Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Паде-аппроксимация аналитических функций Для аппроксимации аналитических функций одной из лучших является Паде-аппроксимация, при которой заданная функция приближается отношением двух полиномов. Эта аппроксимация способна приблизить даже точки разрыва исходной функции с устремлениями ее значений в бесконечность (при нулях полинома знаменателя. Для осуществления такой аппроксимации используется функция рабе: рас1е(Г, х а, [в,п) ) рас(е(Г, х, (е,п) ) Здесь à — аналитическое выражение или функция, х — переменная, относительно которой записывается аппроксимирующая функция, а — координата точки, относительно которой выполняется аппроксимация, (и, и — максимальные степени полиномов числителя и знаменателя.
Технику аппроксимации Паде непрерывной функции поясняет рис. 5.17. На рис. 5.17 представлена аппроксимация синусоидальной функции, а также построены графики этой функции и аппроксимирующей функции. Под ними дан также график абсолютной погрешности для этого вида аппроксимации.
Нетрудно заметить, что уже в интервале (-х, х) погрешность резко возрастает на концах интервала аппроксимации. Важным достоинством Паде-аппроксимации является возможность довольно точного приближения разрывных функций. Это связано с тем, что нули знаменателя у аппроксимирующего выражения способны приближать разрывы функций, если на заданном интервале аппроксимации число разрывов конечно. На рис. 5.18 редставлен пример Паде-аппроксимации функции (ап(х) в интервале от -4,5 до 4,5, включающем два разрыва функции. Кдк видно из рис. 5.18, расхождение между функцией тангенса и ее аппроксимирующей функцией едва заметны лишь на краях интервала аппроксимации. Оба разрыва прекрасно приближаются аппроксимирующей функцией и никакого =[в(х[ [в) х3 а и» (ас ц ) с зс. а,:са из даз ) 6 х- ело(х) сел[и(зхзааррлох) с (р.
раде(6(х),х, [5,61) с 1с 671 5 2363 3 л — л +л 4363520 16163 .[р— 445 2 6(1 4 121 1+ л + л + 12122 [72764 166(2 '40 > хзз. -х-'.6р. р)о(( [6(зс),ср(зс) ),зс=-5. 5,со[ос Ыао3с) з -1 ,Г 1) р1о( (Оаз(х) — 6(х),х -5.. 5,оо1от-Ыас Ц. 348 Глава 5. Анализ функ((канальных зависимостей и обработка данных 349 5.а. Применение числовой аннроксимации функций выброса погрешности в точках разрыва нет. Такой характер аппроксимации подтверждается и графиком погрешности, которая лишь на концах интервала аппроксимации 1-4.0, 4.01 достигает значений 0,01 (около 1 %).
5.8.4. Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева ,[[ля многих аналитических зависимостей хорошие результаты дает аппроксимация полиномами Чебышева. При ней более оптимальным является выбор узлов аппроксимации. что ведет к уменьшению погрешности аппроксимации. В общем случае применяется Паде-аппроксимация, характерная представлением аппроксимирующей функции в сиде отношения полиномов Чебышева. Она реализуется функциями спеЬрас]е: спеЬрас[е (й, х, [в, п] 1 спеЬрас[е ( й, х=а ..Ь, [в, и] 1 снеЬрас[е (й, а ..Ь, [п1, п]1 Здесь а..Ь задает отрезок аппроксимации, п1 и и — максимальные степени числителя и знаменателя пслиномов Чебышева.
Приведенный ниже пример показывает аппроксимацию Паде полиномами Чебышева для функции (=сов(х): > оедеап:=10:сьеЬрабе(сох(х],х 0..1,5[п 08235847380 Т(0, 2 х-!) — 02322993716 Т(1, 2 х — !) — 0.053715! 1462 Т(2, 2 х - 1) + 0.002458235267 Т(3, 2 х — 1) + 0.0002821190574 Т(4. 2 х — 1) — 0.7722229! 56 5 Т(5, 2 х - 1) > сьеЪрас(е(сов (х], х=0 ..1, [2, 311( (0.8162435876 Т(0, 2 х — 1) — 0.1852356296 Т(1, 2 х — 1) — 0.05170917481 Т(2, 2 х- 1))/( Т(0, 2 х- 1) + 0.06067214549 Т(1, 2 х - 1) + 0.0! 097466398 Т(2, 2 х - 1) + 0.0005311640964 Т(3, 2 х — 1)) 5.8.5.
Наилучшая минимаксная аппроксимация Минимаксная аппроксимация отличается от Паде-аппроксимации минимизацией максимальной абсолютной погрешности во всем интервале аппроксимации. Она использует алгоритм Ремеза (см. ниже) и реализуется следующей функцией: вхпхвах (Г, х=а ..Ь, [в, и], и, 'вахеххох'] вхпипах (Г, а.. Ь, [в, п], и, 'вахехгох ' ) Здесь, помимо уже отмеченных параметров, пт — процедура или выражение, п(ахе(тог — переменная, которой приписывается значение (п]п[п(ах-нормы. Ниже дан пример аппроксимации функции сов(х) в интервале 1-3, 3]: > ввптвах(сох(х],х=-з..з, [2,3],1, 'втпвах'1: 5458304182 +(.5119634586 10 ~ — 23084842ббх)х .5217186403+(Л496104420 10 и+ .106284746бх)х > втвпах; .0462!60560! 350 Глава 5.
Анализ гЬункт(иональньгх зависимостей и обработка оаииьгх 8.8.8. Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза Для получения наилучшей полиномиальной аппроксимации используется алгоритм Ремеза, который реализует следуюшдя функция: серег(н, й, а, Ь, в, и, сгтг, 'вахеггог" ] Здесыи — процедура, представляющая функцию х(х) > 0 в интервале (а, Ь), 1 — процедура, представляюшая аппроксимируемую функцию Ях), а и Ь вЂ” числа, задающие интервал аппроксимации (а, Ь), и] и и — степени числителя и знаменателя аппроксимируюшей функции, сп! — массив, индексированный от 1 до в+ и+ 2 и представляющий набор оценок в критических точках (то есть точек максимума/минимума кривых погрешности), п]ахеггог — имя переменной, которой присваивается минимаксная норма х аЬ5(У вЂ” г).
Следуюший пример иллюстрирует применение данной функции для аппроксимации функции ег((х): > Югсгеа:=12:е:=ргос(х] 1.0 епс]г х: = ргос(х) 1.0 еод ргос > г:=ргсс (х] еча1г (егг (х] ] епс]; 7: = ргос(х) еуа!('( егг" (х)) ев() ргос > сгьг: аггау(1..7,[0,.1,.25,.5,.75,.9,1.!)г сг(г:= ( 0,.1, .25, .5, .75, .9, 1. ) > гееег(е, Г,О,1,5,0,сгьг, 'еахеггсг') х -+ 0.000022! 268863 + (1.12678937620 + (0.018447321509+ ( — 0.453446232421 + (0.141246775527 + 0.00966355213050 х ) х ) х 1 х)х > нахеггсг( 0.0000221268894463 8.8.7.
Другие функции пакета пшпарргох Отметим назначение других функций пакета пцп]арргох: спеЬ((ед(р) — возврашает степень полинома Чебышева р; сЬеЬ(пц[!(р, ([) — умножение полиномов Чебышева р и сй ОЬеЬвог((е) — сортирует элементы ряда Чебышева; соп1гас(огп](г) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь; сопггас(опп(г, х) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь с независимой переменной х; Ьогпег(опп(г) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера; Ьогпег[опп(г, х) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера с независимой переменной х; (пгпогп](г, х=а...Ь, 'хп]ах') — возвращает 1.-бесконечную норму функции на отрезке х [а, Ь); [п(оопп(1, а...Ь, 'хп]ах') — возврашает ).-бесконечную норму функции на отрезке (а, Ь).
Действие этих функций очевидно и читатель может самостоятельно опробовать их в работе. 351 5.9. Пакет приближения кривых Спггейгг[пд 5.9. Пакет приближения кривых Сцг)гег.гттгп9 5.9.1. Общая характеристика пакета Сцгие Г!Ыпд Появившийся еще в Мар!е 7 пакет приближения кривых Сцгуей(([па весьма полезен тем, кто занимается столь распространенной задачей, как приближение кривых. Он содержит ряд функций: > иЫЬ (СегчеГЫЕ1пв) г [ВБР1(ле, ВБР11леСигге, 1пгегасбие, 1 еалБциагег, Ро(улотгаНлгегро!аггел, КаггопаПпгегро(апоп, Бр!(пе, т)ие1е1лгегро(а!(ол ! Доступ к функциям пакета возможен с помощью конструкций: СсхчеГБССБпд[1спсевоп)(ахдсв)епСе) 1спсеаоп(ахдв)пепт.в) Число функций пакета невелико и все они описаны ниже.
5.9.2. Функция вычисления В-сплайнов ВВ11пе Функция ВЯр((пе(((, и, ор!) служит для вычисления В-сплайнов. В отличии от обычных сплайнов, у которых точками стыковки сплайн-функций являются узловые точки, В-сплайны позволяют получить стыковку в произвольно заданных точках. Указанная функция имеет следующие параметры (( — порядок сплайна (целое число), и — имя и ор( — параметр в виде ((по(веКпо(1151, где ((пой(5! — спискок из 1(+! элементов алгебраического типа.
Используя функцию Сцгъегй()пд(ВЯр((пеСцгие! можно строить кривые В-сплайнов. Примеры применения этой функции представлены ниже: > В5р11пе (3, х) О 2 --+х — (х — 1) х< 2 ! 2 2 — -х+ — (х-2) х< 3 Б 2 2 О 3 ах х<О х<1 > В5р11пе(2, х, хаоса=[0,а,21); О х а -х+ а — +1 х<2 2-а О 25х х<а Как нетрудно заметить из этих примеров, функция Вврйпе возвращает результат в виде кусочных функций типа р(есе)и!Ве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
