел» иметь многоинтервальную линейную интерполяцию данных. Если использовать отрезки параболы, то интерполяция будет параболической. Особое значение имеет многоинтервальная сплайн-интерполяция, области применения которой уже сейчас весьл»а обширны и непрерывно расширяются.
Интерполяция рядол» Фурье (набором синусоидальных фунлций) также достаточно хорошо известна; она эффективна при интерполяции периодических функций. Аиироксимацие») в системах кол»пьютерной мател»атики обычно называют получение приближенных значений какого-либо выражения. Однако под аппроксимацией функциональных зависилюстей подразул»евается получение некоторой конкретной функции, вычисленные значения которой с некоторой точностью аналогичны аппроксимируемой зависимости. Обычно предпочитают найти одну зависимость, приближающую заданный ряд узловых точек.
Часто для этого используют степенные л»ногочлены — полиномы. Здесь мы будем рассматривать такие виды аппроксимации, которые дают точные значения функции у(х) в узловых точках в пределах погрешности вычислений по умолчанию. Если аппроксимирующая зависимость выбирается из условия наименьшей среднеквадратической погрешности в узловых точках (метод наил»еньших квадратов), то мы имеем регрессию или приближен»»е функций по методу наил»еньших квадратов.
332 Глаза 5. Анализ функциональных зависимостей и обработка данных Подставив полученные значения а„в равенство (5.1) можно получить обобщенную форму представления интерполяционного полинома р( ) г (х х~)(х х~)."(х х ) г (х хо)(х-х~)"-(х-х 1) (хо — х~)(хо — х2)... (хо — х„) "(х„-хо Кх„- х,)... (х — х„„) Получив интерполяционный полином (5.3), необходимо выяснить, насколько близко он приближается к исходной функции в других точках отрезка 1а, Ь1. Обычно для этого строится графиках) и Р„(х) и график их разности, т.
е. абсолютной погрешности. Последняя определяется выражением: (юн-$) ~е(х)14,Г(х) — Р„(х)~< " ~в„(х)~. (и+1)! (5.4) Вопреки существующему мнению о быстрой потери точности полиномиальной аппроксимации при и> (5 — 7) погрешность ее быстро уменьшается при увеличении и. Но это только при условии, что все вычисления выполняются точно! При выборе метода приближения необходимо обеспечить по возлюжности более высокую точность приближения и одновременно простоту построения о(х) по имеющейся информации о приближаемой функции Г(х). 5.6.3.
Интерполяцнонный метод Лагранжа. При решении практических задач часто используют специальные виды интерполяционных полиномов, которые упрощают некоторые вычислительные процедуры. Данный метод предполагает введение вспомогательного полинома 7(х) степени и. Полином 1(х) в точке х, должен быть равен 1, а в остальных точках отрезка интерполяции должен обращаться в нуль. Удовлетворяющий этому полином может быть представлен в виде: (х -хо)...(х -х,](х -х„,)... (х -х„) на ' (х, -«~)...(з» -х,,)(х, -х,,)...(х -«„) (5.5) со„(х) , О (х — х )о~'„(х,) (5.5) Теоретически максимальную точность обеспечивает полином высокой степени.
Однако на практике часто используется полином невысокой степени (линейная и квадратичная интерполяция) с увеличением степени интерполяционного полинома возрастают колебательные свойства полинома. Аппроксимация с помо- Это выражение известно как интерполяционный полином Лагранжа. Важным достоинством ее является то, что число арифметических операций, необходимых для построения полинома Лагранжа, пропорционально и' и является наименьшим для всех форм записи. Данная форма интерполяционного полинома применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов.
Достоинством является и то, что интерполяционный полином Лагранжа удобен, когда значения функций меняется, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях. Рекомендуется использовать запись интерполяционного полинома в форме Лагранжа при теоретических исследованиях при изучении вопроса сходимости 1.„(Г, х) к Гпри и — ~ о. К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов необходимо все вычисления проводить заново. Выражение (5.4) можно записать в более компактной форл1е: 5.б.
Введение в интерпаляцию и аппроксимацию 333 щью интерполяционного полинома Лагранжа является достаточно эффективной, когда интерполируются гладкие функции и число п является малым. В частности в математическом обеспечении компьютерных средств имеется стандартные подпрограммы аппроксилщции, в которых реализована формула Лагранжа. 5.6.4. Интерполяционный метод Ньютона На практике для повышения точности интерполяционного полинома незначительно увеличивают количество узлов интерполяции.
В этом случае использование метода Лагранжа неудобно, так как добавление дополнительных узлов приводит необходимости пересчета всего интерполяционного полинома в целом. Эти недостатки устраняются, если записать полином Лагранжа, используя интерполяционный метод Ньютона.
Используя понятия разделенных разностей для полинома Ньютона можно получить выражение: )у («) = Х(«о)+(» «о)Л»~ «о)+(» «о)(» «~И»о»н«1)+ ". + (5 б) +(» — «о)(» — «,)...(»-»„)Г'(»,»о,»,, ..., «„) Представление интерполяционного полинома в форме Ньютона является более удобным в практических расчетах. На практике часто заранее неизвестно количество узлов и, следовательно.
степень интерполяционного полинома. Для повышения точности интерполяции в сумму могут быть добавлены новые члены, что требует подключение новых узлов. Добавление новых узлов интерполяции приводит лишь к появлению новых слагаемых полинома, без изменения уже существующих, что не требует пересчета всех коэффициентов заново. При добавлении новых узлов интерполяции неважно, в каком порядке они подключаются, но существует одно условие — узлы», не должны совпадать. 5.6.5. Итерационно-интерполяционный метод Эйткена Итерационно-интерполяционный метод Эйткена позволяет свести вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Лагранжа, с учетом его равенства в узлах интерполяции с исходными данными к вычислению функциональных определителей второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
