Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Общая характеристика пакета гпеегвов Для расширенной поддержки интегральных преобразований служит пакет 1и(- (гапв. Это один из пакетов, наиболее важных для общематематических и научно-технических приложений. Он вызывается командой > иггЬ(гегггапв); [осЫ(аЫе, (оиг(ег, (оиг(егсое, (онг(егздь ланге), Ы(Ьегг, (н»7онг(ег, (и»Ы(Ьегг, гн»!ар(осе, ш»те((гп, !ар(оге, те(!ш, за»е(аб)е) и содержит небольшой набор функций.
Однако эти функции охватывают такие практические важные области математики, как ряды Фурье, прямые и обратные преобразования Лапласа и Фурье и ряд других интегральных преобразований. Ниже они обсуждены более подробно. б 11.4. Прямое и обратное преобразование Фурье Прямое преобразование Фурье преобразует функцию времени Я!) в функцию частот г()е) и заключается в вычислении следуюшеи интегральной функции: г(х ) = [ 7 (!)е ' (l!. Оно в аналитическом виде реализуется следующей функцией пакета интегральных преобразовании (пйгапв: Йецггег (ехрг, г, и] Здесь ехрг — выражение (уравнение или множество), ( — переменная, от которой зависит ехрг, и (и — переменная, относительно которой записывается результирующая функция.
369 5.10. Интегральные ареобразовааил функций Обратное преобразование Фурье задается вычислением интеграла Оно фактически переводит представление сигнала из частотной области во временную. Благодаря этому преобразования Фурье удобны для анализа прохождения воздействий (сигналов) я(() через устроиства (цепн), заданные их частотнои характеристикой К(чч): я(() -+моиг)ег-> в()ч) -> в()ч) К(чч) -+1оч(оиг(ег — >во((). Здесь я(() и зо(() — временные зависимости соответственно входного и выходного сигналов. Определение (визуализация) преобразований Фурье и примеры их осуществления представлены ниже: > гевиагГ ге1ГЬ (1пеегапв): аввюпе (1аеьг)а>0, а>0): > сопчегс (гоиггег (г (Г), Г., в), ьпе): Р(г) е[ '")й( > сопчеге (гпчгоигьег (г (Г), Г, в), гпс); ~ ! (() ео ~ с ][!( 2 (чл > гоиг1ег (вьп (г), г, е); -2 л О)гас(л — 1)+1л О!гас(л +1) > гпчеоигзег(ь,е,г) в(п(г) > гоигье г (1-ехр (-а*и), Г, е) 2 л О!гас(х ) — (оиг!ег(е[ ",пи ) > ьпчгоигьег(Ъ,е,с) 1-е' > гоиггег (1п(1lвс[ге (1+х"2) ), х, у); л (е[ г) Неач!в!()е(у) — е~ Неач!в(йе(-у)) > гоигьег [Вевве10! и, х), х, у) ~р д) 2У(-1) ' СЬеЬувЬеч(а.у)(Неач!в!ое(у+1)-(у — 1)) 1 370 Глава 5.
Аналнз функциональных завненмостей и обработка данных 5.11.5. Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье Разложение функции Г(г) в ряд Фурье требует вычисления интегралов следуюшего вида: г (я) = 4 — ) Г (() сов(зг)а[, Г2" "о Г(з) = ~ — ~ Г(г)в)п(гг)й. )2" хо Они получили название косинусного и синусного интегралов Фурье и фактически задают вычисление коэффициентов ряда Фурье, в который может быть разложена функция Г(().
Для вычисления этих интегралов в пакете используются следуюшие функцигс Йоигдегсов (ехрг, с, в) Йоигдегвдп (ехрг, д, в) Поскольку формат задания этих функций вполне очевиден, ограничимся примерами визуализации сути этих функций и примерами их примененигс > сопиегс (доигдегсов (д [С), С, в), дпс) г — ~](!) сов(г з) ((( ~Г2 4п, > сопиесд[доиддегвдп(д(С),с,в),дпС); > дои гдегсов (5*с, с, в) [ Г2 -5— ч'х з) > доигдегвдп (5*с, с, в); > доигдегсов (ехр (-с), С, в) х(ад + ]) > дои дде гсов (агссов (х] *Неаи1вдое (1-х], х, у) с ! ч2с~х Я[ппеН(О,у) у > доигдеге до (агсв до (х] *Неаидв дои (1-х), х, у); 1 дГ2с/х Везде!3(0, у) — сов(у)) 2 у Нетрудно заметить, что эти преобразования нередко порождают специальные математические функции.
Много примеров на преобразования Фурье содержатся в файле демонстрационных примеров (оцг)ег.гпвв. 371 5.10. Интегральные преобразования функций 6.11.6. Прямое и обратное преобразование Лапласа ~ ~(<)е-чб< о Для осуществления прямого преобразования Лаплас служит функция 1ар1асе (ехрс, с, р) Здесь ехрг — преобразуемое выражение, ! — переменная, относительно которой записано ехрг, и р — переменная, относительно которой записывается результат преобразования. Обратное преобразование Лапласа означает переход от функции г(р) к функции 1(г) с помощью формулы У(<) = ~Е(р)е '"ор.
Для вычисления этого интеграла служит функция ьпч1ар1асе (ехрт, р, с) где ехрг — выражение относительно переменной р, ! — переменная, относительно которой записывается результирующая зависимость. Оба преобразования широко применяются в практике научно-технических вычислений и отражают суть операторного метода. При этом прямое преобразование создает изображение, а обратное — оригинал функции. Ниже приведены примеры определения и применения прямого и обратного преобразований Лапласа: > сезсась ге1сп(ьпсссапз]: > сопчесз (1ар1асе (Г <а), а, з), ьпа]; Г(<)е< ™Д< Г о > 1ар1асе (зеп (с) +а*соз (с), с, р) ] ! ар ) )+ 2 > 1пн1ар1асе (Ъ, р, с) ' яп(<) + асов(<) Нетрудно заметить, что в данном случае последовательное применение прямого, а затем обратного преобразования восстанавливает исходную функцию ьйп(г)+ асов(г).
Преобразования Лапласа широко используются со специальными функциями и, в свою очередь, порождают специальные функции: > 1ар1асе(рсезпе1С[ь),с,р): !.оп)п)е(з2 О,—,-"-- ! р' ! 2 2х Преобразования Лапласа — одни из самых часто применяемых интегральных преобразований. Они широко применяются в электро-радиотехнике и часто используются для решения линейных дифференциальных уравнений. Прямое преобразование Лапсаса заключается в переводе некоторой функции времени 1(Г) в операторную форму г(р). Это преобразование означает вычисление интеграла 5.10. Интегральные лреобразввания функций 373 ния в.
пц — порядок преобразования. Следующий пример демонстрирует вывод и применения функции Ханкеля: > сопчеге (пап]се1 ( г (г), г, в, ч], ьпс) ь Р(/) ~/зВеззе!)(ч-, (ь)с(( о > пап]се1(вчгг(г) /(а1рпа+г), е,в,О); ! Яя ВеввеП(0, сс з) 2 сс > ьапке1 (вс)гг (г) *с> (а1рьа*е" 2), г, в, 0) с 2 -1+соз -' с(ы)] > Папхе1 (1/вс)ге (Е) *егго (а1рва*г), Г, в, О) с > аввпасе (-1/2<пса,псе<1/2] с 'папхе1 (1/вс)гг (Г) *Вевве1т (асч, а1рпа/Е), г, з, всп]; -2 Везве!К(2]с-,2 ъГаЛ) + в Веззе!У(2)с-,2 чГа чз) ,Б > пап)се1 (Г" (1/3], Г, в, 2] 2(им — з!и --в 8.11.8.
Прямое и обратное преобразования Гипвберта Прямое преобразование Гильберта задается следующим выражением: Е(в) = — ь( — с(г ! "У(с) я / — ь н превращает функцию /(/) в /с(з). Обратное преобразование Гильберта означает нахождение/(/) по заданной г(в). Эти преобразования выполняются функциями: М1Ьегс(ехрг, г, в) йпч)с11Ьегг(ехрг, с, з) где назначение параметров очевидно. Приведенные ниже примеры иллюстрируют выполнение зтих преобразований: > гевеаггсчьгь(ьпгггапв)с > аввпве(-1/2<ч,ч<3/2,пп>О,а>О,а1рпа>О,Ьега>0): > сапчегс (Ь11Ьегг (г (Г), Г, в], ьпг) ) — ) — сг ! " Г(/) я / — ь' 374 Глава 5.
Анализ функциональных зависимостей и обработка данных > сеечеге (1вчЛ11Ьегг (г (Г), Г, з), 1пг) ! ~ ~~)~ д > Л11Ьегг(ехр(1), г, г); > Л11Ьегг(Е(е), и, Г); Ь(]Ьеп(Г(и), и, /) > Л11Ьегг(Ъ, г, з); -Г(в) > Лз.1ьегг (Е*Е (г), Г, з) / вЬ$(Ье]т(Г(/),/,в)х+ ~ Г( (/)г( (/ > Л11Ьеге (Г/ (Г" 2+1), Г, в) ] 1 з'+! > 1вча11Ьегг(%,в,е]; > Л11Ьегг (зал (х) /х, х, у); сов(у) — 1 > Л11Ъегг ( Ъ, у, г); -1п(У е) > Л>1ЬегГ (С1 (вЬв (Е] ], Г, в); -$1апшп (в) $51(1 в1) > Л11ЬегГ (в1двев (Г] *Явс (аЬз (Г) ), Г, в]; С)((в!) > Л11Ьеге (Г*г (а" Г] "2, Г, з) ю в Ы!Ье(т(Г(а — ()',(, в) х + / Г(а - Г/)' Н 1/ -ч Как видно из этих примеров, обратное преобразование Гнльберта, осуществленное над результатом прямого преобразования, не всегда восстанавливает функцию /(/) буквально. Иногда преобразование Гильберта (см.
последний пример) выражается через само себя. Много интересных примеров на это преобразованне Гильберта можно найти в файле я(1Ьеп.(п]чв. 375 5.П. Регрессионный анализ 5.11.9 Интегральное преобразование Меллина Интегральное лреооразование !()еллина задается выражением М(в) = ) лг(х)х '((х о и реализуется функцией )ве111п (ехрс, х, в) с очевидными параметрами ехрг, х и а. Применение преобразования Меллина иллюстрируют следующие примеры: > аввпп~е(а>0); > ве111п(х"а,х,в]( Г(в+о-) Неау!в!ое(в+а-) Г(-а- — в) Неву(в!(]е(-о- -в) Г(! -в — о-) Г(в+а- +!) > ве111п [в (а*х),х,в): п~е111п 0(а*х),х.в]: — терйп(Цх) х в) с 1 1' о- > ьпчве111п((захава+Рве(1+в) ) /в, в,х,-1..1пс1пьау) г -Неау(в!(]е(! — х) !п(! — х) Примеры на применение преобразования Меллина можно найти в файле те(- !!п.т)уя 5.11.10.
Функция а(ЫтаЫе Как видно из приведенных примеров, не всегда интегральные преобразования дают результат в явном виде. Получить его позволяет вспомогательная функция ас)с)са]>1е (спаве, расс, ехрг, с, в ) где !пате — наименование преобразования, для которого образец рай должен быть добавлен к таблице поиска. Остальные параметры очевидны. Следующие примеры поясняют применение этой функции: > Гопсьесвьп(Г(й),п,в); Гоипегяп(Г((), (, в) > аецва)>1е (Гоасьегвьп, Г (и], Г (в], и, в); > Йопс1есв1п (Й (х] ~ х в) 5.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
